立体几何专题：距离和角

1立体几何专题：距离和角求“二面角”与“点到平面的距离”问题一直是高考命题的热点，而这两方面的题目又是很多学生感到头痛的。事实上，这两类问题有着较强的相关性，下面给出这两类问题的一个“统一”求解公式，让你一招通解两类问题，定理：如下图，若锐二面角CD的大小为，点A为平面内一点，若点A到二面角棱CD的距离为mAB，点A到平面的距离AH=d，则有sinmd。说明：sinmd中含有3个参数，已知其中任意2个可求第3个值。其中是指二面角CD的大小，d表示点A到平面的距离，m表示点A到二面角CD棱CD的距离。值得指出的是：sinmd可用来求解点到平面的距离，也可用于求解相关的二面角大小问题。其优点在于应用它并不．强求．．作出经过点A的二面角CD的平面角∠ABH，而只需已知点A到二面角CD棱的距离，与二面角大小，即可求解点A到平面的距离，或已知两种“距离”即可求二面角的大小。这样便省去了许多作图过程与几何逻辑论证，简缩了解题过程。还要注意，当已知点A到平面的距离d与点A到二面角棱CD的距离m求解二面角的大小时，若所求二面角为锐二面角，则有mdarcsin；若所求二面角为钝二面角，则mdarcsin下面举例说明该公式在解题中的应用。2例1.（2004年全国卷I理科20题）如下图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。分析：如上图，作PO⊥平面ABCD，垂足为O，即PO为点P到平面ABCD距离。第（1）问要求解距离PO，只需求出点P到二面角P-AD-O的棱AD的距离，及二面角P-AD-O的大小即可。第（2）问要求解二面角A-PB-C的大小，只需求出点C到二面角A-PB-C棱PB的距离及点C到半平面APB的距离即可。解：（1）如上图，取AD的中点E，连结PE。由题意，PE⊥AD，即3PEm。又二面角P-AD-O与二面角P-AD-B互补，所以二面角P-AD-O的大小为60°，即60。于是由公式sinmd知：点P到平面ABCD的距离为2360sin3sinmPO。（2）设所求二面角A-PB-C的大小为，点C到平面PAB的距离为d。连接BE，则BE⊥AD（三垂线定理），AD⊥平面PEB，因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB，BC⊥PB，即点C到二面角棱PB的距离为2，即m=2。又因为PE=BE=3，∠PEB=120°，所以在ΔPEB中，由余弦定理可求得PB=3。取PB的中点F，连结AF，因为PA=AB=2，则AF⊥PB，2321PBBF，所以27BFABAF22，即74321AFPBSPAB。又易求得3ABCS，点P到平面ABC的距离：23PO。根据等体积法PABCABCPVV，有PABABCSdSPO3131，即743323d，所以7212d，代入公式721mdsin,sinmd。3又由于面PBC⊥面PEB，所以所求二面角A-PB-C为钝二面角，所以mdarcsin点评：对于这个高考试题，许多考生反映第（2）问求解困难，失分较为严重。究其原因有二：一是不能正确地作出二面角的平面角；二是在求二面角的平面角时存在计算障碍。利用公式sinmd求解，省去了许多繁难的作图过程与逻辑论证，其优势显而易见。例2.已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。分析：欲求点B到平面GEF的距离，直接求解较困难。为此我们令平面GEF作为某二面角的一个半平面，当然二面角的另一个半平面即为平面BEF，为此我们只需找到该二面角的平面角及点B到二面角棱EF的距离即可。解：如下图，过B作BP⊥EF，交EF的延长线于P，连结AC交EF于H，连结GH，易证∠GHC就是二面角G-EF-C的平面角。又2AHBP，这就是点B到二面角C-EF-G棱EF的距离2m因为GC=2，24AC，所以23CH，GH=22，在RtΔGCH中，222sinGHC，于是由sinmd得所求点B到平面GEF的距离：111122222sinGHCBPd。4例3.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，22AC，且AA1⊥A1C，AA1=A1C。求顶点C与侧面A1ABB1的距离。分析：如下图所示，解答好本题的关键是找到底面ABC的垂线A1D，找到了底面的垂线A1D，就可根据三垂线定理，作出侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的平面角A1DE，求出二面角A1-AB-C的平面角大小，就可依据公式sinmd找到点D到平面A1ABB1的距离d，进而根据D为AC中点，也就不难求出点C到侧面A1ABB1的距离。解：如上图，在侧面A1ACC1内，作A1D⊥AC，垂足为D，因为AA1=A1C，所以D为AC的中点。又因为AA1⊥A1C，32AC，A1D=AD=3。因为侧面A1ACC1⊥底面ABC，其交线为AC，所以A1D⊥面ABC。过D作DE⊥AB，垂足为E，连接A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB（三垂线定理），所以∠A1ED为侧面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角。由已知，AB⊥BC，得ED∥BC，又D是AC的中点，BC=2，所以DE=1，3tan11DEDAEDA，故∠A1ED=60°。于是由公式sinmd知，点D到侧面A1ABB1的距离2323160sinDEd。又点D为AC的中点，故而点C到侧面A1ABB1的距离为点D到侧面A1ABB1距离的2倍，于是知点C到侧面A1ABB1的距离为3。点评：本例先通过求侧面A1ABB1与面ABC所成二面角的大小，进而利用公式sinmd求出点D到侧面A1ABB1的距离，再利用中点D的性质巧妙地求得C到侧面A1ABB1的距离，充分体现了转化与化归的思想方法在解题中的灵活运用。