2014届中考数学第一轮基础复习 第24讲 解直角三角形及其应用课件

第24讲┃解直角三角形及其应用第24讲┃考点聚焦考点聚焦考点解直角三角形的应用常用知识h∶l越陡仰角和俯角仰角俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，视线在水平线下方的叫俯角坡度和坡角坡度坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝____坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.i＝tanα，坡度越大，α角越大，坡面________第24讲┃考点聚焦方向角(或方位角)定义指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角图例第24讲┃归类示例归类示例►类型之一利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题命题角度：1.计算某些建筑物的高度(或宽度)；2.将实际问题转化为直角三角形问题．例1[2013·凉山州]某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：小明：我站在此处看树顶仰角为45°.小华：我站在此处看树顶仰角为30°.小明：我们的身高都是1.6m.小华：我们相距20m.请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度．(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，结果保留三个有效数字)第24讲┃归类示例[解析]画出如图示意图，延长BC交DA于E.设AE的长为x米，在Rt△ACE中，求得CE＝AE，然后在Rt△ABE中求得BE，利用BE－CE＝BC，解得AE，则AD＝AE＋DE.第24讲┃归类示例解：如图所示，延长BC交DA于E.设AE的长为x米，在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，∠AEB＝90°，则∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x米；在Rt△ABE中，∠B＝30°，AE＝x，∴tanB＝AEBE，即tan30°＝xBE，∴BE＝3x.∵BE－CE＝BC，BC＝20米，∴3x－x＝20，解得x＝103＋10.∴AD＝AE＋DE＝10＋103＋1.6≈28.9(米)．答：这棵汉柏树的高度约为28.9米．第24讲┃归类示例在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常见的构造的基本图形有如下几种：图24－1①不同地点看同一点第24讲┃归类示例图24－2②同一地点看不同点③利用反射构造相似图24－3►类型之二利用直角三角形解决航海问题命题角度：1.利用直角三角形解决方位角问题；2.将实际问题转化为直角三角形问题．第24讲┃归类示例例2[2013·连云港]已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km.一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后到达C处．现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向．求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，√2≈1.41，√5≈2.24)3第24讲┃归类示例图24－4[解析]利用锐角三角函数先求出AB长，再通过点B作AC的垂线，结合勾股定理求解．第24讲┃归类示例解：依题意BC＝40×1560＝10，在Rt△ADB中，∵sin∠DAB＝DBAB＝sin53.2°≈0.8，∴AB≈16÷0.8＝20.如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，在Rt△ABH中，∠BAH＝∠DAC－∠DAB＝79.8°－53.2°＝26.6°，∴tan∠BAH＝BHAH＝0.5，∴AH＝2BH.又BH2＋AH2＝AB2，BH2＋(2BH)2＝202，∴BH＝45，∴AH＝85.在Rt△BCH中，∵BH2＋CH2＝BC2，∴CH＝25，∴AC＝AH－CH＝85－25＝65≈13.4.故货轮与A观测点之间的距离约为13.4km.第24讲┃归类示例有关解直角三角形的实际问题，一般需要利用方向角等构造直角三角形解决．►类型之三利用直角三角形解决坡度问题例3[2013·衡阳]如图24－5，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD.(i＝CE∶ED，单位：m)第24讲┃归类示例命题角度：1.利用直角三角形解决坡度问题；2.将实际问题转化为直角三角形问题．图24－5第24讲┃归类示例[解析]作BF⊥AD于点F，在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AF的长，在直角△CED中，利用坡比的定义即可求得ED的长度，进而即可求得AD的长．第24讲┃归类示例解：如图所示，过点B作BF⊥AD，可得矩形BCEF.∴EF＝BC＝4，BF＝CE＝4.在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AB＝5，BF＝4.由勾股定理可得：AF＝52－42＝3.又∵Rt△CED中，i＝CEED＝12，∴ED＝2CE＝2×4＝8.∴AD＝AF＋FE＋ED＝3＋4＋8＝15(米)．第24讲┃回归教材热气球测楼高回归教材教材母题江苏科技版九下P55问题2为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为40°.若小明的眼睛离地面1.6m，小明如何计算气球的高度呢(精确到0.1m)?第24讲┃回归教材[解析]如图24－6，点C表示气球的位置，点A、B表示小明两次观测气球的位置，点A、B、D在一条直线上.CD⊥AD，CD的长与小明的眼睛离地面的高度的和即为所求的气球的高度．要计算CD，可以利用Rt△ACD及Rt△BCD，先找出BD、CD与已知量的数量关系，再计算CD.图24－6第24讲┃回归教材解：如图所示，由题意知，∠CAD＝27°，∠CBD＝40°，AB＝50m，点A、B、D在一条直线上，CD⊥AD.设BD＝xm，CD＝hm，在Rt△ACD中，tan27°＝h50＋x，h＝(50＋x)·tan27°.①在Rt△BCD中，tan40°＝hx，h＝xtan40°.②根据①和②，得(50＋x)·tan27°＝xtan40°.所以x＝50tan27°tan40°－tan27°，h＝50tan27°tan40°－tan27°×tan40°.利用计算器计算，得h＋1.6≈66.5(m)．答：气球的高度约为66.5m.第24讲┃回归教材[点析]通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识来解决，这是解此类问题的常规思路．第24讲┃回归教材中考变式[2012·扬州]如图24－7，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救.已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A处位于B处的北偏西30°的方向上.求A、C两处之间的距离．(结果精确到0.1海里.参考数据：≈1.41，≈1.73)第24讲┃回归教材图24－7[解析]△ABC不是直角三角形，可过点A作AD⊥BC于点D，构造Rt△ACD和Rt△ABD.设两直角三角形的公共边AD＝x，分别解Rt△ACD和Rt△ABD，用含x的代数式分别表示CD和BD的长，根据CD＋BD＝BC＝20建立方程可求得x的值，再在Rt△ACD中求得AC的长．第24讲┃回归教材解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.由题意可知∠B＝30°，∠ACD＝∠1＝45°，得△ADC是等腰直角三角形，∴DC＝AD.设AD＝x，则DC＝x.在Rt△ADB中，tanB＝ADDB，∴DB＝ADtanB＝xtan30°＝3x.∵BC＝20，∴x＋3x＝20，x＝203＋1＝103－1＝103－10.在Rt△ACD中，AC＝2AD，∴AC＝2×103－10≈10.3.答：A、C间的距离约为10.3海里．