高考复习圆锥曲线中的离心率问题(含详细答案).总结

1圆锥曲线中的离心率问题（答案）一、直接求出a、c，求解e已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式ace来求解。例1.过双曲线C：)0b(1byx222的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）A.10B.5C.310D.25分析：这里的1b，c1a2，故关键是求出2b，即可利用定义求解。解：易知A（-1，0），则直线l的方程为1xy。直线与两条渐近线bxy和bxy的交点分别为B)1bb,1b1(、C)1bb,1b1(，又|AB|=|BC|，可解得9b2，则10c故有10ace，从而选A。二、变用公式，整体求出e例2.已知双曲线)0b,0a(1byax2222的一条渐近线方程为x34y，则双曲线的离心率为（）A.35B.34C.45D.23分析：本题已知ab34，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。解：由22222222k1ab1abaabaace（其中k为渐近线的斜率）。这里34ab，则35)34(1ace2，从而选A。三、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。例3.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，2则该椭圆的离心率为（）A.2B.22C.21D.42解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则xFM轴，知|MF|是通径的一半，则有22|MF|。由圆锥曲线统一定义，得离心率22d|MF|e，从而选B。四.构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值，这也是常用的一种方法。例4.已知1F、2F是双曲线)0b,0a(1byax2222的两焦点，以线段F1F2为边作正21FMF，若边1MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.324B.13C.213D.13解：如图，设11MF,c|OF|的中点为P，则点P的横坐标为2c，由c|FF|21|PF|211，由焦半径公式aex|PF|p1，即a)2c(acc，得0ac2a2c22，有02e2e2，解得31e,31e（舍去），故选D。高考试题分析1.（2009浙江理）过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,BC．若12ABBC，则双曲线的离心率是()A．2B．3C．5D．10答案：C【解析】对于,0Aa，则直线方程为0xya，直线与两渐近线的交点为B，C，22,,(,)aabaabBCabababab，22222222(,),,ababababBCABabababab，3因此222,4,5ABBCabe．2.（2009浙江文）已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P．若2APPB，则椭圆的离心率是（）A．32B．22C．13D．12【解析】对于椭圆，因为2APPB，则12,2,2OAOFace3.(2009山东卷理)设双曲线12222byax的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为().A.45B.5C.25D.5【解析】:双曲线12222byax的一条渐近线为xaby,由方程组21byxayx,消去y,得210bxxa有唯一解,所以△=2()40ba,所以2ba,2221()5cabbeaaa,故选D4.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为62的是（A）22124xy（B）22142xy（C）22146xy（D）221410xy[解析]由62e得222222331,1,222cbbaaa，选B5.（2009江西卷文）设1F和2F为双曲线22221xyab(0,0ab)的两个焦点,若12FF，，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A．32B．2C．52D．3【解析】由3tan623cb有2222344()cbca,则2cea,故选B.46.（2009江西卷理）过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率为A．22B．33C．12D．13【解析】因为2(,)bPca，再由1260FPF有232,baa从而可得33cea，故选B7.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线222210,0xyCabab：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率(A)A．65B.75C.58D.958.（2008福建理11）双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（B）A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,利用第二定义及焦半径判断0xa³9.（2008湖南理8）若双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是(B)A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D.(5,+)解析：利用第二定义22233(),352022aaaaeeecc-+--整理得10.（2008江西理7）已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）A．(0,1)B．1(0,]2C．2(0,)2D．2[,1)2解析：满足120MFMF的点M总在椭圆内部，所以cb.511.（2008全国二理9）设1a，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是（B）A．(22)，B．(25)，C．(25)，D．(25)，12.（2008湖南文10）双曲线)0,0(12222babyax的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是(C)A．(1,2]B．[2,)C．(1,21]D．[21,)利用焦半径公式及0xa，解不等式即可。13.（2007全国2理）设12FF，分别是双曲线2222xyab的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使1290FAF且123AFAF，则双曲线的离心率为（B）A．52B．102C．152D．5解12222212222102()()(2)10AFAFAFacaeAFAFcì-==ïï??íï+=ïî14.（07江苏理3）．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为20xy，则它的离心率为（A）A．5B．52C．3D．2（注意焦点在y轴上）15.（07湖南文）．设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c（c为半焦距）的点，且122||||FFFP，则椭圆的离心率是（D）A．312B．12C．512D．2216（07北京文4）．椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点6分别为MN，，若12MNFF≤，则该椭圆离心率的取值范围是（D）Ａ．102，Ｂ．202，Ｃ．112，Ｄ．212，17.（2009重庆卷文）已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，若椭圆上存在一点P使1221sinsinacPFFPFF，则该椭圆的离心率的取值范围为．【答案】21,1.解法1，因为在12PFF中，由正弦定理得211221sinsinPFPFPFFPFF则由已知，得1211acPFPF，即12aPFcPF设点00(,)xy由焦点半径公式，得1020,PFaexPFaex则00()()aaexcaex记得0()(1)()(1)acaaexecaee由椭圆的几何性质知0(1)(1)aexaaee则，整理得2210,ee解得2121(0,1)eee或，又，故椭圆的离心率(21,1)e18.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60o，则双曲线C的离心率为62【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是,(bcb是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30，即得tan30bc，所以3cb，所以2ab，离心率3622cea19.（2008全国一理15）在ABC△中，ABBC，7cos18B．若以AB，为焦点的椭7圆经过点C，则该椭圆的离心率e．3820.（2010辽宁文数）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A）2（B）3（C）312（D）512解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：22221(0,0)xyabab，则一个焦点为(,0),(0,)FcBb一条渐近线斜率为：ba，直线FB的斜率为：bc，()1bbac，2bac220caac，解得512cea.21、（2010四川理数）（9）椭圆22221()xyabab的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A）20,2（B）10,2（C）21,1（D）1,12解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|＝22abccc，|PF|∈[a－c,a＋c]，于是2bc∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴222222accacacacc1112caccaa或又e∈(0,1)故e∈1,12答案：D22.（2010辽宁理数）(20)（本小题满分12分）设椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,2AFFB.(I)求椭圆C的离心率；(II)如果|AB|=154，求椭圆C的方程.解：8设1122(,),(,)AxyBxy，由题意知1y＜0，2y＞0.（Ⅰ）直线l的方程为3()yxc，其中22cab.联立22223(),1yxcxyab得22224(3)2330abybcyb解得221222223(2)3(2),33bcabcayyabab因为2AFFB，所以122yy.即2222223(2)3(2)233bcabcaabab得离心率23cea.……6分（Ⅱ）因为21113AByy，所以22224315343abab.由23ca得53ba.所以51544a，得a=3，5b.椭圆C的方程为22195xy.书是我们时代的生命——别林斯基书籍是巨大的力量——列宁书是人类进步的阶梯———高尔基书籍是人类知识的总统——莎士比亚书籍是人类思想的宝库——乌申斯基书籍——举世之宝——梭罗好的书籍是最贵重的珍宝——别林斯基书是唯一不死的东西——丘特书籍使人们成为宇宙的主人——巴甫连柯书中横卧着整个过去的灵魂——卡莱尔人