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第24讲┃解直角三角形及其应用第24讲┃考点聚焦考点聚焦考点解直角三角形的应用常用知识h∶l越陡仰角和俯角仰角俯角在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫仰角,视线在水平线下方的叫俯角坡度和坡角坡度坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i=____坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.i=tanα,坡度越大,α角越大,坡面________第24讲┃考点聚焦方向角(或方位角)定义指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角图例第24讲┃归类示例归类示例►类型之一利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题命题角度:1.计算某些建筑物的高度(或宽度);2.将实际问题转化为直角三角形问题.例1[2013·凉山州]某校学生去春游,在风景区看到一棵汉柏树,不知这棵汉柏树有多高,下面是两位同学的一段对话:小明:我站在此处看树顶仰角为45°.小华:我站在此处看树顶仰角为30°.小明:我们的身高都是1.6m.小华:我们相距20m.请你根据这两位同学的对话,计算这棵汉柏树的高度.(参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732,结果保留三个有效数字)第24讲┃归类示例[解析]画出如图示意图,延长BC交DA于E.设AE的长为x米,在Rt△ACE中,求得CE=AE,然后在Rt△ABE中求得BE,利用BE-CE=BC,解得AE,则AD=AE+DE.第24讲┃归类示例解:如图所示,延长BC交DA于E.设AE的长为x米,在Rt△ACE中,∠ACE=45°,∠AEB=90°,则∠CAE=45°,∴AE=CE=x米;在Rt△ABE中,∠B=30°,AE=x,∴tanB=AEBE,即tan30°=xBE,∴BE=3x.∵BE-CE=BC,BC=20米,∴3x-x=20,解得x=103+10.∴AD=AE+DE=10+103+1.6≈28.9(米).答:这棵汉柏树的高度约为28.9米.第24讲┃归类示例在实际测量高度、宽度、距离等问题中,常结合视角知识构造直角三角形,利用三角函数或相似三角形来解决问题.常见的构造的基本图形有如下几种:图24-1①不同地点看同一点第24讲┃归类示例图24-2②同一地点看不同点③利用反射构造相似图24-3►类型之二利用直角三角形解决航海问题命题角度:1.利用直角三角形解决方位角问题;2.将实际问题转化为直角三角形问题.第24讲┃归类示例例2[2013·连云港]已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向,且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km.一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行,15min后到达C处.现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向.求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km,参考数据:sin53.2°≈0.80,cos53.2°≈0.60,sin79.8°≈0.98,cos79.8°≈0.18,tan26.6°≈0.50,√2≈1.41,√5≈2.24)3第24讲┃归类示例图24-4[解析]利用锐角三角函数先求出AB长,再通过点B作AC的垂线,结合勾股定理求解.第24讲┃归类示例解:依题意BC=40×1560=10,在Rt△ADB中,∵sin∠DAB=DBAB=sin53.2°≈0.8,∴AB≈16÷0.8=20.如图,过点B作BH⊥AC,交AC的延长线于H,在Rt△ABH中,∠BAH=∠DAC-∠DAB=79.8°-53.2°=26.6°,∴tan∠BAH=BHAH=0.5,∴AH=2BH.又BH2+AH2=AB2,BH2+(2BH)2=202,∴BH=45,∴AH=85.在Rt△BCH中,∵BH2+CH2=BC2,∴CH=25,∴AC=AH-CH=85-25=65≈13.4.故货轮与A观测点之间的距离约为13.4km.第24讲┃归类示例有关解直角三角形的实际问题,一般需要利用方向角等构造直角三角形解决.►类型之三利用直角三角形解决坡度问题例3[2013·衡阳]如图24-5,一段河坝的横断面为梯形ABCD,试根据图中的数据,求出坝底宽AD.(i=CE∶ED,单位:m)第24讲┃归类示例命题角度:1.利用直角三角形解决坡度问题;2.将实际问题转化为直角三角形问题.图24-5第24讲┃归类示例[解析]作BF⊥AD于点F,在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AF的长,在直角△CED中,利用坡比的定义即可求得ED的长度,进而即可求得AD的长.第24讲┃归类示例解:如图所示,过点B作BF⊥AD,可得矩形BCEF.∴EF=BC=4,BF=CE=4.在Rt△ABF中,∠AFB=90°,AB=5,BF=4.由勾股定理可得:AF=52-42=3.又∵Rt△CED中,i=CEED=12,∴ED=2CE=2×4=8.∴AD=AF+FE+ED=3+4+8=15(米).第24讲┃回归教材热气球测楼高回归教材教材母题江苏科技版九下P55问题2为了测量停留在空中的气球的高度,小明先站在地面上某点处观测气球,测得仰角为27°,然后他向气球方向前进了50m,此时观测气球,测得仰角为40°.若小明的眼睛离地面1.6m,小明如何计算气球的高度呢(精确到0.1m)?第24讲┃回归教材[解析]如图24-6,点C表示气球的位置,点A、B表示小明两次观测气球的位置,点A、B、D在一条直线上.CD⊥AD,CD的长与小明的眼睛离地面的高度的和即为所求的气球的高度.要计算CD,可以利用Rt△ACD及Rt△BCD,先找出BD、CD与已知量的数量关系,再计算CD.图24-6第24讲┃回归教材解:如图所示,由题意知,∠CAD=27°,∠CBD=40°,AB=50m,点A、B、D在一条直线上,CD⊥AD.设BD=xm,CD=hm,在Rt△ACD中,tan27°=h50+x,h=(50+x)·tan27°.①在Rt△BCD中,tan40°=hx,h=xtan40°.②根据①和②,得(50+x)·tan27°=xtan40°.所以x=50tan27°tan40°-tan27°,h=50tan27°tan40°-tan27°×tan40°.利用计算器计算,得h+1.6≈66.5(m).答:气球的高度约为66.5m.第24讲┃回归教材[点析]通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题,然后利用解直角三角形的知识来解决,这是解此类问题的常规思路.第24讲┃回归教材中考变式[2012·扬州]如图24-7,一艘巡逻艇航行至海面B处时,得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障,就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救.已知C处位于A处的北偏东45°的方向上,港口A处位于B处的北偏西30°的方向上.求A、C两处之间的距离.(结果精确到0.1海里.参考数据:≈1.41,≈1.73)第24讲┃回归教材图24-7[解析]△ABC不是直角三角形,可过点A作AD⊥BC于点D,构造Rt△ACD和Rt△ABD.设两直角三角形的公共边AD=x,分别解Rt△ACD和Rt△ABD,用含x的代数式分别表示CD和BD的长,根据CD+BD=BC=20建立方程可求得x的值,再在Rt△ACD中求得AC的长.第24讲┃回归教材解:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D.由题意可知∠B=30°,∠ACD=∠1=45°,得△ADC是等腰直角三角形,∴DC=AD.设AD=x,则DC=x.在Rt△ADB中,tanB=ADDB,∴DB=ADtanB=xtan30°=3x.∵BC=20,∴x+3x=20,x=203+1=103-1=103-10.在Rt△ACD中,AC=2AD,∴AC=2×103-10≈10.3.答:A、C间的距离约为10.3海里.
本文标题:2014届中考数学第一轮基础复习 第24讲 解直角三角形及其应用课件
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