北京大学量子力学课件-第3讲

第三讲Ⅰ.物质粒子的波动性德布意假设年A.德布罗意假设（deBroglie1923年）他提出：具有一定动量的粒子与一定波长的波相联系联系，hkP2k称为德布罗意关系。P称为德布罗意关系当然，能量与频率关系仍为（称为Einstein关系）hE（称为Einstein关系）这两个关系把粒子的动力学变量与波的hE这两个关系，把粒子的动力学变量与波的特征量联系起来。也就是说，对一个具有确定能特征量联系起来也就是说，对个具有确定能量和动量的自由粒子，对应一个有确定的频率和波长（波数）及定的传播方向的平面波波长（波数）及一定的传播方向的平面波，PP)tk(i)EtP(i)trk(iAe)EtrP(iAePkEPkE把具有一定动量的自由粒子所联系的平面波波称为德布罗意波（物质波）。物质微粒的波长Å电子波长Å（相当于声速）10101电子波长Å（相当于声速）通常物质微粒不显示出波动性，而电子在，1通常情况下也不显示，仅在原子尺度下才显示。波长计算波长计算212hcPh2120kk)]cm2E(E[P212fmMeV3.19722120kk)]cm2E(E[B.物质粒子波动性的实验证据1戴维逊革末实验（Di1.戴维逊、革末实验（DavissonandGermer,P.R.30(27)707）adGee,30()0）当可变电子束（）照射到抛光的镍单晶上发现在某角度方向有强的反射即eV60030镍单晶上，发现在某角度方向有强的反射（即有较多电子被接收），而满足有较多电子被接收），而满足nasinnhPφ它证明了，电子入射到晶体表面，发生干涉散射，n它证明了，电子入射到晶体表面，发生干涉散射，具有波动性，而相应波长为hPh这现象无法用粒子的图象来解释这现象无法用粒子的图象来解释。2.G.P.Thomson的电子衍射实验（1927年）年）电子通过单晶粉末出现衍射图象这一衍电子通过单晶粉末，出现衍射图象，这一衍射图象反映了电子的波动性。正象射线照到x单晶粉末压成的金箔上，满足一样，电子入射满足nsind2电子入射满足Phnsind2而产生圆形衍射环Phnsind2而产生圆形衍射环。这一特点，不仅电子有，后来热中子试验也有即物质粒子还有波动性当然经典物理学有，即物质粒子还有波动性。当然，经典物理学是无法解释的。中子在Na单晶体上的衍射Ⅱ.波－粒两象性：既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性那既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么，如何理解这两属性呢？如何解两属性呢A.波－粒两象性hEkP具有确定动量的自由粒子被一平面波所描述所描述)EtrP(i)trk(iAAe)()(AAe将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这在经典物理学中看来是不可能的在经典物理学中看来是不可能的B.物理量取值不一定是连续的B.物理量取值不定是连续的辐射体辐射的能量取值nhE,2,1,0n氢原子的能量22neEcm10529.04a82200020n4na2em2e0想像一个实验事实：a．每次接收到的是一个电子，即电子确是以一个整体出现；b电子数的强度但PPPb.电子数的强度，但；21P,P1221PPPc．电子枪发射稀疏到，任何时刻空间至多个电子但足够长的时间后也有同样结果一个电子，但足够长的时间后，也有同样结果。因此，我们可得到下面的结论：我们可得到下面的结a´.不能认为，波是电子将自己以以一定密度分布于空间形成的（因接收到的是个个电度分布于空间形成的（因接收到的是一个个电子），也不是大量电子分布形成的（稀疏时，也子），也不是大量电子分布形成的（稀疏时，也有同样的现象）；不能想像电子通过时能像经典电b´.不能想像，电子通过时，能像经典电子（有轨道）那样来描述，因2,11221PPP子（有轨道）那样来描述，因1221c´.不能认为衍射可能是通过缝后，电子相互c不能认为衍射可能是通过缝后，电子相互作用所导致（稀疏时，也有同样现象）。总之电子（量子粒子）不能看作经典粒子总之，电子（量子粒子）不能看作经典粒子，也不能用经典波来描述（经典波是物理量在空间分布）。这种干涉现象在经典中有类似现象，如水波通过二个缝后在接收器上的强度分布波通过二个缝后，在接收器上的强度分布为，，，但。1221III1I2I12I12211212电子的干涉现象与这完全相似，但两者的含意是本质不同的前者是强度后者是接收到含意是本质不同的，前者是强度，后者是接收到的电子多少。的电子多少。这启发我们，电子的双缝干涉中的现象也可用函数来描述（它们一般应是复函数）。，21,211P222P，11P22P)(P2*1*21222122112（）)(P2121212112PP2PPcosδ21（）1212PP2PPcosδ21称为波函数（描述粒子波动性的函数称为波函数）也就是说接收器上某位置电子21,称为波函数），也就是说，接收器上某位置电子数的多少，将由波函数的模的平方来表征。2数的多少将由波函数的模的平方来表征空间若有两个波，粒子数多少则应由波函数的模的平方来描述的模的平方来描述。但是，这种描述是什么意思呢？它没有回答，21但是，这种描述是什么意思呢？它没有回答，电子是一个个出现的问题；也没有回答，空间电子稀疏时，但时间足够长后，干涉花纹照样出现。出现。Ⅲ.波函数的玻恩（MaxBorn,1926年）几率诠释几率波几率诠释—几率波MaxBorn真正将量子粒子的微粒性和波动真将子粒子的微粒性和波动性统一起来。如电子用波函数来描述则)(如电子用一波函数来描述，则①从上面分析可以看到，在范围)x(dxxx①从上面分析可以看到，在范围内，接收到电子多少是与的大小有关dx)x(dx)x(P2有关；②当发射电子稀疏到一定程度时，接收器上②当发射电子稀疏到定程度时，接收器上接收到的电子几乎是“杂乱无章”的，但当时间足够长时，接收到的电子数分布为。这表电在接收上的各个2)x()x(P这表明，电子出现在接收器上的各个位置是具有一定的几率的。当足够多的电子被接收后。具有定的几率的。当足够多的电子被接收后。在接收器上的电子分布正显示了这一几率分布（电子到接收器上是一个个的，但分布又类似波，即几率波）即几率波）。是电子出现在x附近的几率密度2)x()x(P（如）。电子通过双缝的描述尽管类似水波那样用1dx)x(P电子通过双缝的描述，尽管类似水波那样用一波函数来描述。但本质是不同的。是描述或刻划一个电子的几率振幅。玻恩几率解释如果在时刻对以波函数)t,r(玻恩几率解释：如果在时刻，对以波函数描述的粒子进行位置测量，测得的结果可t)t,r(描述的粒子进行位置测量，测得的结果可以是不同的；而在一小区域中发现该),(rdrr2粒子的几率为（）。注意两点：rd)t,r(rd)t,r(P21rd)t,r(P注意两点：①不是对物理量的波动描述。它有意义)t,r(的是，在体积元中发现粒子的几率为所以它不代表物理实体仅是一几rd)tr(2rdrr，所以它不代表物理实体，仅是几率波；rd)t,r(②粒子是由波函数来描述，但波函)t,x(②粒子是波函数来描但波函数并不能告诉你，时刻测量时，粒子在什么位置粒子位置可能在可能在而0t置。粒子位置可能在，可能在，而在中发现粒子的几率为。1x,x2dxxx11dx)t,x(201在中发现粒子的几率为。也就是说，在某处越大，则在时刻测量发现粒子在该处的机会越多这表明我1120)t,x(x0t测量发现粒子在该处的机会越多。（这表明，我们讲的是能预言到什么，但我们不能说出测量的们讲的是能预言到什么，但我们不能说出测量的结果）。我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体系去测量发现粒子可能就处于只测得个x系去测量发现粒子可能就处于，只测得一个值。1x但可想像有很多很多同样的体系，对体系进行同时完全相同的测量测得的结果发现进行同时，完全相同的测量，测得的结果发现dxxxn111次111次dxxxn222次dxxxnmmm次当对足够多的同样的体系进行测量后，即在大量的完全相同的体系中同时测量那发在大量的完全相同的体系中，同时测量，那发现粒子在处的几率dxxxii现粒子在处的几率dx)tx(n2idxxxiidx)t,x(nimm体系的波函数给出了体系所有信息)t,r(（可能范围内的），它给出体系一个完全的描述（例如测量粒子的能量时可给出预言可能测（例如，测量粒子的能量时，可给出预言可能测得那些能量值和测得该能量值的几率等等）。正得那些能量值和测得该能量值的几率等等）。正因为如此，我们可以说波函数描述了体系所处的量子状态，或称状态。以描述体系，就称体系处于态，或称为体系的态函数。)t,r()t,r()t,r(体系处于态，或称为体系的态函数。)t,r()t,r(§2.3.波函数的性质，态叠加原理既然体系状态的波函数给出了体系有)tr(既然体系状态的波函数给出了体系有可能得到的信息，那么它有什么共同性质呢？)t,r(什（1）波函数的性质A归化条件A.归一化条件：为时刻，发现粒子在中rd2trdrr为时刻，发现粒子在中的几率。但测量时，总是要发现粒子的。所以，在整个空间中发现粒子的几率之和应为因1在整个空间中，发现粒子的几率之和应为。因1此，一个真正的实在的波函数，应该有1rd)t,r(2若波函数满足上述条件，则称该波函数已归化归一化。应该注意，只有当波函数归一化后，才能应该注意，只有当波函数归化后，才能说是几率。否则在区域中，发粒的率为rd)t,r(2rdrr发现粒子的几率为rd)t,r(2'rd)t,'r(2若22Ard)t,r(则归一化的波函数为（可差一相因子，为实数）)t,r(A1)t,r(ie这时才代表在区域中发现粒子的几率rd)t,r(2rdrr发现粒子的几率。例：tia2re)tr(a2e)t,r(2ti2rti2r2drdreerd)t,r(2a2a224drre20ar3a8所以归一化的波函数为所以，归化的波函数为ti2r1a2213e)a8(1)t,r(而在中的几率为drrr00ddsinea8drrddsin)t,,,r(drrar32020200a80r20a3redr2a在中的几率为32ad00在中的几率为00drdre1dsindrdrdsin)t,,,r(2ar302020a8),,,(30002a21dsin32a2a8dsin330dsin2102在中的几率为d00rdsindrrea8ddsindrr)t,,,r(d2ar3220a82a2a8d33a8d1d2d当然，也可计算中的几率dxxx00r210xxa320dzdyedxa81dxdydz)t,z,y,x(ax0e)xa(dx02e)xa(a4重要的是相对几率，和的相对几率分布是完全相同的是描述同量子状态)t,r()t,r(A1对几率分布是完全相同的，是描述同一量子状态。所以差一常数因子的波函数是完全相同的。即使所以差常数因子的波函数是完全相同的。即使归一化了，仍可有一相因子的差别为实数ie（为实数）。dddxa2z2y20xdydzea8dxa322ddea8dxa3220xa8dxa220xddea8dxa30aRx320RdRe4