复数的概念及运算(课件)

复数的概念及运算【学习目标】1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用．2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算．3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．【基础检测】1.复数（1－i）22i＝()A.1B.－1C.iD.－iB【解析】由复数的代数运算，得(1－i)2＝－2i，故原式＝－1.故选B.2.设i是虚数单位，若复数m＋103＋im∈R是纯虚数，则m的值为()A.－3B.－1C.1D.3A【解析】m＋103＋i＝m＋3－i，因为是纯虚数，所以m＋3＝0，∴m＝－3，故选A.3.若复数z＝21＋3i，则z＝()A.12B.32C.1D.2C【解析】z＝21＋3i＝21－3i4＝12－32i，所以z＝122＋322＝1，故选C.4.在复平面内与复数z＝5i1＋2i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为()A.1＋2iB.1－2iC.－2＋iD.2＋iC【解析】z＝5i1＋2i＝2＋i，所以点A的坐标为(－2，1)，所对应复数为－2＋i，故选C.5.已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m(1＋i)＝7＋ni，则m＋nim－ni＝____.i【解析】由m(1＋i)＝7＋ni，得m＋mi＝7＋ni，即m＝n＝7，∴m＋nim－ni＝7＋7i7－7i＝1＋i1－i＝（1＋i）2（1－i）（1＋i）＝2i2＝i，故答案为i.【知识要点】1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和__________，若b≠0，则a＋bi为虚数，若________________，则a＋bi为纯虚数，i为虚数单位．(2)复数相等：复数a＋bi＝c＋di⇔________________(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔________________(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝_____________．虚部a＝0，b≠0a＝c且b＝da＝c且d＝－ba2＋b22．复数的四则运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝（ac＋bd）＋（bc－ad）ic2＋d2＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．3．两条性质(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(其中n∈N*)；(2)(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.一、复数的分类与几何意义例1(1)已知i是虚数单位，z1＝2＋2i，z2＝1－3i，那么复数z＝z21z2在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)若纯虚数z满足(2－i)z＝4－b(1＋i)2(其中i是虚数单位，b是实数)，则b＝()A.－2B.2C.－4D.4BC(3)复数z1＝3a＋5＋(10－a2)i，z2＝21－a＋(2a－5)i，若z1＋z2是实数，则实数a的值为____.(4)复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A、B、C，若∠BAC是钝角，则实数c的取值范围为.34911，9∪(9，＋∞)【解析】(1)∵z＝z21z2＝22（1＋i）21－3i＝45(－3＋i)，∴z＝z21z2在复平面上对应的点位于第二象限.(2)设z＝ai(a≠0)，则有(2－i)·ai＝4－2bi，即a＋2ai＝4－2bi，即a＝4，2a＝－2b，解得b＝－4.故选C.(3)1z＋z2＝3a＋5＋(a2－10)i＋21－a＋(2a－5)i＝3a＋5＋21－a＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝a－13（a＋5）（a－1）＋(a2＋2a－15)i.∵1z＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.(4)在复平面内三点坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(c，2c－6)，由∠BAC是钝角得AB→·AC→0且B、A、C不共线，由(－3，－4)·(c－3，2c－10)0，解得c4911，其中当c＝9时，AC→＝(6，8)＝－2AB→，B、A、C三点共线，故c≠9.∴c的取值范围是c4911且c≠9.【点评】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程即可.二、复数的四则运算例2(1)已知复数z＝i＋i2＋i3＋…＋i2017，则z＝____.(2)计算（1－i）（1＋2i）1＋i＝()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i(3)计算21－i－(1＋i)2等于()A.1＋iB.－1＋iC.1－iD.－1－i(4)计算：2＋2i（1－i）2·21＋i2016＝.iCC－1＋i【解析】(1)z＝i＋i2＋i3＋…＋i2017＝i（1－i2017）1－i＝i－i20181－i，∴z＝i＋11－i＝（i＋1）22＝i.(2)因为（1－i）（1＋2i）1＋i＝3＋i1－i2＝2－i，故选C.(3)因为21－i－(1＋i)2＝1＋i－2i＝1－i，故选C.(4)原式＝2＋2i－2i22i1008＝1＋i－i1i1008＝－1＋i.【点评】复数运算即要遵循运算法则，又要细心观察所给式的结构特征，力争“巧算”.三、复数的模与复数相等的充要条件及应用例3(1)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝____.(2)已知m1＋i＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝()A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i(3)若(1＋ai)2＝－1＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则|a＋bi|＝.(4)已知复数z1＝3＋i，|z2|＝2，z1×z22是虚部为正数的纯虚数.则z1×z22的模为____；复数z2等于.10C108±(3＋i)【解析】(1)z＝(3＋i)2＝9＋6i＋i2＝8＋6i，z＝82＋62＝10.(2)由题意得，m1＋i＝m1－i2＝m2－m2i，所以m2＝1且m2＝n，解得m＝2，n＝1，所以m＋ni＝2＋i，故选C.(3)∵(1＋ai)2＝－1＋bi，∴1－a2＋2ai＝－1＋bi，∴1－a2＝－1，2a＝b，∴a＝2，b＝22或a＝－2，b＝－22，∴|a＋bi|＝a2＋b2＝2＋8＝10.(4)①|z1×z22|＝|z1||z22|＝|z1||z2|2＝8.②z1×z22是虚部为正数的纯虚数，∴z1×z22＝8i,z22＝8i3＋i＝8i（3－i）4＝2＋23i.设复数z2＝a＋bi(a，b∈R)，∴a2－b2＋2abi＝2＋23i,a2－b2＝2，2ab＝23，解之得a＝3，b＝1或a＝－3，b＝－1.∴z2＝±(3＋i).【点评】应用复数相等的主要条件的实质是将复数问题化归为实数问题求解.四、复数的综合问题例4(1)已知z∈C，且z＝1＋ti1－ti(t∈R)，则复数z对应的点的轨迹为.(2)已知复数ω满足ω－4＝(3－2ω)i(i为虚数单位)，z＝5ω＋|ω－2|.则以z为根的一个一元二次实系数方程为____.x2＋y2＝1(x≠－1)0【解析】(1)设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，∴x＋yi＝1＋ti1－ti＝（1＋ti）21＋t2＝1－t2＋2ti1＋t2.据复数相等，可得x＝1－t21＋t2，①y＝2t1＋t2，②①2＋②2得x2＋y2＝1.③由①②可知，x，y是③的解，但是否是曲线上的点呢？我们可通过求x或y的范围来考虑.由①得t2＝1－x1＋x≥0，即（x－1）（x＋1）≤0，x＋1≠0，∴－1＜x≤1.而由③得y2＝1－x2≥0，∴－1≤x≤1.综上，所求轨迹应是单位圆，除去(－1，0)点.(2)ω(1＋2i)＝4＋3i，∴ω＝4＋3i1＋2i＝2－i，∴z＝52－i＋|2－i－2|＝5（2＋i）5＋1＝3＋i，又实系数方程虚根成对出现即3－i是另一个根，∴z＋z－＝6，zz－＝10，∴所求的一个一元二次方程可以是x2－6x＋10＝0.〔备选题〕例5设关于x的方程是x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0.(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根；(2)证明：对任意θ≠kπ＋π2(k∈Z)，方程无纯虚数根.【解析】(1)设实数根是a，则a2－(tanθ＋i)a－(2＋i)＝0，则a2－atanθ－2－(a＋1)i＝0.∵a，tanθ∈R，∴a2－atanθ－2＝0，a＋1＝0；∴a＝－1，且tanθ＝1，又0θπ2，∴θ＝π4.(2)证明：若方程存在纯虚数根，设为bi(b∈R，b≠0)，则(bi)2－(tanθ＋i)(bi)－(2＋i)＝0，即－b2＋b－2＝0，btanθ＋1＝0，此方程组无实数解，∴对任意θ≠kπ＋π2(k∈Z)，方程无纯虚数根.1.设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.2.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数.3.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.方法总结：1.复平面内表示复数i(1－2i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数.若z＝1＋i，则zi＋i·z＝()A.iB.－2iC.2D.2iAC【解析】由题意zi＋i·z＝1＋ii＋i(1－i)＝（1＋i）ii2＋1＋i＝2，故选C.3.若(x－i)i＝y＋2i，x、y∈R，则复数x＋yi＝()A.－2＋iB.2＋iC.1－2iD.1＋2iB【解析】由题意得，xi＋1＝y＋2i，故x＝2，y＝1，即x＋yi＝2＋i.【解析】解法一：由题意得z＝253＋4i＝25（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝25（3－4i）25＝3－4i，故选A.解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i＝25，由复数相等得3a－4b＝254a＋3b＝0，解得a＝3b＝－4，因此z＝3－4i，故选A.4.已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝()A.3－4iB.3＋4iC.－3－4iD.－3＋4iA5.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A.－5B.5C.－4＋iD.－4－iA【解析】由题意知：z2＝－2＋i，所以z1z2＝－5，故选A.v6.已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A【解析】当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反过来(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则a2－b2＝0，2ab＝2，解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1.故a＝b＝1是(a＋bi)2＝2i的充分不必要条件，故选A.7.已知i为虚数单位，复数z＝2＋i1－2i，则|z|＋1z＝.1－i【解析】由已知得z＝2＋i1－2i＝－2i2＋