2015年高二数学导数及其应用复习与小结

第三章导数及其应用复习小结本章知识结构导数导数概念导数运算导数应用函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线斜率基本初等函数求导导数的四则运算法则函数单调性研究函数的极值、最值最优化问题一.导数的定义和几何意义①函数的平均变化率函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:121)()fxxx2f(xxyOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y②函数的瞬时变化率xxfxxfxyxx)()(limlim0000导数)(0xf割线的斜率切线的斜率可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则三.导数的基本运算()()()()fxgxfxgx()()()()()()fxgxfxgxfxgx2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx例1:求下列函数的导数:322224(1)2312(2);(3);1(4)tan;(5)(23)1;1(6);(7);yxxyxxxyxyxyyxyxxxx答案:2(1)32;yx2221(3);(1)xyx21(4);cosyx326(5);1xxyx2314(2);yxx54(6);yx3(7);2yx题型一：导数公式及导数运算法则的应用练习：求下列函数的导数：(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(3)y＝x－1x＋1；(4)y＝x·tanx.解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′解：(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝5x4－9x2－10x.＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3解：(2)法二：∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，＝18x2－8x＋9.∴y′＝18x2－8x＋9.解：(3)法一：y′＝(x－1x＋1)′练习：求下列函数的导数：(3)y＝x－1x＋1；(4)y＝x·tanx.＝x－1′x＋1－x－1x＋1′x＋12解：(3)法二：∵y＝x－1x＋1＝x＋1－2x＋1＝x＋1－x－1x＋12＝2x＋12.∴y′＝(1－2x＋1)′＝1－2x＋1，＝－2′x＋1－2x＋1′x＋12＝(－2x＋1)′＝2x＋12.练习：求下列函数的导数：(3)y＝x－1x＋1；(4)y＝x·tanx.解：(4)y′＝(x·tanx)′＝(xsinxcosx)′＝xsinx′cosx－xsinxcosx′cos2x＝sinx＋xcosxcosx＋xsin2xcos2x＝sinxcosx＋xcos2x.练习：求下列函数的导数(1)y＝x(x2＋1x＋1x3)；(2)y＝exsinx；(3)y＝x＋3x2＋3.解：(1)∵y＝x(x2＋1x＋1x3)＝x3＋1＋1x2，解：(2)y′＝(exsinx)′＝(ex)′sinx＋ex(sinx)′∴y′＝3x2－2x3.解：(3)y′＝(x＋3x2＋3)′＝x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′x2＋32＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)．＝x2＋3－x＋3×2xx2＋32＝－x2－6x＋3x2＋32.aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0四、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)为增函数f(x)为减函数),(ba令,即2x－40,解得x2∴x∈(2,+∞)时，是增函数令2x－40,解得x2∴x∈(-∞,2)时，是减函数例2.确定函数f(x)=x2-4x-5在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？解:函数f(x)的定义域是(－∞,＋∞)'()24fxx'()0fx'()0fx)(xf)(xf利用导数讨论函数单调的步骤:(2)求导数y=f`(x)(3)解不等式组得f(x)的单调递增区间;解不等式组得f(x)的单调递减区间.(1)求y=f(x)的定义域D说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.Dxxf0)(Dxxf0)(练习题1．函数y=3x－x3的单调增区间是()(A)(0，+∞)(B)(－∞，－1)(C)(－1，1)(D)(1，+∞)C2．设f(x)=x＋(x0)，则f(x)的单调增区间是()(A)(－∞，－2)(B)(－2，0)(C)(－∞，－)(D)(－，0)2x22C3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是()(A)单调增函数(B)单调减函数(C)在(0,)上是减函数，在(,1)上是增函数(D)在(,1)上是减函数，在(0,)上是增函数1e1e1e1eC4．函数y=x2(x+3)的减区间是，增区间是.(－2，0)(－∞，－2)及(0，+∞)5．函数f(x)=cos2x的单调区间是.(kπ,kπ+),k∈Z2已知f/（x）是f（x）的导函数，f/（x）的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（）ABCD例4.D五、函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义，•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；oxyoxy0x0x◆函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点x0称为极值点求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况若f’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值；若f’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值+-x0-+x0求导—求极点—列表—求极值(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；六、最值与导数：注意:1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小值大.题型：求函数的最大值和最小值'21233,3fxxx解：1、求出所有导数为0的点；2、计算；3、比较确定最值。3()61233fxxx例1:求函数在，上的最大值与最小值.'0,22fxxx令解得：或(2)22(2)10(3)15,(3)3ffff又，，3()6123310.fxxx函数在，上的最大值为22，最小值为