第八讲—(换元法-拆项法等)

第八讲—因式分解拓展（待定系数法，换元法，拆项与添项法，实数范围内分解因式）一、在实数范围内分解因式例1、在实数范围内分解因式：1、222xx2、254a3、x3－4x练习：在实数范围内分解因式（1）422xx（2）3322xx（3）7442aa（4）)3(3)3(2xxx二．换元法引辅助未知元来代替重复出现的数或式子的解题方法称为换元法。换元的实质是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得到简化的一种解题方法。换元法的基本思想是通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，使问题发生有利的转化，从而达到解题目的。换元法的关键在于适当地选择“新元”，引进适当的代换，把未知问题转化为已知问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。换元法的一般步骤：转化等量代换等价原则设元求解回代检验例1、分解因式：2222(48)3(48)2xxxxxx例2、22(52)(53)12xxxx巩固练习1：(1)(3)(5)(7)15xxxx巩固练习2:22(1)(2)12xxxx例3、计算：200020012001200120002000练习：（1）分解因式：2(25)(9)(27)91aaa（2）证明：四个连续正整数的乘积加1是整数的平方。（3）2002200300120040022001（4）若x，y是整数，求证：4234xyxyxyxyy是一个完全平方数.一、待定系数法待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果12112112101210nnnnnnnnnnnnaxaxaxaxabxbxbxbxb那么nnab，11nnab，…，11ab，00ab.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。例1．分解因式15143222yxyxyx思路1因为所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m,n,的值。解:因为所以可设比较系数，得由①、②解得把代入③式也成立。∴练习：分解因式49253122yxyxyx、2、534234xxxx例2、若多项式能被整除，则n=_______.练习：1、多项式能分解为两个一次因式的积，则k=_____.2、6522yxbyaxyx的一个因式是2yx，则ba的值是。3、多项式bxaxxx732234能被22xx整除，则________ba.4、已知,,abc均为实数，且多项式32xaxbxc能够被234xx整除。（1）求4ac的值；（2）求22abc的值；三、拆添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解例1、分解因式：x3-9x+8例2、分解因式x3+3x24（拆添项法）例3、分解因式x2-y2+4x+2y+3（拆项后再分组）例4、分解因式44x．（添项后再分组）练习：分解因式1、444yx(添项法)2、344422yyxx（拆项法）3、)(12224添项法aaxxx4、1222234xxxx（拆项法）5、42221xxaxa（添项法）6、432234232aabababb（拆项法）