高质量高中数学_解题小结_各章节知识点_大汇总

高中数学解题小结大汇总熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，总结解题方法，防止解题易误点的产生，对提升高考数学成绩将会起到立竿见影的效果。一、集合与简易逻辑1.集合的元素具有无序性和互异性.2.对集合AB、，AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；求集合的子集时是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集.3.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n2，12n，12n.22n4.“交的补等于补的并，即()UUUCABCACB”；“并的补等于补的交，即()UUUCABCACB”.5.判断命题的真假关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题”.8.充要条件二、函数1.指数式、对数式，mnmnaa，1mnmnaa，logaNaNlog(0,1,0)baaNNbaaN，.01a，log10a，log1aa，lg2lg51，loglnexx，logloglogcacbba，.loglogmnaanbbm.2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A中的元素必有像，但第二个集合B中的元素不一定有原像（A中元素的像有且仅有下一个，但B中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B的子集”.(2)函数图像与x轴垂线至多一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.注意：①1()()fabfba，1[()]ffxx，1[()]ffxx，但11[()][()]ffxffx.②函数(1)yfx的反函数是1()1yfx，而不是1(1)yfx.3.单调性和奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等.对于偶函数而言有：()()(||)fxfxfx.（2）若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f.即0()fx的定义域时，(0)0f是()fx为奇函数的必要非充分条件.（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.（4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有()0({0})fxx有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（()0fx，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.复合函数要考虑定义域的变化。（即复合有意义）4.对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）(1)函数xfy与函数xfy的图像关于直线0x（y轴）对称.推广一：如果函数xfy对于一切xR，都有faxfbx成立，那么xfy的图像关于直线2abx（由“x和的一半()()2axbxx确定”）对称.推广二：函数xafy，yfbx的图像关于直线2bax（由axbx确定）对称.(2)函数xfy与函数xfy的图像关于直线0y（x轴）对称.推广：函数xfy与函数yAfx的图像关于直线2Ay对称（由“y和的一半[()][()]2fxAfxy确定”）.(3)函数xfy与函数yfx的图像关于坐标原点中心对称.推广：函数xfy与函数ymfnx的图像关于点(,)22nm中心对称.(4)函数xfy与函数1yfx的图像关于直线yx对称.推广：曲线(,)0fxy关于直线yxb的对称曲线是(,)0fybxb；曲线(,)0fxy关于直线yxb的对称曲线是(,)0fybxb.(5)曲线(,)0fxy绕原点逆时针旋转90，所得曲线是(,)0fyx（逆时针横变再交换）.特别：()yfx绕原点逆时针旋转90，得()xfy，若()yfx有反函数1()yfx，则得1()yfx.曲线(,)0fxy绕原点顺时针旋转90，所得曲线是(,)0fyx（顺时针纵变再交换）.特别：()yfx绕原点顺时针旋转90，得()xfy，若()yfx有反函数1()yfx，则得1()yfx.(6)类比“三角函数图像”得：若()yfx图像有两条对称轴,()xaxbab，则()yfx必是周期函数，且一周期为2||Tab.若()yfx图像有两个对称中心(,0),(,0)()AaBbab，则()yfx是周期函数，且一周期为2||Tab.如果函数()yfx的图像有下一个对称中心(,0)Aa和一条对称轴()xbab，则函数()yfx必是周期函数，且一周期为4||Tab.如果()yfx是R上的周期函数，且一个周期为T，那么()()()fxnTfxnZ.特别：若()()(0)fxafxa恒成立，则2Ta.若1()(0)()fxaafx恒成立，则2Ta.若1()(0)()fxaafx恒成立，则2Ta.如果()yfx是周期函数，那么()yfx的定义域“无界”.5.图像变换(1)函数图像的平移和伸缩变换应注意哪些问题？函数()yfx的图像按向量(,)akh平移后，得函数()yhfxk的图像.(2)函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.(3)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“鱼钩函数0kyxkx”及函数0kyxkx等）相互转化.注意：①形如2yaxbxc的函数，不一定是二次函数.②应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系.③形如(0,)axbycadbccxd的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线dxc(由分母为零确定)、直线ayc(由分子、分母中x的系数确定)，双曲线的中心是点(,)dacc.三、数列1.数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和公式的关系：11,(1),(2)nnnSnaSSn(必要时请分类讨论).注意：112211()()()nnnnnaaaaaaaa；121121nnnnnaaaaaaaa.2.等差数列{}na中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性.（2）1(1)naand()manmd；pqmnpqmnaaaa.(3)1(1){}nkma、{}nka也成等差数列.(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.(5)1211,,mkkkmaaaaaa仍成等差数列.（6）1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad，21()22nddSnan，2121nnSan，()(21)nnnnAafnfnBb.(7),()0pqpqaqappqa；,()()pqpqSqSppqSpq；mnmnSSSmnd.(8)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和；(9)有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项.（10）两数的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解.(11)选择填空题判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法(也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式).3.等比数列{}na中：（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性.（2）11nnaaqnmmaq；pqmnpqmnbbbb.(3){||}na、1(1){}nkma、{}nka成等比数列；{}{}nnab、成等比数列{}nnab成等比数列.(4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.(5)1211,,mkkkmaaaaaa成等比数列.（6）111111(1)(1)(1)(1)(1)1111nnnnnaqnaqSaaaaqaqqqqqqqq.特别：123221()()nnnnnnnababaabababb.(7)mnmnmnnmSSqSSqS.(8)“首大于1”的正值递减等比数列中，前n项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；(9)有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和.（10）并非任何两数总有等比中项.仅当实数,ab同号时，实数,ab存在等比中项.对同号两实数,ab的等比中项不仅存在，而且有一对Gab.也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时).在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解.(11)判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法(也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式).4.等差数列与等比数列的联系(1)如果数列{}na成等差数列，那么数列{}naA(naA总有意义)必成等比数列.(2)如果数列{}na成等比数列，那么数列{log||}(0,1)anaaa必成等差数列.(3)如果数列{}na既成等差数列又成等比数列，那么数列{}na是非零常数数列；但数列{}na是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.(4)如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列.注意