轴向拉伸与压缩的概念与实例

第二章拉伸、压缩与剪切2.1轴向拉伸与压缩的概念与实例液压传动机构中的活塞杆在油压和工作阻力作用下受拉2.1轴向拉伸与压缩的概念与实例内燃机的连杆在燃气爆发冲程中受压2.1轴向拉伸与压缩的概念与实例受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵向力,力的作用线与杆轴线重合。沿轴线方向伸长或缩短,横截面沿轴线平行移动,伴随横向收缩或膨胀。变形特征：轴向压缩,对应的力称为压力。轴向拉伸,对应的力称为拉力。FFFF2.1轴向拉伸与压缩的概念与实例力学模型如图2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力物体在受到外力作用而变形时,其内部各质点间的相对位置将有变化。与此同时,各质点间相互作用的力也发生了改变。上述相互作用力由于物体受到外力作用而引起的改变量,就是材料力学中所研究的内力。2.2.1内力由于已假设物体是均匀连续的可变形固体,因此在物体内部相邻部分之间相互作用的内力,实际上是一个连续分布的内力系,而将分布内力系的合成(力或力偶),简称为内力。也就是说,内力是指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成。2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力FFmmFmm}FN{FNFmmx由左段的平衡方程得：N0,0xFFFΣ=−=NFF=显示拉(压)杆横截面上的内力,沿m-m假想地把杆件分成两部分,杆件左右两段在m-m上相互作用的内力是一个分布力系,其合力为FN。2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力因为外力F的作用线与杆件轴线重合,内力的合力FN的作用线也必然与杆件的轴线重合,所以FN称为轴力。习惯上,把拉伸时的轴力规定为正,压缩时的轴力规定为负。2.2.3轴力图用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置,用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值,从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线,称为轴力图。将正的轴力画在上侧,负的画在下侧。2.2.2轴力CABD600300500400E40kN55kN25kN20kN例：一等直杆其受力情况如图所示,作杆的轴力图。解：求支座反力R0,405525200xFFΣ=−−+−+=R10kNF=CABDE40kN55kN25kN20kNFR用力的作用点将杆分段该杆分为：AB,BC,CD,DE四段。分别求出各段横截面上的轴力再画轴力图。CABDE40kN55kN25kN20kNFR11223344CABDE40kN55kN25kN20kNFR求AB段内的轴力1FN1N1R0FF−=N1R10kNFF==+(+)FR11CABDE40kN55kN25kN20kNFR求BC段内的轴力2N2R400FF−−=N2R4050kNFF=+=+(+)FN2FRAB40kN22CABDE40kN55kN25kN20kNFR求CD段内的轴力N325200F−−+=N320255kNF=−=−(-)FN33DE25kN20kN33同理得DE段内的轴力N420kNF=CABD600300500400E40kN55kN25kN20kN作出杆的轴力图如图所示。10kN50kN5kN20kNFNmax发生在BC段内任意截面上。FN1＝10kN（拉力）FN2＝50kN（拉力）FN3＝-5kN（压力）FN4＝20kN（拉力）11223344xFN例:图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、F的力,方向如图,试画出杆的轴力图。解：求OA段内力FN1：设置截面如图ABCDFAFBFCFDOABCDFAFBFCFDFN10xFΣ=N10ABCDFFFFF−+−−=N15840FFFFF−+−−=N12FF=轴力图如右图FN2BCDFBFCFDCDFCFDFN3DFDFN4FNx2F3F5FFFN2=–3FFN3=5FFN4=F同理,求得AB、BC、CD段内力分别为aΔAΔFΔFNΔFT求截面上a点的应力包围a点取一微面积ΔAΔA上内力的总和为ΔF法向分量ΔFN切向分量ΔFT杆件截面上的分布内力集度称为应力。2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2.2.4应力的概念{将ΔF分解aΔANmFAσΔ=ΔTmFAτΔ=ΔΔA面积内的平均正应力mFpAΔ=ΔpmτmσmΔA面积内的平均应力aΔAΔFΔFNΔFTΔA面积内的平均切应力2.2.4应力的概念apaΔApmτmσm0dlimdAFFpAAΔ→Δ===Δa点的总应力p分解与截面垂直的正应力σ与截面相切的切应力τηστξ2.2.4应力的概念2.2.4应力的概念从应力的定义可见,应力具有如下特征：(1)应力定义在受力物体的某一截面上的某一点处,因此,讨论应力必须明确是在哪一个截面上的哪一点处。(2)在某一截面上一点处的应力是矢量。对于应力分量,通常规定离开截面的正应力为正,指向截面的正应力为负,即拉应力为正,压应力为负；对截面内部(靠近截面)的一点产生顺钟向力矩的切应力为正,反之为负。(3)整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合成,即为该截面上的内力。1帕=1牛顿/米2(N/m2)1MPa=1×106N/m2=1N/mm2=106Pa1GPa=109Pa2.2.4应力的概念(4)应力的量纲为ML-1T-2。应力的单位为帕(Pa)。研究应力的方法：（1）实验（2）观察现象（3）通过观察到的现象得出结论（4）通过结论推导出应力公式2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力2.2.5拉(压)杆横截面上的应力只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的强度,如用同一材料制成粗细不同的两根杆,需用应力来度量杆件的受力程度。取一等直杆,在其侧面上画出与轴线平行的纵向线和与轴线垂直的横向线。在两端施加一对轴向拉力F。2.2.5拉(压)杆横截面上的应力实验FFFF所有的纵向线伸长都相等,而横向线保持为直线且与纵向线垂直。2.2.5拉(压)杆横截面上的应力观察现象FF(1)各纤维的伸长相同,所以它们所受的力也相同。(2)平面假设:变形前原为平面的横截面,变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。2.2.5拉(压)杆横截面上的应力结论FFFF由结论可知,在横截面上作用着均匀分布的正应力。F2.2.5拉(压)杆横截面上的应力推导公式σFN}NFAσ=式中,FN为轴力,A为杆的横截面面积。σ的符号与轴力FN的符号相同。当轴力为正号时(拉伸),正应力也为正号,称为拉应力。当轴力为负号时(压缩),正应力也为负号,称为压应力。(2.1)(1)在导出公式时,要求外力合力与杆件轴线重合,这样才能保证各纵向纤维变形相等,横截面上正应力均匀分布。2.2.5拉(压)杆横截面上的应力讨论：NFAσ=N()()()FxxAxσ=(2)若轴力沿轴线变化,可作出轴力图,再由公式求出不同横截面上的应力。当截面的尺寸也沿轴线变化时,只要变化缓慢,外力合力与轴线重合,公式(2.1)仍可使用。这时把它写成(2.2)2.2.5拉(压)杆横截面上的应力(3)若以集中力作用于杆件端截面上,则集中力作用点附近区域内的应力分布比较复杂,公式(2.1)只能计算这个区域内横截面上的平均应力,不能描述作用点附近的真实情况。这就引出,端截面上外力作用方式不同,将有多大影响的问题。实际上,在外力作用区域内,外力分布方式有各种可能。例如在图a和b中,钢索和拉伸试样上的拉力作用方式就是不同的。2.2.5拉(压)杆横截面上的应力圣维南原理:如用与外力系静力等效的合力来代替原力系,则除在原力系作用区域内有明显差别外,在离外力作用区域略远处(例如,距离约等于截面尺寸处),上述代替的影响就非常微小,可以不计。根据这个原理,图a和b所示杆件虽上端外力的作用方式不同,但可用其合力代替,这就简化成相同的计算简图(图c)。在距端截面略远处都可用公式(2.1)计算应力。2.2.5拉(压)杆横截面上的应力当等直杆受几个轴向外力作用时,由轴力图求出最大轴力FN,max,进一步可求得杆内的最大正应力为N,maxmaxFAσ=最大轴力所在的截面称为危险截面,危险截面上的正应力称为最大工作应力。解:1.计算轴力例:如图所示右端固定的阶梯形圆截面杆,同时承受轴向载荷F1与F2作用。试计算杆的轴力与横截面上的正应力。已知F1=20kN,F2=50kN杆件AB段与BC段的直径分别为d1=20mm与d2=30mm。ABCF2F11122F1FN1FN2F1F2取1-1截面左侧研究求AB段轴力FN1＝F1＝20kN取2-2截面左侧研究求BC段轴力FN2＝F1－F2＝－30kN20kN30kN作轴力图2.应力计算AB段内任一横截面1-1上的正应力为：47N112142.0106.3710Pa63.7MPa0.020FAσπ××===×=×所得FN2为负,说明BC段轴力的实际方向与所设方向相反,即应为压力。44N1N22.010N,3.010NFF=×=−×同理,得BC段内任一横截面2-2上的正应力为：47N22224(3.010)4.2410Pa42.4MPa0.030FAσπ×−×===−×=−×是压应力d2d1例:长为b、内径d＝200mm、壁厚δ＝5mm的薄壁圆环,承受p＝2MPa的内压力作用,如图所示。试求圆环径向截面上的拉应力。薄壁容器（参考内容）解:薄壁圆环在内压力作用下要均匀胀大,故在包含圆环轴线的任何径向截面上,作用有相同的法向拉力FN。为求该拉力,可假想地用一直径平面将圆环截分为二,并研究留下的半环的平衡。半环上的内压力沿y方向的合力为R00(d)sinsind22dpbdFpbpbdππϕϕϕϕ=⋅==∫∫因壁厚δ远小于内径d,故可近似地认为在圆环任一径向截面m-m或n-n上各点处的正应力相等(如果δ≤d/20,这种近似足够精确)。又由对称关系可知,两径向截面上的正应力必组成数值相等的合力FN。由平衡方程∑Fy＝0,求得RN22FpbdF==N22FpbdpdAbσδδ===6632100.24010Pa40MPa2510−××==×=××2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力前面讨论了轴向拉伸或压缩时,直杆横截面上的正应力,它是今后强度计算的依据。但不同材料的实验表明,拉(压)杆的破坏并不总是沿横截面发生,有时却是沿斜截面发生的。为此,应进一步讨论斜截面上的应力。现在求与横截面成a角的任一斜截面k－k上的应力。FFkkα2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力NFFAAσ==设直杆的轴向拉力为F,横截面面积为A,由公式(2.1),横截面上的正应力为设与横截面成α角的斜截面k-k的面积为Aα,Aα与A之间的关系应为cosAAαα=FFkkα2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力FkkFαFFkkα假想地用一平面沿斜截面k－k将杆分成两个部分,取左段为研究对象。FFα=pα以Fα表示斜截面上的内力,以pα表示斜截面上的应力。分析该对象的平衡得与证明横截面上的应力是均匀分布的方法一样,可以证明斜截面上的应力也是均匀分布的。2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力FkkFαFFkkαcosAAαα=斜截面上的全应力为coscosFFFpAAAααααασα====NFFAAσ==FFα=pα2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力FkkFαFkkpασαταα把应力pα分解成垂直于斜截面的正应力σα和相切于斜截面的切应力τα。2coscospαασασα==pαcospασα=(2.3)sinsin22pαασταα==(2.4)2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力Fkkpασαταα2cossin22αασσαστα==xnα为斜截面k-k的外法线n与杆轴线的夹角。符号的规定:自x转向n,逆时针时α为正号,顺时针时α为负号。应力符号的规定:正应力以拉伸为正,压缩为负；切应力：对研究对象内任意一点取矩,顺时针为正,逆时针为负。2cossin22αασσαστα==2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力Fkkpασατααxn上列两式表达了通过拉杆内任一点处不同方位斜截面上的正应力σα和切应力τα随α角而改变的规律。通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况,称为该点处的应力状态。由两式可知,在所研究的拉杆中,一点处的应力状态由其横截面上的正应力σ即可完全确