新版人教A版高中数学选修2-2精品课件：1.2.2-导数的运算法则

第一章导数及其应用1.2导数的计算第2课时导数的运算法则主题1导数的运算法则利用导数的定义分别求y=5+x,y=5x,y=的导数.5x提示:(1)=1,=1.故y=5+x的导数为1.(2)=5,=5.故y=5x的导数为5.5xx5xy xxx0x0yylimlim1x5xx5xy xxx0x0yylimlim5?x(3)故y=的导数为.255y5xxxxxxxx22x0x0y55ylimlim.xxxxx5x25x结论:导数的运算法则1.函数和差的导数,[f(x)±g(x)]′=_______________.2.函数积的导数,[f(x)·g(x)]′=________________________f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x).3.函数商的导数,=___________________(g(x)≠0).推论:常数与函数的积的导数,[cf(x)]′=________.fxgx［］2fxgxfxgx gx［］cf′(x)【对点训练】1.使得函数f(x)=(x-3)ex的导数f′(x)0的实数x的取值范围是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)【解析】选D.f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令f′(x)0,解得x2.2.函数y=的导数是()A.y′=B.y′=C.y′=D.y′=cosx1x2sinxxsinx1x2xsinxsinxcosx1x2cosxsinxxsinx1xcosxsinxxsinx1x【解析】选C..2sinx1xcosx1cosxy()1x1x＝＝2cosxsinxxsinx1x【补偿训练】当函数y=(a0)在x=x0处的导数为0时,那么x0等于()A.aB.±aC.-aD.a222xax【解析】选B.y′=由x20-a2=0得x0=±a.22222222xa2xx(xa)xa(),xxx主题2复合函数的导数1.y=ln(x+2)的结构特征是什么?提示:令u=x+2,则y=lnu.因此y=ln(x+2)可看成是由u=x+2和y=lnu复合而成的.2.如何求y=ln(x+2)的导数?提示:由y=ln(x+2)的结构特征,可考虑由外向内求导数.令u=x+2,则y=lnu,因此y′x=y′u·u′x=(lnu)′·(x+2)′=111ux2结论:复合函数的概念一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成________,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作__________复合函数的求导法则复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于______________________________x的函数y=f(g(x))y对u的导数与u对x的导数的乘积【对点训练】1.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为()A.B.C.D.1131223【解析】选A.因为y′|x=0=(-2e-2x)|x=0=-2,故曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程为y=-2x+2,易得切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为.13【补偿训练】f(x)=lncos2x的导数是()A.B.C.D.21cosx2 cosx2sinxcosx2sinxcosx【解析】选D.因为f(x)=lncos2x,所以f′(x)=22cosxsinx2sinx .cosxcosx2.已知f(x)=ln(3x-1),则f′(1)=________.【解析】f′(x)=·(3x-1)′=,所以f′(1)=.答案:13x133x13232类型一利用运算法则求函数的导数【典例1】(1)已知函数f(x)=+2lnx图象在点P的切线平行于直线5x-2y=2019,则点P的坐标为()xA.(20)B.(e2e)14033C.()D.(11)24，，，，(2)求下列函数的导数.①y=x-2+x2;②y=3xex-2x+e;③y=;④y=x2-2lnxx1xxsincos.22【解题指南】(1)先求导,再结合条件求P点横坐标,又点P在函数f(x)上,可求P点纵坐标.(2)分析各个函数解析式的特点,应用和、差、积、商的导数法则求导.【解析】(1)选D.设点,因为f(x)=+2lnx,所以f′(x)=,所以由题意得,解得x0=1,所以y0=+2lnx0=1,所以切点P的坐标为.00P(xy)，x12x2x00125x22x0x(11)，(2)①y′=2x-2x-3;②y′=(ln3+1)·(3e)x-2xln2;③y′=;④因为y=x2-sincos=x2-sinx,所以y′=2x-cosx.2222x12xlnxxx1x2x21212【方法总结】利用导数的公式及运算法则求导的思路【跟踪训练】1.设函数f(x)=x3+x2+tanθ,其中θ∈,则导数f′(1)的取值范围是()sin33cos25012，A.[-2,2]B.[,]C.[,2]D.[,2]2332【解析】选D.f′(x)=sinθ·x2+cosθ·x,所以f′(1)=sinθ+cosθ=2sin,因为θ∈,所以sin∈,所以2sin∈[,2].33()35012，()3212，()322.求下列函数的导数:(1)f(x)=ax4lnx+bx4-c.(2)f(x)=.(3)f(x)=.22xx1xlnxke【解析】(1)f′(x)=4ax3lnx+ax4·+4bx3=x3(4alnx+a+4b).(2)f′(x)=1x2222222x12x2x22x.x1x1(3)f′(x)=所以xxxxx2x21elnxkelnxkelnxkex(e)(e)x1lnxkxfx.ex1lnxkx,e【拓展延伸】导数运算法则的推广(1)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导数仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况,即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′=f1′(x)±f2′(x)±f3′(x)±…±fn′(x).(2)积的导数公式的拓展,若y=f1(x)f2(x)…fn(x),则有y′=f1′(x)f2(x)…fn(x)+f1(x)f2′(x)…fn(x)+…+f1(x)f2(x)·…fn′(x).【补偿训练】求下列函数的导数:(1)y=.(2)y=.sinxx2xlnx【解析】(1)y′=(2)y′=2sinx(sinx)xsinx(x)()xx22cosxxsinx1xcosxsinx.xx2222xlnxxlnxx()lnxlnx22212xlnxxx2lnx1x .lnxlnx类型二求复合函数的导数【典例2】(1)已知函数f(x)=,求其导数.(2)设函数f(x)=cos(x+φ)(0φπ),且f(x)+f′(x)为奇函数.①求φ的值;②求f(x)+f′(x)的最值.2axbxe3【解题指南】(1)f(x)=是y=eu与u=-ax2+bx的复合.(2)先求出函数f(x)=cos(x+φ)(0φπ)的导数,再利用f(x)+f′(x)为奇函数求φ的值,进而求出f(x)+f′(x)的最值.2axbxe3【解析】(1)令u=-ax2+bx,则y=eu.y′x=y′u·u′x=eu·(-ax2+bx)′=eu·(-2ax+b)=(-2ax+b)·.2axbxe(2)①f(x)+f′(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)(x+φ)′=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2sin(x+φ+).因为0φπ,f(x)+f′(x)是奇函数,所以φ=.333333566②由①知f(x)+f′(x)=2sin(x+π)=-2sinx,故f(x)+f′(x)的最大值是2,最小值是-2.33【方法总结】复合函数求导的步骤【跟踪训练】1.(2019·杭州高二检测)已知函f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|),其导函数f′(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为()2A.f(x)=2cosB.f(x)=4sinC.f(x)=2cosD.f(x)=4sin1(x)241(x)241(x)241(x)24【解析】选D.因为,所以,由图象可得Aω=2,=2π,所以T=4π,又因为T=,所以ω=,A=4,由,得φ=,所以.f(x)Asinxf(x)Acos(x)T3()222212122241f(x)4sin(x)242.求证:奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数.【证明】设f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),两边对x求导,得-f′(-x)=-f′(x),所以f′(-x)=f′(x),即f′(x)是偶函数,设f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),两边对x求导,得-f′(-x)=f′(x),所以f′(-x)=-f′(x),即f′(x)是奇函数.【补偿训练】指出下列函数的复合关系:(1)y=sinx3.(2)y=(3)y=.cos(x).7342cos3x＋【解析】函数的复合关系分别是(1)y=sinu,u=x3.(2)y=cosu,u=.(3)y=,u=2+cosv,v=3x.x7－34u类型三求导法则的综合应用【典例3】(1)(2019·青岛高二检测)已知f(x)=cosx,则f(π)+=()1xf2（）23A.B.13C.D.(2)曲线y=在点处的切线的斜率为()sinx1sinxcosx2M(,0)41122A.B.C.D.2222(3)(2019·洛阳高二检测)等比数列{an}中,a1=2,a10=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a10),则f′(0)=()A.26B.29C.212D.215【解题指南】(1)先求函数的导数,再代入求函数值.(2)先求导数,再求导数值,就是切线的斜率.(3)先把f(x)拆分为两个函数的乘积,再求导数,最后利用等比数列性质求值.【解析】(1)选D.因为f(x)=cosx,则f′(x)=,所以f(π)+cosπ-1x2cosxsinxxx1f2（）2cossin12322.()22(2)选B.y′=,所以.2cosxsinxcosxsinxcosxsinxsinxcosx21sinxcosxx2411y2(sincos)44｜(3)选D.设g(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a10),则f(x)=xg(x),所以f′(x)=g(x)+xg′(x),所以f′(0)=g(0)+0g′(0)=a1a2…a10=(a1a10)5=85=215.【方法总结】关于复合函数导数的应用及其解决方法(1)应用:复合函数的导数应用主要有:求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用.(2)方法:先求出复合函数的导数,若已知切点则求出切线斜率、切线方程;若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.总之,在解决此类问题时切点起着至关重要的作用.【跟踪训练】已知曲线f(x)=x3-3x,过点A(0,16)作曲线f(x)的切线,求曲线的切线方程.【解析】设