补充材料：空间向量在立体几何解题中的应用讲座(新)

1补充材料：空间向量在立体几何解题中的应用空间向量是高中数学立体几何中新增加的内容，借助于空间向量工具，可以对一些传统解法中较为繁琐的问题加以定量化，从而降低了思维难度，增强了可操作性，尤其在空间角与距离的处理上有着独特的优势，避开了各种辅助线添加的难处，代之以空间向量的计算．一、空间向量的基础知识1．空间向量的坐标运算(1)空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(i，j，k按右手系排列)建立坐标系，坐标轴正方向与i，j，k方向相同．空间一点P的坐标的确定可以按如下方法：过P分别作三个坐标平面的平行平面(或垂直平面)，分别与坐标轴交于A、B、C三点，|x|=OA，|y|=OB，|z|=OC，当OA与i方向相同时，x0，反之x0．同理确定y、z．点P的坐标与OP坐标相同．(2)向量的直角坐标运算设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；a·b=a1b1+a2b2+a3b3，a∥ba1=b1，a2=b2，a3=b3(R)．或312123aaabbb，a⊥ba1b1+a2b2+a3b3=0．(3)夹角和距离公式①夹角公式cosa，b=112233222222123123abababaaabbb．②距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|=222212121()()()xxyyzz．③定比分点公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则若M分AB为定比(≠-1)，则M的坐标为x=121xx，y=121yy，z=121zz，特别地，当=1即M为中点时得中点坐标公式：x=122xx，y=122yy，z=122zz．由中点公式，可得以A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)为顶点的三角形重心公式：x=1233xxx，y=1233yyy，z=1233zzz．2．平面法向量的概念和求法向量与平面垂直：如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a⊥．2平面的法向量：如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量．一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反．一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题．推导平面法向量的方法如下：在选定的空间直角坐标系中，设平面的法向量n=(x，y，z)[或n=(x，y，1)或n=(x，1，z)，或n=(1，y，z)]，在平面内任选定两个不共线的向量a，b．由n⊥，得n·a=0且n·b=0，由此得到关于x，y的方程组，解此方程组即可得到n．说明：为求平面的法向量n，按理应当设n=(x，y，z)，但是因为相差一个常数因子并不影响其与平面ABC的垂直性，在z≠0的条件下，由n=(x，y，z)=z(xz，yz，1)，令xz=x′，yz=y′，于是可设n=(x′，y′，1)，同理也可设n=(1，y′，z′，1)，或n=(x′，1，z′)．有时为了需要，也求法向量n上的单位法向量n0，则n0=||nn．例1．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求平面A1C1D的法向量n和单位法向量n0．分析：建立空间直角坐标系，如图1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，得1DA=(1，0，1)，1DC=(0，1，1)．设平面A1C1D的法向量n=(x，y，1)．由n⊥面A1C1D，得n⊥1DA，n⊥1DC．有(,,1)(1,0,1)0(,,1)(0,1,1)0xyxy，得11xy．∴n=(-1，-1，1)，n0=||nn=(1,1,1)333(,,)333111．二、空间向量在立体几何解题中的应用(一)空间角1．异面直线所成的角设点A，B直线a，C，D直线b，构造向量AB，CD．cosAB，CD=||||ABCDABCD，AB，CD所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角．在例1中，设AC∩BD=O，求异面直线D1O，DC1所成的角．分析：1DO=(12，12，-1)，1DC=(0，1，1)．zA1yxAC1BCD1B1D图13cos1DO，1DC=11111326||||322DODCDODC，∴异面直线D1O，DC1所成的角为arccos36．例2．在正四面体S—ABC中，棱长为a，E、F分别为SA和BC的中点，求异面直线CE和SF所成角．分析：设SA=e1，SB=e2，SC=e3，则+CECSSE=12e1-e3，SF=12e2+12e3，∴CESF=(12e1-e3)·(12e2+12e3)=-12a2，且|CE|=|SF|=32a，∴cosCE，SF=-23，∴异面直线CE和SF所成角为arccos23．2．线面所成的角如图，AB为平面的斜线，n为平面的法向量，如果AB与n之间所成的角为锐角，则斜线AB与平面之间所成的角=2-．即利用向量AB与n求出的是角，实际上所求的角是．若为锐角，则=2-，sin=cos；若为钝角，则=2-(-)=-2，sin=-cos．总之有，sin=|cosAB，n|=||||||ABABnn．在例1中，求直线AA1与平面A1C1D所成的角．解析：由例1知，n=(-1，-1，1)，1AA=(0，0，1)，∴sin=11||133||||3AAAAnn，即=arcsin33．在例1中，设E、F分别为C1D1、B1C1的中点，(1)求证：E、F、B、D共面；(2)求A1D与平面EFBD所成的角．分析：(1)∵E(0，12，1)，F(12，1，1)，DB=(1，1，0)，EF=(12，12，0)，又DB=2EF，∴DB∥EF，故E、F、B、D共面．zxBA1yEFB1C1D1DCA图2nBA4(2)设平面EFBD的法向量n=(x，y，1)．得DE=(0，12，1)，1DA=(1，0，1)，∵n⊥面EFBD，得n⊥DB，n⊥DE．有(,,1)(1,1,0)01(,,1)(0,,1)02xyxy，得22xy，∴n=(2，-2，1)，∴sin=11||322||||23DADAnn，即=4．3．二面角的求法二面角—l—，平面的法向量m，平面的法向量n．则二面角—l—的平面角=m，n．所以，cosm，n=||||mnmn．若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则m，n为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，则m，n为二面角的平面角．在例1中，求二面角D1—AC—D的大小．分析：易知，平面ACD1的法向量是n1=(1，1，1)，平面DAC的法向量是n2=(0，0，1)，设二面角D1—AC—D的大小为，则cos=1212(1,1,1)(0,0,1)3||||33nnnn，得=arcsin33．说明：由于法向量的多样性，二面角的两个半平面的法向量n1与n2的夹角可能等于所求二面角的平面角，如本例，也可能等于二面角的平面角的补角．如若n2=(0，0，-1)，则cosn1，n2=1212||||nnnn=-33=-cos，于是=-n1，n2=-(-arcsin33)=arcsin33．如何来确定两法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角呢？一靠经验：通过题目估计它是钝角还是锐角；二用半平面旋转法：把二面角的一个半平面绕棱l按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合时，若两个半平面的法向量的方向相同，则相等，若方向相反，则互补．(二)空间距离lmn点到面的距离线到面的距离线到线的距离面到面的距离51．点到面的距离设A是平面外一点，AB是的一条斜线，交平面于点B，而n是平面的法向量，那么向量BA在n方向上的正射影长就是点A到平面的距离h，所以h=|||||cos,|||BABABAnnn(1)例1中，设G、H分别是A1B1、CD的中点，求点B到截面AGC1H的距离．分析：∵A(1，0，0)，H(0，12，0)，G(1，12，1)，∴AG=(0，12，1)，AH=(-1，12，0)．设面AGC1H的法向量为n=(1，，)，则有：n·AG=0，n·AH=0，∴102211102，∴n=(1，2，-1)，又AB=(0，1，0)，所以点B到截面AGC1H的距离为263||||16ABABnn．练习1：在例1中，求点A1到平面ACD1的距离．解析：平面ACD1的单位法向量n0=(33，33，33)，又1AA=(0，0，1)，设点A1到平面ACD1的距离为d，则d=|1AA·n0|=|(0，0，1)·(33，33，33)|=33．所以，点A1到平面ACD1的距离为33．练习2：在例1中，求点A1到平面DBEF的距离．分析：DB=(1，1，0)，DE=(0，21，1)，1DA=(1，0，1)，设平面DBEF的法向量为n=(x，y，z)，则有00DBDEnn，即0102xyyz．令x=1，y=-1，z=21，取n=(1，-1，21)，则A1到平面DBEF的距离h=1||||DAnn=1．ABhn6ABCDnab图32．异面直线间的距离如图3，若CD是异面直线a、b的公垂线段，A、B分别为a、b上的任意两点．令向量n⊥a，n⊥b，则n∥CD．∵AB=AC+CD+DB，∴ABn=ACn+CDn+DBn，∴ABn=CDn，∴|ABn|=|CD||n|，∴|CD|=||||ABnn．∴两异面直线a、b间的距离为：d=||||ABnn．其中n与a、b均垂直(即a，b的公垂向量)，A、B分别为两异面直线上的任意两点．另外：假设异面直线a、b，平移直线a至a′且交b于点A，那么直线a′和b确定平面，且直线a∥，设n是平面的法向量，那么n⊥a，n⊥b．所以异面直线a和b的距离可以转化为求直线a上任一点到平面的距离．在例1中，求异面直线D1G和BC1间的距离．分析：1DG=(1，12，0)，1BC=(-1，0，1)，设D1G和BC1公垂线段上的向量为n=(1，，)，则1100DGBCnn，即110210，∴21，∴n=(1，-2，1)，又11DC=(0，1，0)，∴11||26||36DCnn，所以异面直线D1E和BC1间的距离为63．练习3．在例1中，求直线DA1和AC间的距离．分析：AC=(-1，1，0)，1DA=(1，0，1)．设DA1和AC公垂线段上的向量为n=(x，y，z)，由100ACDAnn，可取n=(1，1，-1)，又1AA=(0，0，1)，所以点A到平面A1C1D的距离为h=1||3||3AAnn，7ABCDOSxyz图4即直线DA1和AC间的距离为33．例3．如图4，正四棱锥S—ABCD的高SO=2，底边长AB=2，求异面直线BD和SC之间的距离．分析：建立如图所示的直角坐标系，则A(22，-22，0)，B(22，22，0)，C(-22，22，0)，D(-22，-22，0)，S(0，0，2)．∴DB=(2，2，0)，CS=(22，-22，2)．令向量n=(x，y，1)，且n⊥DB，n⊥CS，则00DBCSnn，∴(,,1)(2,2,0)022(,,1)(,,2)022xyxy，0220xyxy，∴22xy，∴n=(-2，2，1)．∴异面直