高三一轮复习课件：指数与指数函数

第二章函数与基本初等函数高考总复习数学第二章函数与基本初等函数高考总复习数学第二章函数与基本初等函数高考总复习数学1．指数的概念及运算性质(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．其中n1，且n∈N*.(2)当n为奇数时nan＝，当n为偶数时nan＝|a|＝aa≥0－aa0.a第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(3)分数指数幂①规定正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)．②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，规定：a－mn＝1amn(a0，m，n∈N*，且n1).0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(4)分数指数幂的运算性质①ar·as＝；②(ar)s＝③(ab)r＝．ar＋s(a0，r，s∈Q)ars(a0，r，s∈Qarbr(a0，b0，r∈Q)第二章函数与基本初等函数高考总复习数学2．指数函数的图象和性质第二章函数与基本初等函数高考总复习数学a10a1性质(1)定义域：(1)定义域：(2)值域：(2)值域：(3)过点，即(3)过点，即(4)当x0时，；x0时，(4)当x0时，；x0时，(5)是(－∞，＋∞)上的函数(5)是(－∞，＋∞)上的函数(－∞，＋∞)(0，＋∞)(－∞，＋∞)(0，＋∞)x＝0时，y＝1(0,1)(0,1)x＝0时，y＝1y10y10y1y1增减第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[答案]m＜n1．(2009·江苏)已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为________．[解析]考查指数函数的单调性．a＝5－12∈(0,1)，函数f(x)＝ax在R上递减．由f(m)＞f(n)得：m＜n第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[答案][0，＋∞)2．若函数f(x)＝a|x|(a＞0，a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是________．[解析]由f(1)＝19，得a＝19，所以f(x)＝(19)|x|＝19xx≥09xx＜0因此f(x)在[0，＋∞)单调递减．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[解析]集合A中的元素是焦点在y轴上的椭圆上的所有点，集合B中的元素是指数函数y＝3x图象上的所有点，作图可知A∩B中有两个元素，∴A∩B的子集的个数是22＝4个，故选D.[答案]D3．(2010·湖北，2)设集合A＝{(x，y)|x24＋y216＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是()A．1B．2C．3D．4第二章函数与基本初等函数高考总复习数学第二章函数与基本初等函数高考总复习数学化简或求值：(1)a3b23ab2a14b124a－13b13(a0，b0)；(2)(14)－124ab－130.1－2a3b－312(a0，b0)．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[分析]利用指数幂的运算性质．[解](1)原式＝a3b2a13b2312ab2a－13b13＝a32＋16＋13－1b1＋13－2－13＝ab－1.(2)原式＝412·432102·a32·a－32·b－32·b32＝425a0b0＝425.[点评与警示]根式的运算常常化成幂的运算来进行，计算结果如果没有特殊要求，就用分数指数幂的形式表示．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(1)a－4b23ab2(a0，b0)；(2)[12523＋(116)－12＋34313]12；(3)已知a12＋a－12＝4，求下列各式的值：①a＋a－1；.第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[解](1)原式＝a－42b22·(a13b23)12＝a－2ba16b13＝a－116b43.(2)原式＝[(53)23＋(42)12＋(73)13]12＝(52＋4＋7)12＝3612＝6.(3)①a＋a－1＝(a12＋a－12)2－2＝42－2＝14.②利用①的结果，第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[分析]比较大小题，可考虑函数的单调性或与特殊值比较，以确定大小．比较下列各组数的大小：(1)0.80.5与0.90.4；(2)40.9,80.48，(12)－1.5.第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[点评与警示]1.题为“搭桥”法，即当两个数不好比较大小时，可找到一个与题中两个数都能比较大小的数，从而利用“桥梁”解决问题．2．题为单调性法，可用单调函数比较几个数的大小．[解](1)∵0.80.50.90.5，又0.90.50.90.4，∴0.80.50.90.4.(2)∵40.9＝21.8,80.48＝21.44，(12)－1.5＝21.5，又y＝2x在R上为增函数，∴21.821.521.44.∴40.9(12)－1.580.48.第二章函数与基本初等函数高考总复习数学比较下列各组数的大小：(1)(12)－π与3－2；(2)0.7－13，1.9－23，1.9－34.[解](1)∵121，－π0，∴(12)－π1；又31，－20，∴3－2∈(0,1)，∴(12)－π3－2.第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(2)考查指数函数y＝1.9x，由于1.91，所以函数y＝1.9x在(－∞，＋∞)上是增函数．因为－34－230，所以01.9－341.9－231.考查指数函数y＝0.7x，由于00.71，所以函数y＝0.7x在(－∞，＋∞)上是减函数．又因为－130，所以0.7－131.故它们的大小关系是0.7－131.9－231.9－34.第二章函数与基本初等函数高考总复习数学如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[解析]根据图象直观可先分两类，③、④的底数一定大于1，①、②的底数小于1，再由③④中比较c、d的大小，由①②中比较a、b的大小．解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴．∴应选B.解法二：令x＝1，由图知c1d1a1b1，∴ba1dc.故选B.[答案]B[点评与警示]指数函数图象的分布规律为：位于第一象限的部分，随着底数的由小到大，图象自下向上分布．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0[解析]结合图象知，函数是减函数，所以0a1，又分析得，图象是由y＝ax的图象向左平移所得，故－b0，即b0，故选D.[答案]D第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[分析]本题主要考查指数函数的基本性质灵活运用基本性质的能力．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为()A.12B．2C．4D.14第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[解]解法一：对a分类讨论．a1，x＝0时，y有最小值1；x＝1时，y有最大值a.由题设1＋a＝3，则a＝2.0a1，x＝0时，y有最大值1；x＝1时，y有最小值a，由题设a＋1＝3，则a＝2，与0a1矛盾，故选B.解法二：当a0，a≠1时，y＝ax是定义域上的单调函数，因此其最值在x∈[0,1]的两个端点得到，于是必有1＋a＝3，a＝2.[答案]B第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(2008·广州二模)设函数f(x)＝a－|x|(a＞0且a≠1)，f(2)＝4，则()A．f(－2)＞f(－1)B．f(－1)＞f(－2)C．f(1)＞f(2)D．f(－2)＞f(2)[解析]由f(2)＝4，得4＝a－2⇒a＝12.所以函数f(x)＝(12)－|x|＝2|x|.该函数在(－∞，0]上是减函数，故有f(－2)＞f(－1)．选A.[答案]A第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[分析]由函数结构定义分析满足的条件，进一步应用指数函数的性质分析，奇偶性判断按其定义进行．已知f(x)＝ax－1ax＋1(a0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域、值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[解](1)定义域R，f(x)＝1－2ax＋1，因为ax0，所以ax＋11.所以02ax＋12.所以－11－2ax＋11.所以值域为(－1,1)．(2)f(－x)＝a－x－1a－x＋1＝1－ax1＋ax＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(3)设x1x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1－1ax1＋1－ax2－1ax2＋1＝2ax1－ax2ax1＋1ax2＋1.当a1时，由x2x1，得ax1ax2，ax1＋10，ax2＋10，所以f(x1)－f(x2)0，所以f(x1)f(x2)，所以当a1时f(x)在R上为增函数，同理，当0a1时f(x)在R上为减函数．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[点评与警示]问题(1)首先用分离常数的方法化简f(x)的表达式，然后求值域；问题(3)的单调性证明的关键是熟悉指数幂的代数变形．同时注意到指数函数的性质直接受到底数a取值范围的影响，因此，求解时需要对a进行分类讨论．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学设a∈R，f(x)＝a·2x＋a－22x＋1(x∈R)为奇函数．(1)确定a的值；(2)函数f(x)是R上的增函数，还是减函数？试证明你的结论．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学[解](1)f(x)为奇函数，x∈R，∴f(0)＝0，即a·20＋a－220＋1＝0，∴a＝1(2)由(1)知f(x)＝2x－12x＋1，设x1x2，x1、x2∈R，则f(x1)－f(x2)＝2x1－12x1＋1－2x2－12x2＋1＝22x1－2x22x1＋12x2＋1∵2x1＋10,2x2＋10，又x1x2，∴2x1－2x20，∴f(x1)－f(x2)0∴f(x)在R上是增函数．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(理科选用)定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期是2，当0x1时，f(x)＝2x4x＋1.(1)讨论f(x)在(0,1)上的单调性；(2)求f(x)在[－1,1]上的表达式；(3)若f(x)－a有零点，求实数a的取值范围．[解](1)设0x1x21，则在f(x1)－f(x2)＝2x2－2x12x1＋x2＋14x1＋14x2＋1中，由于函数y＝2x是增函数，得2x2－2x10，从而f(x1)－f(x2)0.即f(x1)f(x2)．所以f(x)在(0,1)上是减函数．第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(2)当－1x0时，0－x1，f(x)＝－f(－x)＝－2－x4－x＋1＝－2x4x＋1，由定义在R上的奇函数的图象过原点，得f(0)＝0，又f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，且f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＝f(1)＝0，所以，f(x)在[－1,1]上的表达式是f(x)＝2x4x＋1，0x1，0，x＝0，x＝±1，－2x4x＋1，－1x0.第二章函数与基本初等函数高考总复习数学(3)由(1)可知f(x)在(0,1)上递减，值域是(25，12)，因此f(x)在[－1,1]上的值域是(－12，－25)∪{0}∪(25，12)．依题意，关于x的方程f(x)＝a有实数解时求实数a的取值范围，即函数的值域，由f(x)的周期性，可知f(x)在R上的值域(－12，－25)∪{0}∪(25，12)即为a的取值范围．第二章函数与基本初等函数高考总复