8.11几何证明初步

几何证明初步知识盘点一、互逆命题与互逆定理1、命题的概念：对一件事情的语句。温馨提示：○1、每个命题都有条件（题设）和结论两部分；○2、命题的一般形式是“如果…（条件），那么…（结论）”；○3、正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，验证一个命题是真命题，要经过严格证明，说明一个命题是假命题，只要指出一个反例即可。2、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的是第二个命题的，而第一个命题的是第二个命题的，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做，那么另一个命题叫做它的。温馨提示：○1、任何一个命题都有逆命题；○2、把一个命题的条件、结论交换，就得到它的逆命题；○3、原命题成立，逆命题不一定成立，反之亦然。3、互逆定理：如果一个定理的能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做。温馨提示：○1、逆定理、互逆定理，一定是真命题；○2、不是所有的定理都有逆定理。二、相关定理（一）、平行线的性质与判定：（三性质和五判定）三性质：1、“两直线平行，同位角相等”。∵AB//CD，∴。2、“两直线平行，内错角相等”。∵AB//CD，∴。3、“两直线平行，同旁内角互补”。∵AB//CD，∴。五判定：1、“同位角相等，两直线平行”。∵，∴AB//CD2、“内错角相等，两直线平行”。∵，∴AB//CD3、“同旁内角互补，两直线平行”。∵，∴AB//CD4、“平行与同一条直线的两直线平行”。∵a//b，b//c，∴。5、在同一平面内，垂直与同一条直线的两直线平行。∵a⊥c，b⊥c，∴a//b温馨提示：（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；（3）两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直。（二）、三角形内角和及外角定理：1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．cbacba4321FEDCBA21BACMD推理过程：○1作CM∥AB，则∠A=，∠B=，∵∠ACB+∠1+∠2=1800（，∴∠A+∠B+∠ACB=1800．○2作MN∥BC，则∠2=，∠3=，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800．温馨提示：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．（3）特殊三角形的内角关系：直角三角形两锐角互余；等边三角形每个内角都等于6002、三角形的外角的定义三角形，叫做三角形的外角.温馨提示：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.3．三角形外角的性质（1）、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．（2）、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．（3）、三角形的三个外角和为360°。温馨提示：外角与相邻的内角互为邻补角。（三）、全等三角形1．定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．2．性质两全等三角形的相等、相等。温馨提示：(1)全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应高分别相等。(2)对应的量分别相等。3．判定(1)判定1：．(“SAS”)(1)判定2：．(“ASA”)(3)判定3：．(“SSS”)(4)判定4：．(“AAS”)(5)判定5：．(“HL”)温馨提示：○1“HL”定理是直角三角形独有的，对一般三角形不成立；而一般三角形的全等判定方法同样适用于直角三角形．○2切记：“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”．BACED（四）、等腰三角形1、定义：。2、判定：（等角对等边）即：如果一个三角形有两个角那么。3、性质：1）、（等边对等角）即：如果一个三角形有两条边那么。2）、（三线合一）即：等腰三角形、、互相重合。(1)∵AB=ACAD⊥BC∴。(2)∵AB=ACBD=CD∴。(3)∵AB=AC∠BAD=∠CAD∴。3）、等腰三角形是对称图形，但不是对称图形。4、特殊的等腰三角形----等边三角形1）、判定：(1)三条边的三角形是等边三角形。(2)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形。(3)三个角都三角形是等边三角形2）、性质：（1）三条边都。（2）三个角都等于。（3）共有组三线合一。（4）等边三角形是对称图形，但不是对称图形。温馨提示：（1）等腰三角形和等边三角形都是轴对称图形，都不是中心对称图形。（2）等腰三角形的三线合一性：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．即只要知道其中一个量，就可以知道其它两个量．（3）等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则ab2．（五）、直角三角形1、直角三角形性质：（1）直角三角形两锐角。（2）勾股定理：。（3）斜边的中线等于斜边的。（4）30°角所对的直角边等于斜边的。（5）射影定理：直角三角形斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项．即：．，，ABBDBCABADACBDADCDABCDACB22290温馨提示：1、它是计算线段长、求比例等积式或证明中的常用定理；2、这个双垂直图形中还有：①两对等角(除直角)ACDBBCDA，；②三个相似三角形即ACD∽CBD∽ABC；③由面积公式推导出来另一等积式：BCACCDAB2、直角三角形判定：（1）勾股定理逆定理：。（2）若两个角的和等于，则这个三角形是直角三角形。（3）三角形一边中线等于第三边的，这个三角形是直角三角形。（4）直径或半圆所对的是直角。（5）圆的切线于经过切点的半径。（六）、线段的垂直平分线1、线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到.如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，。温馨提示：（1）、定理的作用：证明两条线段相等；（2）、⊿ABC是等腰三角形，CD三线合一；（3）、线段AB关于它的垂直平分线轴对称；关于中点D中心对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.如图1，已知直线m是线段AB垂直平分线，若，则点C在直线m上.温馨提示：○1定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.○2注意线段垂直平分线性质定理和逆定理区别和联系3、关于三角形三边垂直平分线的定理（三角形的外心）：三角形三边的垂直平分线相交于一点（外心），并且的距离相等.如图2，若直线,,ijk分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线,,ijk相交于一点O，且OA＝OB＝OC.温馨提示：结合三角形外心的性质掌握，如：外心位置、OA＝OB＝OC.几何作图应用等进行掌握（七）、角平分线1、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点。如图3，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若，则。温馨提示：①证明两条线段相等（相等量：OD=OC、FC=FD；∠COF=∠DOF、∠CFO=∠DFO）；②与用于几何作图问题；③与圆切线长定理有密切联系④角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若，m图1DABC图2图5CDOABP图3则点P在∠AOB的平分线上.温馨提示：○1定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线○2注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.3、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点（内心）的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点的距离相等.如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.温馨提示：结合三角形内心性质掌握，如：内心位置、IF=IE=IP、实际中的几何作图等进行掌握.（八）、三角形中位线定理（简略）.1.三角形中位线定理：三角形的中位线，。2.三角形中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线第三边。(九)、勾股定理及逆定理（简略）.（十）、两点的距离公式（简略）三、反证法：1、什么叫反证法？反证法是一种通过证明结论的反面不成立，从而得到其正面（即结论）正确的一种几何证明方法。温馨提示：反证法通常分为：①归谬反证法(结论的反面只有一种)②穷举反证法(结论的反面不只一种)。2、用反证法证明一个命题的步骤（反设－归谬－结论），大体上分为：1）.先假设结论的反面是正确的;2）.然后以假设为条件进行推理，直至找出一个与所学过的公理、定理或已知的条件相矛盾的结论;3）.否定假设,得出题目原结论正确。考点呈现一、互逆命题与互逆定理图6EFDIPRQBCA在Y轴或平行于Y轴的直线上，AB=|y1—y2|一般地，AB=（x1—x2）2+（y1—y2）2在X轴或平行于X轴的直线上，AB=|x1—x2|两点A（x1，y1）和B（x2，y2）的距离公式例1.命题“矩形的对角线相等”的条件是_____，结论是______．分析：把命题转化成“如果…，那么…”形式，可便于找到命题的条件和结论。答案：“一个四边形是矩形；它的对角线相等”。点评：本题考查命题的结构，对数学语言进行适当调整。例2.“等角的余角相等”的逆命题。分析：找到原命题的条件和结论进行交换，从而确定逆命题。答案：如果两个角的余角相等，那么着两个角是等角。点评：本题考查命题的结构，确定原命题的逆命题，解答的关键是明确原命题的条件和结论，交换条件和结论。例3.命题“如果∠A=65°，∠B=25°，那么∠A与∠B互余”的逆命题是________命题(填“真”或“假”。分析：正确是真错误是假。答案：假点评：本题考查互逆命题真假关系，注意互逆命题真假性没有关系。三、反证法例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图），求证AB与CD不能互相平分。分析：找到问题的反面，假设AB与CD互相平分，从反面入手，推出矛盾。答案：证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。∵OA＝OB，M是AB中点，∴OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM这与已知的定理相矛盾。故AB与CD不能互相平分。点评：首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。（即自相矛盾）。例2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。分析：当直接证明不好证明时，可采用反证法，但要对命题中关键性语言认真推敲，如本例“至少”、“大于或等于”就很具有迷惑性，必须细心。答案：证明：不妨设三角形的三个内角为∠A、∠B、∠C假设∠A、∠B、∠C中设有一个大于或等于60°，则它们都小于60°。即∠A＜60°、∠B＜60°、∠C＜60°∴∠A＋∠B＋∠C＜180°这与三角形内角和定理矛盾，这说明假设不成立。故∠A、∠B、∠C中至少有一个大于或等于60°。点评：“反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。误区点拨1.把原命题的题设和结论互换，需要适当的变通，在写一个命题的逆命题时，要注意一些专用词的用法．例1.命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题。错解：“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，剖析：上面的写法不对．原命