D1-2-2 函数的极限 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

返回后页前页第一部分函数、极限、连续•1.1：函数•1.2：极限–数列的极限–函数的极限–无穷小与无穷大–极限运算法则–无穷小的分类•1.3：连续作为数列极限概念的推广，从现在开始，我们来学习函数的极限返回后页前页函数的极限x趋于无穷大时的函数极限函数极限的性质单侧极限x趋于x0时的函数极限两个重要极限无穷小量与无穷大量x趋于无穷大时的函数极限x趋于x0时的函数极限函数极限的性质单侧极限两个重要极限无穷小量与无穷大量x趋于无穷大时的函数极限x趋于x0时的函数极限返回后页前页.sin时的变化趋势当观察函数xxx播放引例x趋于时的函数极限返回后页前页.sin时的变化趋势当观察函数xxx引例返回后页前页.sin时的变化趋势当观察函数xxx引例返回后页前页.sin时的变化趋势当观察函数xxx引例返回后页前页.sin时的变化趋势当观察函数xxx引例返回后页前页.sin时的变化趋势当观察函数xxx引例返回后页前页.sin时的变化趋势当观察函数xxx引例返回后页前页.sin时的变化趋势当观察函数xxx引例返回后页前页.sin时的变化趋势当观察函数xxx引例返回后页前页.sin时的变化趋势当观察函数xxx引例返回后页前页.0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx通过上面演示实验的观察:问题1:当x无限增大时,y=f(x)是否无限接近于某一确定的数值?问题2:“无限接近”意味着什么?如何用精确的数学语言刻划它.返回后页前页x趋于时的函数极限设函数定义在)(xf,aA)(xfxyO极限.f(x)当x趋于时以A为也无限地接近A,我们就称无限远离原点时,函数f(x)上,当x沿着x轴的正向返回后页前页x趋于例如函数,arctanxy当时,xyπ210203040O0.51为极限.以xarctanπ2返回后页前页记为或者lim()xfxA).()(xAxf定数,若对于任意正数存在使得，0，)(aM,)(AxfAxxf时以趋于当)(则称函数.为极限,时Mx当定义1.,上的一个函数为定义在设afA为返回后页前页④()AfxA有lim()xfxA的几何意义③xM使当时xAA①任意给定0M②存在MaAxyOa返回后页前页注数列可视为定义在正整数集上的函数.请大家所以(由定义1),例1证明.01limxx任给取证,0,1M,时当Mx,10)(xxf.01limxx与不同点.比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点返回后页前页例2.2arctanlimxx证明证任给),2(0).2tan(M取这就是说πlimarctan.2xx时，当Mx严格增，因为xarctanππ()arctan22fxxππ().22返回后页前页,)(Axf定义2,,)(上定义在设bxf.是一个常数A,0,0M存在()xMb当时若对于任意记为Axxf时以当)(,为极限则称Axfx)(lim或).()(xAxf返回后页前页为极限，时以当则称Axxf)(记为,)(Axf定义3A,)()(内的某个邻域定义在设Uxf存在当，0M,0.为一个常数若对于任意xM时Axfx)(lim或).()(xAxf返回后页前页例求证.011lim2xx22110,1xx所以结论成立.,1M有时当,Mx证对于任意正数,可取返回后页前页例.0sinlimxxx证明证xxxxsin0sinx1X1,,0,1X取时恒有则当Xx,0sinxx.0sinlimxxx故返回后页前页从定义1、2、3不难得到:.)(lim)(limAxfxfxx定理定义在则的一个邻域内，)(xfxxarctanlim则，.不存在Axfx)(lim的充要条件是：ππlimarctan,limarctan,22xxxx例如返回后页前页问题1:当x趋近于有限值时,y=f(x)是否无限接近于某一确定的数值?问题2:“趋近于”意味着什么?如何用精确的数学语言刻划它.x趋于x0时的函数极限返回后页前页二、x趋于x0时的函数极限,数,)(),(0时当xUxUx,)(Axf定义)(xf设内有)(xU的某空心邻域0x在点,如果对于任意正数定义，.是一个常数A存在正或者0lim()xxfxA.)()(0xxAxf.)(0为极限时以当Axxxf记为则称•“-δ”语言•非常重要•熟练掌握返回后页前页1.对于δ,我们强调其存在性。对于固定的ε，不同的方法会得出不同的δ=δ(ε)，不存在哪一个更好；2.δ是不唯一的,一旦求出了δ，那么比它更小的正数都可以；3.ε是任取的，取好之后就是个确定的常数；4.对于某个ε，能找到相应的δ=δ(ε),那么比它大的ε,这个δ=δ(ε)同样满足要求。再说ε-δ语言返回后页前页以y=A为中心线,宽为2ε的窄带,可以找到,0使得曲线段),(),(0xUxxfy0,任给落在窄带内.AyAyAyOxy0x0x0x函数极限的几何意义返回后页前页单侧极限，时在考虑)(lim0xfxxx既可以从x0)(0xx的左侧但在某些时.)(000xxxx趋向于的右侧又可以从定义5,)),((),()(00有定义在设xUxUxfA为常数.若对于任意正数,,）（存在正数在定义区间的端点和分段函数的分界点等.候,我们仅需(仅能)在x0的某一侧来考虑,比如函数返回后页前页||,fxA（）则称A为函数f当00()xxxx时的右(左)极限.))(lim()(lim00AxfAxfxxxx右极限与左极限统称为单侧极限,为了方便起见，).(lim)0(,)(lim)0(0000xfxfxfxfxxxx时，有当)0(000xxxx记作记返回后页前页例讨论函数.112处的单侧极限在xx解因为,1||x),1(2)1()1(12xxxx.|01|2x.01lim21xx这就证明了.01lim21xx同理可证所以有时当,11x,2,02取返回后页前页.)(lim)(lim00Axfxfxxxx）有定义，则（在设0)(xUxf定理:)(lim0的充要条件是Axfxx,1sgnlim,1sgnlim00xxxx由于xxsgnlim0所以不存在.返回后页前页例证明狄利克雷函数无理数，有理数xxxD0,1)(证001R,,.2xA对于任意的以及任意实数取处处无极限.,||00*xx,QR,21||,0*xA取若对于任意的满足返回后页前页.21|||)(|0*AAxD**01||,Q,0||,2Axxx若取满足则.21|1||)(|0*AAxD这就证明了结论.则返回后页前页函数极限的性质返回前面的章节中介绍了几种函数的极限，本节仅以0lim()xxfxA为例介绍函数极限的若干性质a)唯一性b)有界性c)保号性d)夹逼准则返回后页前页定理(唯一性))(lim0xfxx存在,则此极限唯一.若定理（局部有界性）,)(lim0Axfxx若上在)()(0xUxf,)(0xU则存在有界.1.有界函数不一定存在极限；2.局部是关键词无界在，但)2,0(111lim1xxx返回后页前页定理（局部保号性）若,)0(0)(lim0或Axfxx则对任何正数)(ArAr或使得存在,)(,0xU.)0)((0)(rxfrxf或有对一切,)(0xUx且设,)(lim)(lim00Axgxfxxxx定理（夹逼准则）内有的某个空心邻域在)(00xUx).()()(xgxhxf.)(lim0Axhxx那么返回后页前页;)(lim)(lim)]()([lim)1(000xgxfxgxfxxxxxx;)(lim)(lim)()(lim)2(000xgxfxgxfxxxxxxgfgf,在点x0的极限也存在,且都存在,则,0)(lim)3(0xgxx又若在点x0的极限也存在,gf则定理（四则运算法则）若,)(lim0xfxx)(lim0xgxx.)(lim)(lim)()(lim000xgxfxgxfxxxxxx并有返回后页前页arctan1limlimarctanlimxxxxxxxπ00.2例1.arctanlimxxx求π1limarctan,lim0,2xxxx解因为所以返回后页前页例2求极限π4lim(tan1).xxxππ44πsinsin4limtanlim1,πcoscos4xxxxx解因为所以π4ππlim(tan1)111.44xxx返回后页前页小结函数极限的统一定义;)(limAnfn;)(limAxfx;)(limAxfx;)(limAxfx;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx.)(lim0Axfxx.)(,,,0)(limAxfAxf恒有从此时刻以后时刻(见下表)•“-δ”语言•非常重要•熟练掌握返回后页前页过程时刻从此以后nxxxNNnNxNxNx)(xfAxf)(0xx00xx0xx0xx00xx00xx过程时刻从此以后)(xfAxf)(返回后页前页思考题试问函数0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在0x处的左、右极限是否存在？当0x时，)(xf的极限是否存在？返回后页前页思考题解答)(lim0xfx,5)5(lim20xx左极限存在,)(lim0xfx,01sinlim0xxx右极限存在,)(lim0xfx)(lim0xfx)(lim0xfx不存在.返回后页前页证明：函数极限的定义0sinlim221241lim1221xxxxxx、、练习题返回后页前页无穷小量与无穷大量返回三、无穷大量二、无穷小量阶的比较一、无穷小量四、无穷大量VS无穷小量无穷大量不是一个具体的数，而是一个过程.无穷小量不是一个具体的数，也是一个过程.返回后页前页一、无穷小量定义1内有定义，的某邻域在点设)(00xUxf,0lim0xfxx若.0时的无穷小量为则称xxf为类似地可以分别定义f.时的无穷小量和有界量.0时的有界量xx0fx若在点的某个空心邻域内有界，则称f为,,,00xxxxxxx,返回后页前页显然，无穷小量是有界量.而有界量不一定是无穷时的无穷小量；为11xx例如:；时的无穷小量为112xxsin;xxx为时的无穷小量sin.xx为时的有界量小量.返回后页前页1.两个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量2.无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量.无穷小量与有界量的关系：例如:时为时的无穷小量，为01sin0xxxx.01sin时的无穷小量为的有界量，那么xxx性质1要求两个无穷小量性质相同两个无穷小量的商不一定是无穷小量返回后页前页xxy1sin从几何上看，曲线在近旁发生无0x限密集的振动，其振幅被两条直线xy所限制.y-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05O0.050.1xxyxxy1sinxy返回后页前页二、无穷小量阶的比较两个相同类型的