上海市高中数学2020年高一第二学期倍角半角万能公式专训讲义设计

上海市高中数学2020年高一第二学期数学讲义倍角公式-半角公式-万能公式专训【知识梳理】1、二倍角公式：cossin22sin；)(2S22sincos2cos；)(2C2tan1tan22tan；)(2T降幂公式：1cos22cos22sin212cos)(2C升幂公式：22cos1sin22cos1cos222、半角公式：cos1cos12tan,2cos12cos,2cos12sin3、万能公式：2tan12tan2tan,2tan12tan1cos,2tan12tan2sin2222让学生推导公式，复习前面所学的同角三角基本关系式提醒：1的妙用【典型例题分析】例1、已知5cos3sincossin2，求3cos2+4sin2的值解：∵5cos3sincossin2∴cos0(否则2=5)奎屯王新敞新疆∴53tan1tan2解之得：tan=2∴原式572122421)21(3tan1tan24tan1)tan1(3222222例2、已知2，0，tan=31，tan=71，求2+解：43tan1tan22tan2∴1tan2tan1tan2tan)2tan(又∵tan20，tan0∴2223，02∴22∴2+=47例3、已知sincos=21，2，求2tan和tan的值解：∵sincos=21∴212tan12tan12tan12tan2222化简得：032tan42tan2∴722121642tan∵2∴22∴02tan即722tan374725727410724)72(1)72(22tan12tan2tan22例4、已知coscos=21，sinsin=31，求sin(+)的值解：∵coscos=21，∴212sin2sin2①sinsin=31，∴312sin2cos2②∵02sin∴232tan∴232tan∴13124912322tan12tan2)sin(2变式练习：已知12cos(),sin(),923且,022，求cos()的值。答案：239729例5、已知α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0求证：α＋2β＝2证法1：由已知得3sin2α＝cos2β①3sin2α＝2sin2β②①÷②得tanα＝)22tan()22cos()22sin(2sin2cos∵α、β0＜β＜2，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0∴－2＜2－2β＜2∴α＝2－2β，α＋2β＝2评述：一般地，若所求角在（0，π）上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在（－2，2)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆例6、已知23cos(),(,)41024xx，（1）求sinx的值；（2）求sin(2)3x的值。答案：（1）45（2）247350例7、求值：248coscoscoscos15151515答案：116例8、试推导三倍角的正弦和余弦公式。3sin33sin4sin3cos34cos3cos证明：略例9、化简：1sin1sin22cos,(0,)2。答案：0【课堂总结】要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律【课后练习】一、填空题1、若25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan________________2、已知sinθ=－53，3π＜θ＜2π7，则tan的值为___________．3、已知sin+cos=－53，且2π5＜α＜3π，则cot的值为____________．4、已知α为钝角、β为锐角且sinα=54，sinβ=1312，则cos的值为____________．5、设5π＜θ＜6π，cos=a，则sin的值等于________________二、解答题6、化简2cos2sin12cos2sin1．7、求证：2sin（4π－x）·sin（4π+x）=cos2x．奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆8、求证：tan1tan1sincoscossin2122a．9、在△ABC中，已知cosA=BbabBacoscos，求证：babaBA2tan2tan22．10、求sin15°，cos15°，tan15°的值．11、设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1．12、求证：1+2cos2θ－cos2θ=2．13、求证：4sinθ·cos2=2sinθ+sin2θ．14、设25sin2x+sinx－24=0，x是第二象限角，求cos2x的值．15、已知sinα=1312，sin（α+β）=54，α与β均为锐角，求cos．参考答案一、填空题1．215．2．－33．2514．656575．－21a二、解答题6．解：原式=2cos2sin12cos2sin1=22cos2cossin21sin21cossin21=22cos2cossin2sincossin2=)cos(sincos2sincossin2=tanθ．7．证明：左边=2sin（4π－x）·sin（4π+x）=2sin（4π－x）·cos（4π－x）=sin（2π－2x）=cos2x=右边，原题得证．8．证明：左边=22sincoscossin21=)sin(cos)sin(coscossin2sincos22=)sin)(cossin(cos)sin(cos2=sincossincos=tan1tan1=右边，原题得证．9．证明：∵cosA=BbabBacoscos，∴1－cosA=BbaBbacos)cos1()(，1+cosA=BbaBbacos)cos1()(．∴)cos1()()cos1()(cos1cos1BbaBbaAA．而2tan2cos22sin2cos1cos1222ABAAA，2tancos1cos12BBB，∴tan2)()(2babaA·tan22B，即babaBA2tan2tan22．10．解：因为15°是第一象限的角，所以sin15°=4264)26(43482322231230cos12，cos15°=4264)26(43482322231230cos12，tan15°=30cos130cos1=2－3．11．解：∵－3π＜α＜－2π5，∴－2π3＜＜－4π5，cos＜0．又由诱导公式得cos（α－π）=－cosα，∴cos12)πcos(1=－cos．12．证明：左边=1+2cos2θ－cos2θ=1+2·22cos1－cos2θ=2=右边．13．证明：左边=4sinθ·cos2=2sinθ·2cos2=2sinθ·（1+cosθ）=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边．14．解：因为25sin2x+sinx－24=0，所以sinx=2524或sinx=－1．又因为x是第二象限角，所以sinx=2524，cosx=－257．又2x是第一或第三象限角，从而cos2x=±225712cos1x=±53．15．解：∵0＜α＜2π，∴cosα=135sin12．又∵0＜α＜2π，0＜β＜2π，∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜2π，∵sin（α+β）＜sinα，∴α+β＜α不可能．故2π＜α+β＜π．∴cos（α+β）=－53．∴cosβ=cos［（α+β）－α］=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=－53·54135·65331312，∵0＜β＜2π，∴0＜2＜4π．故cos656572cos1．