奥数精品讲义第10讲数字谜、数阵、数表--深圳清华实验学校佘珊珊

人的天职在勇于探索真理。——哥白尼数字谜问题被称作思维锻炼的体操，这一部分问题可以很好的培养学生的观察力、判断及推理能力。数字谜也是一类非常有趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现。和数字谜问题类似的，数阵、数表问题由于其本身的数学美感，受出题者青睐，解这类问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，从而逐步简化题目直至问题完全解决。1．回顾常用的数字谜的解题技巧。2．精讲经典数字谜、及数阵数表。【例1】在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：△□□〇+〇□□△□□☆☆那么：口+○+△+☆=_________。【分析】比较竖式中百位与十位的加法，十位上“□+□”肯定进位，（否则由百位可知□＝0），且有“□+□＋1＝10+□”，从而□=9，☆=8。再由个位加法，推知○+△=8．从而口+○+△+☆=9+8+8=25。【拓展】（2008年迎春杯初赛）在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不（一）解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异。（二）要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行恰当的估算。（三）当题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用不同符号代表不同数字这一条件来排除若干可能性。（四）注意结合进位及退位来考虑。（五）有时可运用到数论中的分解质因数等方法。数字谜经典精讲教学目标数字谜、数阵、数表第十讲人的天职在勇于探索真理。——哥白尼同数字，则四位数tavs=______。stvavtstttvtt【分析】首先可以判断1t，所以11sv，13vtt，可解得1138s，又因为att所以0a，1038tavs。【例2】电子数字0~9如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式：。【分析】⑴显然乘积的百位只能是2，⑵被乘数的十位和乘数只能是0、2、6、8，才有可能形如，0首先排除⑶如果被乘数十位是6或8，那么乘数无论是2、6或8，都不可能乘出百位是2的三位数。所以被乘数十位是2，相应得乘数是8。⑷被乘数大于25，通过尝试得到符合条件的答案：288224。【例3】在下面的乘法算式中，“数”、“字”、“谜”各代表一个互不相同的数字，求这个算式。数字谜数字谜谜谜谜谜谜235235117570547055225【分析】这是集数字谜和填空格于一体的数字问题，从题面上看，提供的信息较少，“谜”所在的位置较多，紧紧抓住“谜”所在的位置特点，逐一突破。可以判断“谜”1，由“数字谜谜谜”可知，，因此“谜”=5或6。⑴若“谜”5，“数字谜数”的乘数的百位数字必须大于3且小于等于5，所以“数”2，由于“数字谜字谜”，可知“255字字”，字是单数且小于5，故“字”1或3，当“字”=1时，21521546225，不符合条件，当“字”=3时，23523555225，符合题意。⑵若“谜”6，同理，“数字谜数”的乘积的百位数字必须大于4且人的天职在勇于探索真理。——哥白尼小于等于6，所以“数”=2，由266字字，可知“字”=1，但21621646656，不符合条件。所以满足条件的算式是：【拓展】在算式：2的六个方框中，分别填入2，3，4，5，6，7这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被13整除，那么这个乘积是_____。【分析】先从个位数考虑，有224，236，2612，2714，再考虑乘数的百位只能是2或3，因此只有三种可能的填法：2273546，2327654，2267534，其中只有546能被13整除，所以这个积是546。【例4】在下图中的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么被除数DEFGF是多少？【分析】显然的1D，由ABAIF可知，A不会超过3，否则得到的乘积应该是3位数，如果3A，那么B也不能超过3，所以B只能是2，这样的32396ABB与AAH矛盾，所以3A，所以2A，根据ABBAAH，可以尝试出8B时，等式成立，得到这些条件既可依次求得：5I，6F，0E，9G，所以被除数DEFGF是10696。【例5】（2008年迎春杯初赛）在右图的每个方框中填入一个数字，使得除法算式成立。则被除数应是___________。【分析】如下图，我们将空格标上字母，以便分析。由88B,得6B。因为88XYAE,所以，我们可以得知1Y或者6，我们现来看看1可以不可以。假设1Y，则8Y没有进位，8X所得个位E必是偶数，B必是6,因为8816B,所以，必进位。所以，F必是奇数。808888WwGDGD80ABDAEFCHXYVCH8888人的天职在勇于探索真理。——哥白尼因为8WXF，所以，W可能是2,3,4,6,7,9。通过试值，逐个排除。这里应用到倒除法，例：128XF说明：9X,再结合算式中其它部分，例如继续计算：918728,在算式中，F出现矛盾。所以，2W不成立。假设6Y，分别将1至9代入X进行计算，我们会发现，A）若1X、2、3、6、7、8，会发现第一次除法后的余数都大于除数XY，所以可以排除；B）若4X，得6E，3A，进而得到1F，4W，4H，因为46V的结果是一个两位数，所以1V或者2，当2V的时候，92GD，而4C没有借位，所以结果最大为5，产生矛盾，故1V，进而推出4G，8C，6D，符合题目要求，被除数为38686；C）若5X，由第一次除法可以推出3F，6W或者7，但是无论6W还是7W，都无法满足88FCFH的结果为1位数，所以排除；D）若9X，则7A，1F，因为9618WC，W找不到满足这个等式的整数，所以9X可以排除；综上所述，4X，6Y的时候满足题目中的式子，被除数为38686。【例6】（2008年迎春杯决赛）将数字1至9分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是。12008【分析】三个加数的个位数字之和可能是8，18；十位数字之和可能是9，19，20；百位数字之和可能是8，9，10，其中只有1819845。要使加数中的四位数最小，尝试百位填1，十位填2，此时另两个加数的百位只能填3，4；四位数的加数个位可填5，另两个加数的十位可填8，9，个位可填6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是1125。数阵图、数表人的天职在勇于探索真理。——哥白尼【例7】将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数.848926731【分析】1的两边只能是3与7，2的两边只能是6与9.因为在剩下的4，5，8三个数中，4与5，8都不能相邻，所以有下面四种可能：926731926731926731926731因为△处是4，所以只有第2图可得符合题意的一种填法。【例8】如图大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形四个顶点上：⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等?⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．248668862244【分析】⑴不能．如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S。考察外面的4个三角形，每个三角形顶点上的数的和是S，在它们的和4S中，大正方形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次。即42468360S。∴60415S,但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上数字之和不可能相等．⑵能，右图是一种填法。8个三角形顶点数字之和分别是：8、10、12、14、16、18、20、22。人的天职在勇于探索真理。——哥白尼【拓展】将3，5，7，11，13，17，19，23，29这9个数分别填人右图的9个○中，使3条边上的○中的数之和都相等。请分别求出满足上述条件的最大的和与最小的和。【分析】设三个顶点○内所填的数为a,b,c，每条边上的和为K，三个顶点上的数在求和时各用了2次，所以条边上的三数之和相加得3571113171923291273abcabcK；由于所得的和必须能被3整除，而1273421，所以abc的和应被3除余2，abc的最小值是571123，最大值是29231971，所以K的最小值是12723350，最大值是12771366。【例9】一列自然数0，1，2，3，，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024，现在将这列自然数排成以下数表：03815……12714……45613……9101112……………………规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第______行和第______列。【分析】第n行的第1个数是21n。224419362005202545。第45行的第1个数是1936，第45列的第1个数是202512024。20242005120。2005在第20行第45列。【附加】如图的数阵是由于77个偶数排成的，其中20，22，24，36，38，40这六个由一个平等四边形围住，它们的和是180。把这个平行四边形沿上下,左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是660。那么它们当中位于平行四边形左上角的那个数是______。【分析】六个和一共增加：660180480。每个增加480680,第一个数就变为2080100。【例10】在右边表格的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行出现的次数，那么第二行的五个数字依次是_____。0123424681012141618202224262830323436384042…………………142144146148150152154人的天职在勇于探索真理。——哥白尼【分析】每一空格填一个数，共有5个空格，各个数出现的次数综合应该为5，即第二行所填的五数之和为5，即第二行所填无数之和是5，将5拆分有以下几种方法：541000；532000531100522100；521110；511111；将这几种拆分方法，按各个数字出现频数填入表格，可以发现，只有522100不会出现矛盾，填法如下：0123421200【例11】将最小的10个合数填到图中所示表格的10个空格中，要求满足以下条件：1)填入的数能被它所在列的第一个数整除；2)最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大；那么，最后一行中5个数的和最小可能是_______。23456【分析】最小的10个合数分别是4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。这10个合数当中10和15一定是在5的下面，4、8、14、16一定是在2和4下面，剩下的6、9、12、18在3或6下面，其中9一定在3的下面，对2和4所在的列和3和6所在的列分别讨论。4、8、14、16，这四个数中最大的数16一定在最后一行，最小的数4一定在第二行，所以2和4所在的列中最后一行的数的和最小是16824，当14、16在2下面，4和8在4下面时成立。6、9、12、18，这四个数中最大的数18一定在最后一行，最小的数6一定在第二行，所以3和6所在的列中最后一行的数的和最小是18927，当6和18在6下面，6和9在3下面时成立。所以最后一行的5个数的和是24152766。【例12】下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好,其他位置上的每个数都是它所在行的第一列上的数与所在列的第行上的数的积，如A格应填的数是101313