3.2.2复数代数形式的乘除运算

回顾旧知回忆…复数加减法的运算法则是什么？两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).复数加法和减法运算的几何意义是什么？复数的加、减法可以按照向量的加、减法来进行.实数能进行加、减、乘、除运算，那么复数呢？新课导入其实，复数除了可以相加相减之外，它还可以乘除呢！这也是我们这节课的重点.进入我们今天学习的内容.3.2.2知识与能力•理解并掌握复数代数形式的乘、除的运算法则、运算律.•深刻理解复数除法是其乘法的逆运算.教学目标过程与方法•理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化的问题.•通过丰富的例题，让学生理解并掌握复数代数形式的乘除运算.情感态度与价值观•在讲解复数代数形式的乘除运算时，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地构建知识体系.•培养学生探索的意识.教学重难点重点难点•复数代数形式的乘除的运算法则、运算律.•复数除法的运算法则.多项式的乘法运算？(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd由多项式的乘法法则，我们可以类比出复数的乘法法则吗？我们规定，复数的乘法法则如下：能描述出复数乘法的运算法则吗？设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么它们的积2a+bic+di=ac+bci+adi+bdi=(ac-bd)+(ad+bc)i注意2i=-1很明显，两个复数的积是一个确定的复数.两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部和虚部分别合并即可.2i两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部和虚部分别合并即可.2i两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部和虚部分别合并即可.2i两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部和虚部分别合并即可.2i两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部和虚部分别合并即可.2i探究复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？思考…12211231231212121333z,z,zCzz=zz(zz)zz(zz)z(z+z)zzzz交换律结合律对于任意∈有：：：律＝＝＋分配111222333112222111212211221121212121221212121Z=a+biZ=a+biZ=a+bi.=(a+bi)(a+bi)=,=(a+bi)(a+bi),=,ZZZZaa-bb=aa-bb(aa-bb)+(ba+ab)i(aa-bb)+(ba+ab)i设，，因为又因为121221211221,ba+ab=ba+abZZ=ZZ所以复数乘法法满足交换律的证明如下：复数乘法法满足结合律的证明如下：11122233311223312123121231212312121233123123123Z=a+biZ=a+biZ=a+bi.=[(a+bi)(a+bi)](a+bi)=[(aa-bb)a-(ba+ab)b]+[(ba+ab)a+(aa-bb)ZZb]i=Z(aaa-bba-bab)+(设，，）为（因123123123123,baa+aba+aab-bbb)i123123123123123123123121123233=Z(Z),Z(aaa-bba-bab)+(bZZaa+Zaba+aab-bb=Z(Zb)iZ)同理可得所以（）按照这种思路，自己证证复数的乘法满足分配律.自己动动手复数乘法法满足分配律律的证明如下：11122233311223311232312312312312312312131Z=a+biZ=a+biZ=a+bi.=(a+bi)[(a+bi)+(a+bi)]=(a+bi)[(a+a)+(b+b)i]=[a(a+a)-b(b+b)]+[b(a+a)+a(b+b)]i=ZZ+Z(aa+aa-b设，因为，（）21312131213,b-bb)+(ba+ba+ab+ab)i112211331212121213131313121311213121312131213=(a+bi)(a+bi)+(a+bi)(a+bi)=(aa-bb)+(ba+ab)i+(ZZ+ZZaa-bb)+(ba+ab)i=Z(aa+aa-bb-bb)+(ba+ba+ab+ab)i,所以231213(Z+Z)=ZZ+ZZ例题1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)复数的乘法与多项式的乘法是类似的,我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开,运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.提示解：原式=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(-2i)4i=8而不是-8！注意例题22(1)(3+4i)(3-4i);(2)(1+i).计算提示本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算.注意实数系中的乘法公式在复数系中也是成立的.（）解：平方差公式(完全平方公式)2222(1)(3+4i)(3-4i)2=3-(4i)=9-(-16)=25.=1+2i+i=1+2i-1=2i.(1+i)()我们用乘法公式来进行计算.知识要点我们把这两个复数3+4i,3-4i称为共轭复数.注意本例(1)3+4i与3-4i两复数的特点.一般地，当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.若Z1,Z2,是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？（）（2）Z1Z2是一个怎样的数？()复数z=a+bi的共轭复数记作知识要点z,z=a-bi即动动脑关于X轴对称实数探究类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探求复数除法的法则.规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi，叫做复数a+bi除以复数c+di的商.经计算得(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.根据复数相等的定义，有cx-dy=a，dx+cy=b.22222222ac+bdbc-adx=y=c+dc+d.ac+bdbc-ad(a+bi)(c+di)=+ic+dc+d(c+di0)其中由此得，于是≠这就是复数的除法法则.由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.在实际进行复数除法运算时，每次都按做乘法的逆运算的办法来求商，这是十分麻烦的.思考…大家能想出解决办法吗？做根式除法时，分子分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”.我们可以类比根式的除法，从而得到简便的操作方法：先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后在化简.大家想想我们如何处理根式除法的？例题3(1+2i)(3-4i).计算提示用上面的方法把分母“实数化”.221+2i(1+2i)(3-4i)=3-4i(1+2i)(3+4i)3-8+6i+4i==(3-4i)(3+4i)3+4-5+10i12==-+i.2555解：课堂小结设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么它们的积1.复数的乘法法则如下：2a+bic+di=ac+bci+adi+bdi=(ac-bd)+(ad+bc)i.3.两个复数的积是一个确定的复数.2.复数的乘法与多项式的乘法是类似的,复数的乘法也可运用乘法公式来展开运算.4.复数的乘法仍然满足交换律、结合律、分配律.6.复数z=a+bi的共轭复数记作5.一般地，当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.z,z=a-bi.即7.复数的除法是乘法的逆运算.2222ac+bdbc-ad(a+bi)(c+di)=+ic+dc+d(c+di0).其中8.复数的除法法则：9.在实际中我们进行复数相除的方法是：先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后在化简.高考链接（2007年广东卷）若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=()11A.-2B.-C.D.222答案：D；解析：（1+bi）(2+i)=（2-b）+(2b+1)i，故2-b=0，故选D.答案：B.（年全国卷）设是实数，且是实数，则13A．  B．1C． D．2222007Iaa1+i+a=()1+i2（年湖北卷）复数∈且≠若是实数，则有序实数对（）可以是写出一个有序实数对即可22007z=a+bi,a,bR,b0,z-4bza,b().()2222(2,1)z-4bz=(a+bi)-4b(a+bi)=a-4ab-b+2b(a-2b)ia=2b,(a,b)=(2,1).【答案】：【分析】：是实数，所以取随堂练习填空-3-i-3+4i自己动动手.1.ZC(3+Z)i=1,Z=().若∈且则2=().2.(1+2i)选择D设，则等于11.z=3+i()z3131A.3+iB.3-iC.i+D.+i1010101012121212121212122.A.Z+Z=0,ZZB.Z+Z=0,ZZC.Z-Z=0,ZZD.(Z-Z=Z0,Z)若则与互为共轭复数若则与互下为共轭复数若则与列命题中的真命题为：互为共轭复数若则与互为共轭复数D解答题1.已知复数是的共轭复数，求x的值．22x+x-2+(x-3x+2)i(xR)4-20i22x+x-2=4,x-3x+2=20.x=-3x=2x=-3x=6或或解得X=-3解：因为的共轭复数是，根据复数相等的定义，可得4-20i4+20i313+iW=1.22w=-，求证设2.3322213w=(+i)221313=(+i)(+i)22221313=(-i)(+i)22221313=(-)-(i)=+=1.2244-----证明：(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i3.计算(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i221+4-3i+2+4i=3+4i7+i(7+i)(3-4i)==3+4i3+421+4+3i-28i25-25i===1-i.2525解：习题答案练习(第111页)1.(1)-18-21i;(2)6-17i;(3)-20-15i.2.(1)-5;(2)-2i;(3)5.3.(1)i;(2)-i;(3)1-I;(4)-1-3i.