3.2.2复数代数形式的乘除运算【人教A版】

3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算知识回顾已知两复数z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d是实数）即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)ixoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z1+z2=OZ1+OZ2=OZ符合向量加法的平行四边形法则.1.复数加法运算的几何意义?xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则.2.复数减法运算的几何意义?(1)|z－(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.点A到点(1,2)的距离点A到点(－1,－2)的距离(3)|z－1|(4)|z+2i|点A到点(1,0)的距离点A到点(0,－2)的距离练习:已知复数m=2－3i,若复数z满足不等式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?以点(2,－3)为圆心,1为半径的圆上1、|z1|=|z2|平行四边形OABC是2、|z1+z2|=|z1-z2|平行四边形OABC是3、|z1|=|z2|，|z1+z2|=|z1-z2|平行四边形OABC是z1z2z1+z2oz2-z1ABC菱形矩形正方形3、复数加减法的几何意义练习:,2设z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1|z2+z1|=求|z2-z1|:2答案1.复数的乘法法则：2acadibcibdi)()acbdbcadi（说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把换成－1，然后实、虚部分别合并.i2(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何z1,z2,z3∈C,有,()(),().zzzzzzzzzzzzzzzzz12211231231231213()()abicdi解:原式=()()iiii2643213=()()ii813=iii28243=i525例1.计算(－2－i)(3－2i)(－1+3i)复数的乘法与多项式的乘法是类似的.我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.))((1biabia）（例2：计算222ibabiabia22ba思考：在复数集C内，你能将分解因式吗？22yx22()abi（）222babia222()()2abiababi2222aabibi3(12)(34)(2)iii（）(112)(2)2015iii222ababi练习:1.计算(23)(23)ii=2.已知(3)10iz,则z133-i2.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数z=a+bi的共轭复数记作,zzabi记思考：设z=a+bi(a,b∈R),那么zzzzzzzzzz12121212,另外不难证明:zz2a2bizz22ab3.复数的除法法则先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即分母实数化dicbiadicbia)()())(())((dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac(0).cdi2222acbdbcadicdcd例3.计算)43()21(ii解:iiii4321)43()21()43)(43()43)(21(iiii2510543468322iiii5251先写成分式形式化简成代数形式就得结果.然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)练习.计算⑴(7)(34)ii⑵21()1ii⑶113232ii1-i413i注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、化简等.-11212(1)(2)(3)(4)ZZZZZZ下列命题中正确的是如果是实数，则、互为共轭复数纯虚数的共轭复数是。两个纯虚数的差还是纯虚数两个虚数的差还是虚数。(2)1212121212121212()0,()0,()0,()0,AZZZZBZZZZCZZZZDZZZZ下列命题中的真命题为：若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。D（1）已知求iziz41,232111212122,,,zzzzzzzz练习（2）已知求iziz2,1214211122,,()zzzzz（3）2)1(i;2iii11i1;iii11;i.i①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到n∈Z.）②设,则有:i2321.01;;12__23事实上,与统称为1的立方虚根,而且对于,也有类似于上面的三个等式.____③.11;11;1;2)1(2iiiiiiiiii(6)一些常用的计算结果拓展求满足下列条件的复数z:(1)z+(3－4i)=1;(2)(3+i)z=4+2i实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.5.设z为复数,且|||1|1|1|zzz，求的值.解：设()zabiabR，1(1)|||1|1zabizz，且22221(1)1abab2222120ababa解方程组,得21234ab|1||(1)|zabi22213(1)(1)324ab注：一般地，欲求一个复数，通常先设出复数的代数形式a＋bi（a，b∈R），而后利用已知条件列出关于a，b的方程组，求解出a，b，也即求得了这个复数，在这里，方程的思想方法得到了充分运用.另外,本题还可用几何知识来分析.