2012届高考数学二轮复习精品课件(江苏专用)专题10 平面向量的线性运算

专题十平面向量的线性运算专题十平面向量的线性运算主干知识整合专题十│主干知识整合1．平面向量的线性运算(1)加法、减法、数乘运算．(2)三角形法则、平行四边形法则．2．两个定理(1)向量共线定理如果存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.3．核心问题(1)向量的基底运算．(2)三角形和四边形中向量的运算．要点热点探究专题十│要点热点探究►探究点一平面向量的基底的运用在不可以建立坐标系的问题中，一般都牵涉向量的基底的运算．基底是指平面内两个不共线向量，在几何图形中常见基底向量多为多边形的边上的向量．例1设e1、e2是夹角为60°的两个单位向量，已知OM→＝e1，ON→＝e2，OP→＝x·OM→＋y·ON→(x，y为实数)．若△PMN是以M为直角顶点的直角三角形，则x－y取值的集合为________．专题十│要点热点探究{1}【解析】由题意得：|OM→|＝|ON→|＝1，OM→·ON→＝12，又因为△PMN是以M为直角顶点的直角三角形，所以有MP→·MN→＝0，即(OP→－OM→)·(ON→－OM→)＝0，所以((x－1)OM→＋yON→)·(ON→－OM→)＝0，得(1－x)＋y＋12(x－1－y)＝0，所以－12(x－y)＝－12，即x－y＝1，故x－y取值的集合为{1}．专题十│要点热点探究【点评】本题以OM→，ON→为基底构造一个新向量，研究向量所构成图形的特征．在处理这类问题时，关键是在于将未知向量拆分为基底向量的线性关系式，这里可以用三角形法则和平行四边形法则以及向量共线定理解题．专题十│要点热点探究设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则AE→·AF→＝________.图10－110【解析】AE→·AF→＝(AB→＋BE→)·(AC→＋CF→)＝AB→＋13BC→·AC→－13BC→＝AB→·AC→－19|BC→|2＋13BC→·(AC→－AB→)＝29|BC→|2＝29(62＋32)＝10.专题十│要点热点探究►探究点二多边形中向量的线性运算多边形中的向量的线性运算，关键是利用已知向量为基底，将未知向量通过几何条件用基底表示后，再研究图形中的特征．例2如图10－2，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝EF＝1，CA＝CB＝2，若AB→·AE→＋AC→·AF→＝2，则EF→与BC→的夹角等于________．图10－2专题十│要点热点探究π3【解析】因为△ABC中，CA＝CB＝2，AB＝1，所以cos∠CAB＝12·ABAC＝14，所以AC→·AB→＝12.又因为AB→·AE→＋AC→·AF→＝2，所以AB→·(AB→＋BE→)＋AC→·(AB→＋BF→)＝2，即1＋AB→·BE→＋AC→·AB→＋AC→·BF→＝2，所以AB→·BE→＋AC→·AB→＋AC→·BF→＝1.因为BE→＝－BF→，所以－AB→·BF→＋AC→·AB→＋AC→·BF→＝1，即BF→(AC→－AB→)＋AC→·AB→＝1，所以BF→·BC→＋AC→·AB→＝1，即BF→·BC→＝1－AC→·AB→＝12，所以cos〈BF→，BC→〉＝12，故〈BF→，BC→〉＝π3，即〈EF→，BC→〉＝π3.专题十│要点热点探究【点评】本题中△ABC为确定三角形，线段EF长度为定值，但位置不定，可以绕着点B旋转，所以以AC→，AB→为基底，先建立EF→，BC→与基底的关系，再进行计算．这类问题难在未知向量与基底向量之间的关系，比较难建立，本题中关键是利用条件AB→·AE→＋AC→·AF→＝2进行转化关系．本题也可以在B点处建立直角坐标系，用坐标进行研究．专题十│要点热点探究等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AD是BC边上的高，P为AD的中点，点M、N分别为AB边和AC边上的点，且M、N关于直线AD对称，当PM→·PN→＝－12时，AMMB＝________.专题十│要点热点探究3【解析】由等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AD是BC边上的高，P为AD的中点知，AD＝1，AP＝12.由PM→·PN→＝－12知(PA→＋AM→)·(PA→＋AN→)＝－12，即PA→2＋(AM→＋AN→)·PA→＋AM→·AN→＝－12.又M、N关于直线AD对称，得|AM→|×12×cos135°＋|AN→|×12×cos135°＝－34，故|AM→|＝324，所以AMMB＝3.专题十│要点热点探究►探究点三向量线性运算中的参数的范围向量线性运算中参数取值范围问题，关键是将所给向量的等式或图形条件，转化为参数的等式或不等式条件，从而根据所得条件，求出参数的取值范围．例3在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2＋y2＝1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC→＝λOA→＋μOB→，则λ2＋(μ－3)2的取值范围是________．图10－3专题十│要点热点探究(2，＋∞)【解析】记〈OA→，OB→〉＝θ，则由OC→＝λOA→＋μOB→得λ2＋2λμcosθ＋μ2＝1，从而由正实数λ，μ及|cosθ|1，得－11－λ2－μ22λμ1，所以λ＋μ1，且|λ－μ|1，作出如下图所示的可行域，则λ2＋(μ－3)2表示区域内任一点到点(0,3)的距离的平方，从而当点(0,3)到直线λ－μ＋1＝0的距离d为最小值．又d2＝2，所以λ2＋(μ－3)2的取值范围为(2，＋∞)．专题十│要点热点探究【点评】本题关键是根据已知条件，得到λ，μ的关系的几何条件，然后用几何方法求解λ2＋(μ－3)2的取值范围．本题的细节在于点C在劣弧AB上，A，B，C三点构成一个三角形，所以有λ＋μ1.专题十│要点热点探究如图10－4，设点P是三角形ABC内一点(不包括边界)，且AP→＝mAB→＋nAC→，m，n∈R，则m2＋(n－2)2的取值范围为________．图10－4专题十│要点热点探究(1,5)【解析】因为点P是三角形ABC内一点(不包括边界)，所以0m，n1,0m＋n1，根据线性规划的知识，作出如图阴影部分，m2＋(n－2)2表示点P(0,2)到阴影内点的距离的平方，显然到点A(0,1)的距离最近，为1，到点B(1,0)的距离最远，这时m2＋(n－2)2＝5，故所求取值范围为(1,5)．规律技巧提炼专题十│规律技巧提炼平面向量的线性运算除了常规加法、减法、数乘、数量积外，还有几个关键要素：(1)基底向量的建立；(2)未知向量与基底向量的关系；(3)向量条件的几何意义；(4)参数取值范围的几何解法．专题十│江苏真题剖析江苏真题剖析例[2011·江苏卷]已知e1，e2是夹角为23π的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．【分析】本题是以e1，e2为基底向量，构造了两个向量a，b，再根据向量的关系，求出参数值．向量的基底运算等同于向量的坐标运算，只有明确基底向量模和基底向量的数量积即可．【答案】54【解析】因为a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke21＋(1－2k)(e1·e2)－2e22，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－12，所以2k－12－2＝0，即k＝54.专题十│江苏真题剖析已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.专题十│江苏真题剖析3【解析】|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝1＋4－2×1×2×cos60°＝3.