1996考研数学三真题和详解

11996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设方程yxy确定y是x的函数,则dy___________.(2)设()arcsinxfxdxxC,则1()dxfx___________..(3)设00,xy是抛物线2yaxbxc上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________.(4)设123222212311111231111nnnnnnnaaaaAaaaaaaaa,123nxxXxx,1111B,其中(;,1,2,,)ijaaijijn.则线性方程组TAXB的解是___________.(5)设由来自正态总体2~(,0.9)XN容量为9的简单随机样本,得样本均值5X,则未知参数的置信度为0.95的置信区间为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)累次积分cos200(cos,sin)dfrrrdr可以写成()(A)2100(,)yydyfxydx(B)21100(,)ydyfxydx(C)1100(,)dxfxydy(D)2100(,)xxdxfxydy(2)下述各选项正确的是()(A)若21nnu和21nnv都收敛,则21()nnnuv收敛(B)1nnnuv收敛,则21nnu与21nnv都收敛(C)若正项级数1nnu发散,则1nun2(D)若级数1nnu收敛,且(1,2,)nnuvn,则级数1nnv也收敛(3)设n阶矩阵A非奇异(2n),A是矩阵A的伴随矩阵,则()(A)1()nAAA(B)1()nAAA(C)2()nAAA(D)2()nAAA(4)设有任意两个n维向量组1,,m和1,,m,若存在两组不全为零的数1,,m和1,,mkk,使111111()()()()0mmmmmmkkkk,则()(A)1,,m和1,,m都线性相关(B)1,,m和1,,m都线性无关(C)1111,,,,,mmmm线性无关(D)1111,,,,,mmmm线性相关(5)已知0()1PB且1212[]()()PAABPABPAB,则下列选项成立的是()(A)1212[]()()PAABPABPAB(B)1212()()PABABPABPAB(C)1212()()PAAPABPAB(D)1122()()()PBPAPBAPAPBA三、(本题满分6分)设(),0,()0,0,xgxexfxxx其中()gx有二阶连续导数,且(0)1,(0)1gg.(1)求()fx；(2)讨论()fx在(,)上的连续性.四、(本题满分6分)3设函数()zfu,方程()()xyuuptdt确定u是,xy的函数,其中(),()fuu可微；()pt,()u连续,且()1u.求()()zzpypxxy.五、(本题满分6分)计算20(1)xxxedxe.六、(本题满分5分)设()fx在区间[0,1]上可微,且满足条件120(1)2()fxfxdx.试证:存在(0,1)使()()0.ff七、(本题满分6分)设某种商品的单价为p时,售出的商品数量Q可以表示成aQcpb,其中ab、、c均为正数,且abc.(1)求p在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2)要使销售额最大,商品单价p应取何值?最大销售额是多少?八、(本题满分6分)求微分方程22yxydydxx的通解.九、(本题满分8分)设矩阵010010000010012Ay.(1)已知A的一个特征值为3,试求y；(2)求矩阵P,使()()TAPAP为对角矩阵.十、(本题满分8分)设向量12,,,t是齐次线性方程组0AX的一个基础解系,向量不是方程组40AX的解,即0A.试证明:向量组12,,,,t线性无关.十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程20xBxC,其中BC、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p和有重根的概率q.十三、(本题满分6分)假设12,,,nXXX是来自总体X的简单随机样本；已知(1,2,3,4)kkEXak.证明：当n充分大时,随机变量211nniiZXn近似服从正态分布,并指出其分布参数.51996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】1lndxxy【解析】方法1：方程yxy两边取对数得lnlnlnyxyyy,再两边求微分,11ln1ln1dxydydydxxxyln10xy.方法2：把yxy变形得lnyyxe,然后两边求微分得lnln1ln1lnyyydxedyyyydyxydy,由此可得1.1lndydxxy(2)【答案】32113xC【解析】由()arcsinxfxdxxC,两边求导数有2211()arcsin1()1xfxxxxfxx,于是有1()dxfx2221112xxdxxdx221112xdx32113xC.(3)【答案】0ca(或20axc),b任意【解析】对2yaxbxc两边求导得0022yaxb,yxaxb,所以过00x,y的切线方程为0002yyaxbxx,即200002yaxbxcaxbxx.又题设知切线过原点00,,把0xy代入上式,得2200002axbxcaxbx,即20axc.6由于系数0a,所以,系数应满足的关系为0ca(或20axc),b任意.(4)【答案】1000T,,,【解析】因为A是范德蒙行列式,由ijaa知0ijAaa.根据解与系数矩阵秩的关系,所以方程组TAXB有唯一解.根据克莱姆法则,对于2111112122222133332111111111nnnnnnnnxaaaxaaaxaaaxaaa,易见1230nDA,DDD.所以TAXB的解为12310nx,xxx,即1000T,,,,.【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组11112211211222221122,,.nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb或简记为112nijjijaxb,i,,,n其系数行列式1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa,则方程组有唯一解12jjDx,j,,,n.D其中jD是用常数项12nb,b,,b替换D中第j列所成的行列式,即71111111121212212111,j,jn,j,jnjnn,jnn,jnnaabaaaabaaDaabaa.(5)【答案】(4.412,5.588)【解析】可以用两种方法求解：(1)已知方差220.9,对正态总体的数学期望进行估计,可根据因2(,0.9)XN,设有n个样本,样本均值11niiXXn,有20.9(,)XNn,将其标准化,由公式()~(0,1)()XEXNDXn得：)1,0(~1NnX由正态分布分为点的定义211XPun可确定临界值2u,进而确定相应的置信区间22(,)xuxunn.(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值的置信区间问题.由教材上已经求出的置信区间22,xuxunn,其中21,(0,1)PUuUN,可以直接得出答案.方法1：由题设,95.01,可见.05.0查标准正态分布表知分位点.96.12u本题9n,5X,因此,根据95.0}96.11{nXP,有5{1.96}0.9519P,即{4.4125.588}0.95P,81xyO1212故的置信度为0.95的置信区间是(4.412,5.588).方法2：由题设,95.01,22222{}{}2()10.95,()0.975PUuPuUuuu查得.96.12u20.9,9n,5X代入22(,)xuxunn得置信区间(4.412,5.588).二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系cos,sinxryr中是,|0,0cos,2Drr即是由221124xy与x轴在第一象限所围成的平面图形,如右图.由于D的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是1,下边界方程是0y,上边界的方程是2yxx,从而D的直角坐标表示是2010Dx,y|x,yxx,故(D)正确.方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为1,|0,0sin,2Drr而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分,(C)中的积分区域是正方形0101x,y|x,y,所以,他们都是不正确的.故应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由于级数21nnu和21nnv都收敛,可见级数221nnnuv收敛.由不等式222nnnnuvuv9及比较判别法知级数12nnnuv收敛,从而12nnnuv收敛.又因为2222nnnnnnuvuvuv,即级数21nnnuv收敛,故应选(A).设21112nnu,vn,,n,可知(B)不正确.设21112nun,,nn,可知(C)不正确.设11112nnnu,vn,,nn,可知(D)不正确.注：在本题中命题(D)“若级数1nnu收敛,且(1,2,)nnuvn,则级数1nnv也收敛.”不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别.(3)【答案】(C)【解析】伴随矩阵的基本关系式为AAAAAE,现将A视为关系式中的矩阵A,则有()AAAE.方法一：由1nAA及1()AAA,可得121()().nnAAAAAAAA故应选(C).方法二：由()AAAE,左乘A得1()()nAAAAA,即1()()nAEAAA.故应