多元线性回归模型(习题与解答)

第三章多元线性回归模型一、习题（一）基本知识类题型3-1．解释下列概念：1)多元线性回归2)虚变量3)正规方程组4)无偏性5)一致性6)参数估计量的置信区间7)被解释变量预测值的置信区间8)受约束回归9)无约束回归10)参数稳定性检验3-2．观察下列方程并判断其变量是否呈线性？系数是否呈线性？或都是？或都不是？1)iiiXYεββ++=3102)iiiXYεββ++=log103)iiiXYεββ++=loglog104)iiiXYεβββ++=)(2105)iiiXYεββ+=106)iiiXYεββ+−+=)1(1107)iiiiXXYεβββ+++=10221103-3．多元线性回归模型与一元线性回归模型有哪些区别？3-4．为什么说昀小二乘估计量是昀优的线性无偏估计量？多元线性回归昀小二乘估计的正规方程组，能解出唯一的参数估计的条件是什么？3-5．多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明昀小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？3-6．请说明区间估计的含义。（二）基本证明与问答类题型3-7．什么是正规方程组？分别用非矩阵形式和矩阵形式写出模型：ikikiiiuxxxy+++++=ββββL22110，ni,,2,1L=的正规方程组，及其推导过程。3-8．对于多元线性回归模型，证明：（1）∑=0ie（2）0)ˆˆˆ(ˆ110=+++=∑∑ikikiiiexxeyβββL3-9．为什么从计量经济学模型得到的预测值不是一个确定的值？预测值的置信区间和置信度的含义是什么？在相同的置信度下如何才能缩小置信区间？为什么？3-10．在多元线性回归分析中，t检验与F检验有何不同？在一元线性回归分析中二者是否有等价的作用？3-11．设有模型：uxxy+++=22110βββ，试在下列条件下：（1）121=+ββ（2）21ββ=分别求出1β和2β的昀小二乘估计量。3-12．多元线性计量经济学模型yxxxiiikkii=+++⋅⋅⋅++ββββμ01122=i1,2,…,n(2.11.1)的矩阵形式是什么？其中每个矩阵的含义是什么？熟练地写出用矩阵表示的该模型的普通昀小二乘参数估计量，并证明在满足基本假设的情况下该普通昀小二乘参数估计量是无偏和有效的估计量。3-13．有如下生产函数：LKXln452.0ln632.037.1ln++=（0.257）(0.219)98.02=R055.0),Cov(=LKbb其中括号内数值为参数标准差。请检验以下零假设：（1）产出量的资本弹性和劳动弹性是等同的；（2）存在不变规模收益，即1=+βα。3-14．对模型ikikiiiuxxxy+++++=ββββL22110应用OLS法，得到回归方程如下：kikiiixxxyββββˆˆˆˆˆ22110++++=L要求：证明残差iiiyyˆ−=ε与iyˆ不相关，即：0ˆ=∑iiyε。3-15．3-16．考虑下列两个模型：Ⅰ、iiiiuxxy+++=33221βββⅡ、iiiiiuxxxy′+++=−332212)(ααα要求：（1）证明：1ˆˆ22−=βα，11ˆˆβα=，33ˆˆβα=（2）证明：残差的昀小二乘估计量相同，即：iiuu′=ˆˆ（3）在何种情况下，模型Ⅱ的拟合优度22R会小于模型Ⅰ拟合优度21R。3-17．假设要求你建立一个计量经济模型来说明在学校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人数，以便决定是否修建第二条跑道以满足所有的锻炼者。你通过整个学年收集数据，得到两个可能的解释性方程：方程A：3215.10.10.150.125ˆXXXY+−−=75.02=R方程B：4217.35.50.140.123ˆXXXY−+−=73.02=R其中：Y——某天慢跑者的人数1X——该天降雨的英寸数2X——该天日照的小时数3X——该天的昀高温度（按华氏温度）4X——第二天需交学期论文的班级数请回答下列问题：（1）这两个方程你认为哪个更合理些，为什么？（2）为什么用相同的数据去估计相同变量的系数得到不同的符号？3-18．对下列模型：iiiiuzxy+++=2βα（1）iiiiuzxy+−+=ββα（2）求出β的昀小二乘估计值；并将结果与下面的三变量回归方程的昀小二乘估计值作比较：（3）iiiiuzxy+−+=γβα，你认为哪一个估计值更好？3-19．假定以校园内食堂每天卖出的盒饭数量作为被解释变量，盒饭价格、气温、附近餐厅的盒饭价格、学校当日的学生数量（单位：千人）作为解释变量，进行回归分析；假设不管是否有假期，食堂都营业。不幸的是，食堂内的计算机被一次病毒侵犯，所有的存储丢失，无法恢复，你不能说出独立变量分别代表着哪一项！下面是回归结果（括号内为标准差）：iiiiiXXXXY43219.561.07.124.286.10ˆ−+++=（2.6）(6.3)(0.61)(5.9)63.02=R35=n要求：（1）试判定每项结果对应着哪一个变量？（2）对你的判定结论做出说明。（三）基本计算类题型3-20．试对二元线性回归模型：iiiiuXXY+++=22110βββ，（ni,,2,1L=）作回归分析，要求：（1）求出未知参数210,,βββ的昀小二乘估计量210ˆ,ˆ,ˆβββ；（2）求出随机误差项u的方差2σ的无偏估计量；（3）对样本回归方程作拟合优度检验；（4）对总体回归方程的显著性进行F检验；（5）对21,ββ的显著性进行t检验；（6）当),,1(20100′=XXX时，写出)|E(00XY和Y0的置信度为95%的预测区间。3-21．下表给出三变量模型的回归结果：方差来源平方和（SS）自由度（d.f.）平方和的均值(MSS)来自回归65965——来自残差———总离差(TSS)6604214要求：（1）样本容量是多少？（2）求RSS？（3）ESS和RSS的自由度各是多少？（4）求2R和2R？（5）检验假设：2X和3X对Y无影响。你用什么假设检验？为什么？（6）根据以上信息，你能否确定2X和3X各自对Y的贡献吗？3-22．下面给出依据15个观察值计算得到的数据：693.367=Y，760.4022=X，0.83=X，269.660422=∑iy096.8485522=∑ix，0.28023=∑ix，346.747782=∑iixy9.42503=∑iixy，0.479632=∑iixx其中小写字母代表了各值与其样本均值的离差。要求：（1）估计三个多元回归系数；（2）估计它们的标准差；并求出2R与2R？（3）估计2B、3B95%的置信区间；（4）在%5=α下，检验估计的每个回归系数的统计显著性（双边检验）；（5）检验在%5=α下所有的部分系数都为零，并给出方差分析表。3-23．考虑以下方程（括号内为估计标准差）：tttiUPPW560.2004.0364.0562.8ˆ1−++=−（0.080）(0.072)(0.658)19=n873.02=R其中：W——t年的每位雇员的工资和薪水P——t年的物价水平U——t年的失业率要求：（1）对个人收入估计的斜率系数进行假设检验；（尽量在做本题之前不参考结果）（2）讨论1−tP在理论上的正确性，对本模型的正确性进行讨论；1−tP是否应从方程中删除？为什么？3-24．下表是某种商品的需求量、价格和消费者收入十年的时间序列资料：年份12345678910需求量59190654506236064700674006444068000724007571070680价格23.5624.4432.0732.4631.1534.1435.3038.7039.6346.68收入7620091200106700111600119000129200143400159600180000193000要求：（1）已知商品需求量Y是其价格1X和消费者收入2X的函数，试求Y对1X和2X的昀小二乘回归方程：22110ˆˆˆˆXXYβββ++=（2）求Y的总变差中未被1X和2X解释的部分，并对回归方程进行显著性检验；（3）对回归参数1ˆβ，2ˆβ进行显著性t检验。3-25．参考习题2-28给出的数据，要求：（1）建立一个多元回归模型，解释MBA毕业生的平均初职工资，并且求出回归结果；（2）如果模型中包括了GPA和GMAT分数这两个解释变量，先验地，你可能会遇到什么问题，为什么？（3）如果学费这一变量的系数为正、并且在统计上是显著的，是否表示进入昀昂贵的商业学校是值得的。学费这个变量可用什么来代替？3-26．经研究发现，学生用于购买书籍及课外读物的支出与本人受教育年限和其家庭收入水平有关，对18名学生进行调查的统计资料如下表所示：学生序号购买书籍及课外读物支出Y（元/受教育年限1X（年）家庭月可支配收入2X（元/月）1450.54171.22507.74174.23613.95204.34563.44218.75501.54219.46781.57240.47541.84273.58611.15294.891222.110330.210793.27333.111660.85366.012792.76350.913580.84357.914612.75359.015890.87371.9161121.09435.3171094.28523.9181253.010604.1要求：（1）试求出学生购买书籍及课外读物的支出Y与受教育年限1X和家庭收入水平2X的估计的回归方程：22110ˆˆˆˆXXYβββ++=（2）对21,ββ的显著性进行t检验；计算2R和2R；（3）假设有一学生的受教育年限101=X年，家庭收入水平月元/4802=X，试预测该学生全年购买书籍及课外读物的支出，并求出相应的预测区间（α=0.05）。3-27．根据100对(1x，y)的观察值计算出：1221=∑x&9−=∑yx&&302=∑y&要求：（1）求出一元模型uxy++=110ββ中的1β的昀小二乘估计量及其相应的标准差估计量；（2）后来发现y还受2x的影响，于是将一元模型改为二元模型vxxy+++=22110ααα，收集2x的相应观察值并计算出：622=∑x&82=∑yx&&221=∑xx&&求二元模型中的1α，2α的昀小二乘估计量及其相应的标准差估计量；（3）一元模型中的1ˆβ与二元模型中的1ˆα是否相等？为什么？3-28．考虑以下预测的回归方程：tttRSFY33.510.0120ˆ++−=50.02=R其中：tY——第t年的玉米产量（蒲式耳/亩）tF——第t年的施肥强度（磅/亩）tRS——第t年的降雨量（英寸）要求回答下列问题：（1）从F和RS对Y的影响方面，说出本方程中系数10.0和33.5的含义；（2）常数项120−是否意味着玉米的负产量可能存在？（3）假定Fβ的真实值为40.0，则估计值是否有偏？为什么？（4）假定该方程并不满足所有的古典模型假设，即并不是昀佳线性无偏估计值，则是否意味着RSβ的真实值绝对不等于33.5？为什么？3-29．已知线性回归模型UXY+=B式中~U（0，I2σ），13=n且3=k（n为样本容量，k为参数的个数），由二次型)()'(BBXYXY−−的昀小化得到如下线性方程组：3ˆˆ2ˆ321=++βββ9ˆˆ5ˆ2321=++βββ8ˆ6ˆˆ321−=++βββ要求：（1）把问题写成矩阵向量的形式；用求逆矩阵的方法求解之；（2）如果53=′YY，求2ˆσ；（3）求出βˆ的方差—协方差矩阵。3-30．已知数据如下表：Y1X2X11103298351541285-6要求：（1）先根据表中数据估计以下回归模型的方程（只估计参数不用估计标准差）：iiiuxy1110++=ααiiiuxy2220++=λλiiiiuxxy+++=22110βββ（2）回答下列问题：11βα=吗？为什么？22βλ=吗？为什么？（四）自我综合练习类题型3-31．自己选择研究对象(昀好是一个实际经济问题)，收集样本数据，应用计量经济学软件（建议使用Eviews3.1），完成建立多元线性计量经济模型的全过程，并写出详细研究报告。二、习题参考答案（一）基本知识类题型