小学奥数之第30讲-几何综合(二)

1第30讲几何综合（二）内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系．与上述知识相关的几何计算问题．各种具有相当难度的几何综合题．典型问题2．如图30-2，已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米?【分析与解】方法一：因为CEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关．设正方形CEFG的边长为x，有：=1010=100,ABCDS正方形2=x,S正方形CEFG21110x-x=DGGF=(10-x)x=,222DGFS又1=1010=50,2ABDS2110x+x=(10+x)x=.22BEFS阴影部分的面积为:DGFABDBEFABCDCEFGSSSSS正方形正方形2221010100505022xxxxx(平方厘米).方法二：连接FC，有FC平行与DB，则四边形BCFD为梯形．有△DFB、△DBC共底DB，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,△DBC的面积11010502(平方厘米)．阴影部分△DFB的面积为50平方厘米．4.如图30-4，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I等于多少度?2【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有∠I=1800-(∠1+∠2),而∠1=1800-∠3,∠2=1800-∠4,有∠I=∠3+∠4-1800同理,∠H=∠4+∠5-1800,∠G=∠5+∠6-1800,∠F=∠6+∠7-1800,∠E=∠7+∠8-1800,∠D=∠8+∠9-1800,∠C=∠9+∠10-1800,∠B=∠10+∠11-1800,∠A=∠11+∠3-1800则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×(∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11)-9×1800而∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11正是9边形的内角和为(9-2)×1800=12600．所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×12600-9×1800=90006．长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形．考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形．例如，短边长分别是1，2，5，6，12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示．请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1a2a3a4a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为(a1,a2,a3,a4,a5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一．【分析与解】我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出．第一类情况：以为特征的有7组：3第二类情况：以为特征的有6组：第三类情况有如下三组：4共有16组解，它们是：(1，2，2.5，5，7.25)，(1，2，2．5，5，14.5)．(1，2，2.25，2.5，3.625)，(1，2，2.25，2.5，7.25)．(1，2，5，5.5，6)，(1，2，5，6，11)，(1，2，2.5，4.5，7)，(1，2，2.5，4.5，14)，(1，2，5，12，14.5)，(1，2，5，12，29)，(1，2，2.25，2.5，4.5)，(1，2，5，6，12).1020251,,2,,,999(1,2,2.4,4.8,5),131025147813101,,,,,1,,,,636333313.8.如图30-8，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为边AB,BC的中点．则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米?【分析与解】如下图所示，连接EC，并在某些点处标上字母，因为AE平行于DC，所以四边形AECD为梯形，有AE:DC=1:2，所以:1:4AEGDCGSS,AGDECGAEGDCGSSSS,且有AGDECGSS,所以:1:2AEGADGSS,而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG：GD=1:2，同理FH：HD=1:2．有AEDAEGAGDSSS,而111822AEDABCDSS(平方厘米)有EG:GD=:AEGAGBSS,5所以1612AEGAEDSS(平方厘米)21212AGDAEDSS(平方厘米)同理可得6HFCS(平方厘米),12DCHS(平方厘米),44624DCGAEGSS(平方厘米)又GHDDCGDCHSSS=24-12=12(平方厘米)所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24(平方厘米)，所以剩下的阴影部分面积为72-24=48(平方厘米)．10．图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG．设△AEG的面积为x，显然△EBG、△BFG、△FCG的面积均为x，则△ABF的面积为3x，120101002ABFS即1003x，那么正方形内空白部分的面积为40043x.所以原题中阴影部分面积为400800202033(平方厘米)．12．如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1．求阴影部分的面积．6【分析与解】如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等．我们把左下图中的每一部分阴影称为A，右下图中的每一部分阴影称为B．大半圆的面积为13332AB小圆的面积219322.而小圆的面积为，则9133223AB，原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A、B的面积和，即为523614.如图30-14，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD边扫过部分的面积．(取3.14)【分析与解】如下图所示，如下图所示，端点A扫过的轨迹为AAA，端点D扫过轨迹为DDD，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD，AD所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分．显然有阴影部分面积为ADCACAACDSSSS直角扇形直角扇形CDD,而直角三角形ADC、ACD面积相等．7所以=ADCACAACDACASSSSSS直角扇形直角扇形CDD扇形扇形CDD222290909=(54)7.065()36036044ACCD平方厘米即AD边扫过部分的面积为7．065平方厘米．