历届西部数学奥林匹克试题

西部数学奥林匹克目录2001年西部数学奥林匹克......................................................................................................22002年西部数学奥林匹克......................................................................................................42003年西部数学奥林匹克......................................................................................................62004年西部数学奥林匹克......................................................................................................72005年西部数学奥林匹克......................................................................................................82006年西部数学奥林匹克....................................................................................................102007年西部数学奥林匹克....................................................................................................122008年西部数学奥林匹克....................................................................................................142009年西部数学奥林匹克....................................................................................................162010年西部数学奥林匹克....................................................................................................182011年西部数学奥林匹克....................................................................................................212012年西部数学奥林匹克....................................................................................................23西部数学奥林匹克2001年西部数学奥林匹克1.设数列{𝑥𝑛}满足𝑥1=12，𝑥𝑛+1=𝑥𝑛+𝑥𝑛2𝑛2.证明：𝑥20011001.（李伟固供题）2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△PAB的内切圆与边AB的切点.乘积𝑃𝑃⋅𝑃𝑃的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化，当𝑃𝑃⋅𝑃𝑃取最小值时，（1）证明：𝑃𝑃≥2𝑃𝐵；（2）求𝑃𝑄⋅𝑃𝑄的值.（罗增儒供题）3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且nm.求所有的整数x，使得𝑥2𝑛−1𝑥2𝑚−1是一个完全平方数.（潘曾彪供题）4.设𝑥、𝑦、𝑧为正实数，且𝑥+𝑦+𝑧≥𝑥𝑦𝑧.求𝑥2+𝑦2+𝑧2𝑥𝑦𝑧的最小值.（冯志刚供题）5.求所有的实数x，使得[𝑥3]=4𝑥+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.（杨文鹏供题）6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与△PCD有相同的内心.（刘康宁供题）7.求所有的实数𝑥∈�0,𝜋2�，使得(2−𝑠𝑠𝑠2𝑥)𝑠𝑠𝑠�𝑥+𝜋4�=1，并证西部数学奥林匹克明你的结论.（李胜宏供题）8.我们称𝑃1,𝑃2,⋯,𝑃𝑛为集合A的一个n分划，如果（1）𝑃1∪𝑃2∪⋯∪𝑃𝑛=𝑃；（2）𝑃𝑖∩𝑃𝑗≠𝛷,1≤𝑠𝑗≤𝑠.求最小正整数m，使得对𝑃={1,2,⋯,𝑚}的任意一个14分划𝑃1,𝑃2,⋯,𝑃14，一定存在某个集合𝑃𝑖(1≤𝑠≤14)，在𝑃𝑖中有两个元素a、b满足𝑏𝑎≤43𝑏.（冷岗松供题）西部数学奥林匹克2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n，使得𝑠4−4𝑠3+22𝑠2−36𝑠+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程𝑥4+𝑝𝑥3+𝑞𝑥2+𝑟𝑥+𝑠=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数，集合𝑃1,𝑃2,⋯,𝑃𝑛+1是集合{1,2,⋯,𝑠}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,𝑠+1}的两个不交的非空子集{𝑠1,𝑠2,⋯,𝑠𝑘}和{𝑗1,𝑗2,⋯,𝑗𝑚}，使得𝑃𝑖1∪𝑃𝑖2∪⋯∪𝑃𝑖𝑘=𝑃𝑗1∪𝑃𝑗2∪⋯∪𝑃𝑗𝑚.5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.6.设𝑠(𝑠≥2)是给定的正整数，求所有整数组(𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛)满足条件：（1）𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛≥𝑠2；（2）𝑎12+𝑎22++𝑎𝑛2≤𝑠3+1.7.设α、β为方程𝑥2−𝑥−1=0的两个根，令𝑎𝑛=𝛼𝑛−𝛽𝑛𝛼−𝛽,𝑠=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有𝑎𝑛+2=𝑎𝑛+1+𝑎𝑛；（2）求所有正整数a、b，𝑎𝑏，满足对任意正整数n，有b整除𝑎𝑛−2𝑠𝑎𝑛.西部数学奥林匹克8.设𝑆=(𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑛)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤𝑠𝑗≤𝑠−4，𝑎𝑖,𝑎𝑖+1,𝑎𝑖+2,𝑎𝑖+3,𝑎𝑖+4与𝑎𝑗,𝑎𝑗+1,𝑎𝑗+2,𝑎𝑗+3,𝑎𝑗+4不相同.证明：数列S最前面的4项与最后面的4项相同.西部数学奥林匹克2003年西部数学奥林匹克1.将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2.设2n个实数𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎2𝑛满足条件∑(𝑎𝑖+1−𝑎𝑖)2=12𝑛−1𝑖=1.求(𝑎𝑛+1+𝑎𝑛+2+⋯+𝑎2𝑛)−(𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛)的最大值.3.设n为给定的正整数.求最小的正整数𝑢𝑛，满足：对每一个正整数d，任意𝑢𝑛个连续的正奇数中能被d整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2𝑠−1中能被d整除的数的个数.4.证明：若凸四边形ABCD内任意一点P到边AB、BC、CD、DA的距离之和为定值，则ABCD是平行四边形.5.已知数列{𝑎𝑛}满足：𝑎0=0，𝑎𝑛+1=𝑘𝑎𝑛+�(𝑘2−1)𝑎𝑛2+1,𝑠=0,1,2,⋯,其中k为给定的正整数.证明：数列{𝑎𝑛}的每一项都是整数，且2𝑘|𝑎2𝑛,𝑠=0,1,2,⋯.6.凸四边形ABCD有内切圆，该内切圆切边AB、BC、CD、DA的切点分别为A1、B1、C1、D1，连结A1B1、B1C1、C1D1、D1A1，点E、F、G、H分别为A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点.证明：四边形EFGH为矩形的充分必要条件是A、B、C、D四点共圆.7.设非负实数𝑥1、𝑥2、𝑥3、𝑥4、𝑥5满足∑11+𝑥𝑖=15𝑖=1.求证：∑𝑥𝑖4+𝑥𝑖25𝑖=1≤1.8.1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.西部数学奥林匹克2004年西部数学奥林匹克1.求所有的整数n，使得𝑠4+6𝑠3+11𝑠2+3𝑠+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心，过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F，分别延长AB、DC，它们相交于点P，且PE=PF.求证：A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k，使得不等式𝑎3+𝑏3+𝑐3+𝑑3+1≥𝑘(𝑎+𝑏+𝑐+𝑑)对任意𝑎、𝑏、𝑐、𝑑∈[−1,+∞)都成立.4.设𝑠∈𝑁+，用𝑑(𝑠)表示n的所有正约数的个数，𝜙(𝑠)表示1,2,⋯,𝑠中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足𝑑(𝑠)+𝜙(𝑠)=𝑠+𝑐，且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=𝑎2=1，且𝑎𝑛+2=1𝑎𝑛+1+𝑎𝑛,𝑠=1,2,⋯.求𝑎2004.6.将𝑚×𝑠棋盘（由m行n列方格构成，𝑚≥3,𝑠≥3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻（有公共变）的小方格异色，则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S为偶数？说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等，周长为l，P是其内部一动点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：2（𝑃𝐵+𝑃𝐷+𝐵𝐵）=𝑙的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证：对任意正实数a、b、c，都有1𝑎√𝑎2+𝑏2+𝑏√𝑏2+𝑐2+𝑐√𝑐2+𝑎2≤3√22.西部数学奥林匹克2005年西部数学奥林匹克1.已知𝛼2005+𝛽2005可表示成以𝛼+𝛽、𝛼𝛽为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2.如图1，过圆外一点P作圆的两条切线PA、PB，A、B为切点，再过点P作圆的一条割线分别与圆交于C、D两点，过切点B作PA的平行线分别交直线AC、AD于E、F.求证：𝑃𝐵=𝑃𝐵.图13.设𝑆={1,2,⋯,2005}.若S中任意n个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n的最小值.4.已知实数𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛(𝑠2)满足|∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1|1，|𝑥𝑖|≤1(𝑠=1,2,⋯,𝑠).求证：存在正整数k，使得�∑𝑥𝑖𝑘𝑖=1−∑𝑥𝑖𝑛𝑖=𝑘+1�≤15.如图2，⊙O1、⊙O2交于A、B两点.过点O1的直线DC交⊙O1于点D且切⊙O2于点C，CA且⊙O1于点A，⊙O1的弦AE与直线DC垂直.过点A作AF垂直于DE，F为垂足.求证：BD平分线段AF.图2FECBAPDFEBDO1O2AC西部数学奥林匹克6.在等腰Rt△ABC中，𝐵𝑃=𝐵𝑃=1，P是△ABC边界上任意一点.求𝑃𝑃⋅𝑃𝑃⋅𝑃𝐵的最大值.7.设正实数a、b、c满足𝑎+𝑏+𝑐=1.证明：10(𝑎3+𝑏3+𝑐3)−