初高中数学衔接知识总汇

1第一章数与式的运算1、1绝对值知识清单1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零，即(0)0(0)(0)aaaaaa2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。3.两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离。4.两个重要绝对值不等式：axaxaaxax＞或＜）＞（＞，＜＜）＞（＜0ax0aa问题导入：问题1：化简：（1）：12x（2):31xx问题2：解含有绝对值的方程（1）642x;（2）:5223x2问题3：至少用两种方法解不等式41＞x知识讲解例1：化简下列函数，并分别画出它们的图象：（1）xy;（2）32xy.例2：解不等式：431＞xx巩固拓展：1.（1）若等式aa,则成立的条件是----------（2）数轴上表示实数x1,x2的两点A,B之间的距离为--------2.已知数轴上的三点A,B,C分别表示有理数a，1，-1，那么1a表示（）A、A,B两点间的距离B、A,C两点间的距离3C、A,B两点到原点的距离之和D、A,C两点到原点的距离之和3.如果有理数x，y满足01212yxx，则22yx______4.化简：（1）3223xx;（2）31x5.已知x=-2是方程612mx的解，求m的值。6.已知a，b，c均为整数，且1acba,求:cbbaac的值方法指导学习本节知识，要充分领会绝对值的代数意义，从数和形两方面去研究，体会分类讨论与数形结合的两种数学思想方法。41、2二次根式与分式知识清单1.二次根式（1）二次根式的定义：形如a(a≥0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，a才有意义。（2）二次根式的性质：①)0(2aaa；②2a(0)0(0)(0)aaaaaa③baab（a≥0，b≥0）④0,0＞bababa（3）分母有理化：一般常见的互为有理化因式有如下几类:①aa与；②bbaa与；③bbaa与；④banmbnam与2.分式（1）分式的意义：形如BA的式子，若B中含有字母，且B≠0，则称BA为分式（2）分式的通分与约分：当M≠0时，MBMABAMBMABA,5问题导入问题1：化简：（1）102122＜＜xxx（2）3131问题2:（恒等式问题）若2245xBxAxxx恒成立，求常数A,B的值问题3：解分式方程（不等式）（1）13211142xxxxx（2）41231＞xx知识讲解例1：求值：（1）2a2-5ac+2c2=0,设e=ac且，e＞1，求e的值。（2）已知x,y是实数，且的值。求yxxxxy65,329922例2：分式裂项求和（1）试证明：是正整数）；其中nnnnn(111)1(1（2）计算：431321211……[phone]；6（3）证明;431321…+的正整数）；是大于（＜121)1(1nnn巩固拓展1.写出下列各式成立的条件：22aaaa___;aaa22_____2.比较23-32与的大小关系是：-------3.对任意正整数n,)2(1nn___211nn4.若等于则化简yyyx2xx4,0312_____5.若yxyxyx则,322___6.若2ab2222ababab则7.已知：-1a2,求11224422aaaaaa的值方法指导学习二次根式与分式要注意最后结果需保留最简二次根式与最简分式，还要注意使它们有意义的条件。71、3乘法公式知识清单1.平方差公式：22))((bababa2.立方差公式：3322))((babababa3.立方和公式：3322))((babababa4.完全平方公式：2222222,2)(babababababa5.三个数的完全平方公式：cabcabcbacba222)(22226.完全立方公式：322333223333.33)(babbaabababbaaba问题导入问题1：平方差公式下列各式：①)1)(1(aa；②)1)(1(aa；③)1)(1(aa；④)1)(1(aa能利用平方差公式计算的是问题2：完全平方公式若31aa，求2)1(aa的值问题3：立方和（差）公式设0422xx，求93x的值8知识讲解例1：计算：)1)(1)(1)(1(22xxxxxx例2：已知acabcabcba,4，求222cba的值巩固拓展1、)3121(419122abba（）2、若kmxx212是一个完全平方式，则k=3、已知2)(,8)(22nmnm，则22nm4、不论a，b为何实数，84222baba的值（）A、总是正数B、总是负数C、可以是零D、可以是正数也可以是负数5、若实数x，y，z满足(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，则下列式子一定成立的是（）A、x+y+z=0B、x+y-2z=09C、y+z-2x=0D、x+z-2y=06、化简：20172016)23()23(7、在ABC中，三边cba,,满足23,223222cbacba试探求ABC的形状方法指导学习乘法公式应注意掌握公式的结构特点以及公式中字母的广泛意义，还要注意掌握公式的逆向应用，特别是完全平方公式的运用就是配方，配方法是一种很重要的数学思想方法。101、4因式分解知识清单1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）2.因式分解的常用方法：提取公因式法：公式法（乘法公式、求根公式）；十字相乘法；分组分解法。问题导入问题1：提取公因式法分解因式：（1）2242abba（2）)5()5(2baba问题2：公式法分解因式（1）412xx（2）162a（3）142xx问题3：十字相乘法分解因式：（1）232xx（2）2762xx问题4：分组分解法分解因式：yxxyx33211知识讲解例1、把下列各式分解因式（1）22)()23(yxyx（2）22338baba例2：把下列各式分解因式：（1）byaxbayx222222（2）22)24(4xx四．巩固拓展1.在多项式中①x2+7x+6；②x2+4x+3；③x2+6x+8；④x2+7x+10；⑤x2+15x+44，有相同因式的是（）A、只有①②B、只有③④C、只有③⑤D、①和②；③和④；③和⑤2.若多项式x2-3x+a可分解为(x-5)(x-b)，则a、b的值分别是（）A、10,2B、10,-2C、-10,-2D、-10,23.多项式2x2-xy-15x2的一个因式是（）A、2x-5yB、x-3yC、x+3yD、x-5y4.把下列各式分解因式：（1）523623913xbaxab（2）zyxzyxm)(12（3）3132x（4）338ba（5）3762xx（6）12xx（7）913424xx（8）1222baba5、已知：052422baba，求abaabba4)(2的值方法指导因式分解要先看各项有没有公因式，若有公因式，则先提取公因式；再看能否使用公因式法；对于二次三项式的多项式，可考虑应用十字相乘法；对于四项或四项以上的多项式，要考虑分组分解法；若以上方法均感到困难，可考虑用配方法、换元法、拆项法、添项法和待定系数法等其它多种分解因式的方法。因式分解还应注意分解要彻底。13第二章一元二次方程与二次函数2、1一元二次方程知识清单1、一元二次方程式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0），其中，ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a、b是常数。其中a≠0是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次是二次。2、一元二次方程最常规的解法是公式法，其次有因式分解和配方等方法。3、能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫作这个方程的根）。问题导入一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根的情况可以由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根的判别式，通常用“△”来表示，那么△同一元二次方程的根之间究竟有何关系？知识讲解14例1：用适当的方法解方程：（1）2（x+2）2-8=0（2）x(x-3)=x（3）3x2=6x-3（4）(x+3)2+3(x+3）-4=0例2：判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。（1）x2-3x+3=0；（2）x2-ax-1=0例3：解下列关于x的方程：（1）x2-ax+(a-1)=0;（2）x2-2x+a=0巩固扩展1.选择题：（1）方程x2-23kx+3k2=0的根的情况是（）A.有一个实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根（2）若关于x的方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根，则15实数m的取值范围是（）A.m＜41B、m＞-41C、m＜41，且m0D、m＞41，且m02.填空：（1）若a为方程x2+x-5=0的解，则a2+a+1的值为_____。（2）方程mx2+x-2m=0(m0)的根的情况是_____。3.试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2-（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4.用适当的方法解下列一元二次方程；(1)x2-5x+1=0；（2）3(x-2)2=x(x-2)；（3）2x2-22x-5=0；（4）（y+2）2=（3y-1）2方法指导1.要特别注意的是，只要所给的方程有实数根，其根的判别式首先应大于零。162.应重视因式分解和配方在解一元二次方程中的作用。2、2一元二次方程根与系数的关系知识清单对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0），有:（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根x1,2=aacbb242；（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=－ab2；(3)当△＜0时，方程没有实数根。问题导入问题：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数之间有何关系？知识讲解例1：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根。但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值。17例2：已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大于21，求m的值。分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值，但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根。因此，其根的判别式应大于零。例3.若x1,x2是方程x2+2x-2007=0的两个根，试求下列各式的值：（1）21x＋22x；（2）11x＋21x；（3）(x1-5)(x2-5)；（4）21xx.分析;本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算。这里可以利用韦达定理来解答。18例4：求证：若x1和x2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0），