第4章无穷级数3-7(函数项级数-幂级数收敛半径)

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A4.3.1函数项级数4.3.2幂级数及其收敛半径4.3幂级数第4章无穷级数4.3幂级数4.3.1函数项级数函数项级数的定义收敛点与收敛域和函数4.3.2幂级数及其收敛性幂级数的定义阿贝尔(Abel)定理收敛半径与收敛域标准幂级数收敛半径的求法标准幂级数收敛域的求法习例1一般幂级数收敛域的求法一般幂级数收敛域的求法习例2-3内容小结与思考注解演练例题幂级数一、函数项级数1.定义设),(,),(),(21xuxuxun是定义在RI上的函数,则)()()()(211xuxuxuxunnn称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数.,120xxxnn例如级数.)()(1项的部分和为前nxuxsniin2.收敛点与收敛域如果Ix0,数项级数10)(nnxu收敛,则称0x为级数)(1xunn的收敛点,所有发散点的全体称为发散域.函数项级数)(1xunn的所有收敛点的全体称为收敛域,)()(limxsxsnn函数项级数的部分和余项)()()(xsxsxrnn(x在收敛域上)0)(limxrnn注意:3.和函数)()()()(21xuxuxuxsn在收敛域上,函数项级数的和是x的函数)(xs,称)(xs为函数项级数的和函数.(定义域是?)),(xsn(1)函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.函数项级数的和函数的定义域是该1)()2(nnxu的收敛域.例如,等比级数它的收敛域是,1[]1,(），及它的发散域是或写作.1x又如,级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数二、幂级数及其收敛性1.定义.)()()(001000数的一般形式的函数项级数称为幂级形如nnnnnxxaxxaaxxa.100数的标准形式的函数项级数称为幂级形如nnnnnxaxaaxa)1()2(,0的标准形式化为则可将令xxX000)(nnnnnnXaxxa注1因经变换后,幂级数(1)与(2)可相互转化,故下面主要讨论形式(1)的幂级数.010(1)nnnnnaxaaxax001000()()()(2)nnnnnaxxaaxxaxx类似地，有幂级数的收敛域，和函数的定义。例1.0的敛散性讨论nnx解)1(111)(12xxxxxxxsnnn,11)(lim,1xxsxnn时当.)(lim,1不存在时当xsxnn.1,1,110时当发散时当收敛于xxxxnn2.阿贝尔(Abel)定理(1)如果级数0nnnxa在)0(00xxx处收敛,则它在满足不等式0xx的一切x处绝对收敛;(2)如果级数0nnnxa在0xx处发散,则它在满足不等式0xx的一切x处发散.证,0lim0nnnxa,)1(00收敛nnnxa),2,1,0(0nMxann使得,Mnnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0,10时当xx,00收敛等比级数nnxxM,0收敛nnnxa;0收敛绝对即级数nnnxa(2)反设有一点1x适合01xx使级数收敛,由结论(1),则级数当0xx时应收敛,.0相矛盾时发散与已知xx注意:Abel定理对标准幂级数给出.?4,1)2(:0处在收敛处在问xxxannnxoRR几何说明收敛区域发散区域发散区域如果幂级数0nnnxa不是仅在0x一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:当Rx时,幂级数绝对收敛;当Rx时,幂级数发散;当RxRx与时,幂级数可能收敛也可能发散.推论3.收敛半径与收敛域、收敛区间定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛区间是开区间,0R规定,R收敛域为{0};收敛域),(.问题如何求幂级数的收敛半径?),,(RR(1)幂级数只在0x处收敛,(2)幂级数对一切x都收敛,幂级数的收敛域包括幂级数的收敛区间及端点情况.),,[RR],,(RR].,[RR),,(RR如果幂级数0nnnxa的所有系数0na,设nnnaa1lim则(1)当0时,1R;(3)当时,0R.(2)当0时,R;4.标准幂级数收敛半径、收敛域的求法定理2证)0(lim)1(1nnnaa若xxaauunnnnnn11limlim则则比值审敛法得：;,110绝对收敛时即当nnnxaxx;,110发散时即当nnnxaxx.,110可能收敛可能发散时即当nnnxaxx.1R,0lim)2(1nnnaa若0limlim11xxaauunnnnnn则1.,0绝对收敛对一切nnnxax.R,lim)3(1nnnaa若)0(limlim11xxaauunnnnnn则,0limnnu则.0发散故nnnxa.0R定理证毕.:0步骤的收敛半径与收敛域的求nnnxa;lim)1(1nnnaa计算;1)2(R的值得由).,(],(),[],[)3(0RRRRRRRRxaRxnnn或或或敛域的敛散性得收时由数项级数判定例2求下列幂级数的收敛半径和收敛域211nnxn（）标准幂级数收敛域的求法习例1(1)622nnnnnx（）13()nnnx（）1(4)!nnxn解,1)1(limlim221nnaannnn.1R收敛半径,1,112nnx原幂级数成为时当收敛.,)1(,112nnnx原幂级数成为时当绝对收敛.].1,1[收敛域为211nnxn（）解nnnnnnnnnnaa6)1(226)1(limlim1111,36161)61(121)61(lim1nnn.31R],1)61[(,311nnx原幂级数成为时当发散.],)1()61[(,311nnnx原幂级数成为时当发散.).31,31(收敛域为1(1)622nnnnnx（）13()nnnx（）解nnnaa1limnnnnn1)1(limnnnn)11)(1(lim,级数只在0x处收敛.=0,R1(4)!nnxn解,Rnnnaa1lim11limnn,0收敛域),(.5.一般幂级数收敛域的求法.)(00有两种方法求其收敛域对于nnnxxa方法1.;,)1(00nnnyayxx得令(2)由标准幂级数收敛域的求法可得：;,的情况同时讨论RyRy.,,)3(0的区域即为满足的不等式求得再由xxxxy方法2.(用比值法讨论),)()(lim)1(00101xxxxaxxannnnn计算;)(,11)2(0000绝对收敛时即当nnnxxaxxxx;)(,110000发散时即当nnnxxaxxxx.)(,1000的敛散性可得所求时再讨论nnnxxaxx例3.2)1(1的收敛域求nnnnx例4求幂级数1122nnnx的收敛域.一般幂级数收敛域的求法习例例3.2)1(1的收敛域求nnnnx解方法一,2,10nnnnyyx得令,21)1(22limlim11nnaannnnnn.2R,1,21发散可得时当nny.)1(,21收敛可得时当nnny,22y212x从而31x).3,1[收敛域为方法二由比值法得，,21)1(2)1(2)1(limlim111xxnnxuunnnnnnnn;,31121原幂级数绝对收敛时即当xx;,31121原幂级数发散时或即当xxx,,1,31发散原幂级数成为时当nnx.,)1(,11收敛原幂级数成为时当nnnx).3,1[收敛域为注意:.,)1(201202或用比值法讨论可令的收敛域时或求yxxaxannnnnn.1,)2(0或用比值法讨论可令的收敛域时求yxxannn(3)求一般函数项级数的收敛域时,可直接用比值法讨论.例4求幂级数1122nnnx的收敛域.解3523222xxx级数为缺少偶次幂的项,应用比值判别法)()(lim1xuxunnnnnnnnxx22lim12112,212x级数绝对收敛,,1212x当,2时即x,1212x当,2时即x级数发散,,2时当x,211n级数为,2时当x,211n级数为级数发散,级数发散,原级数的收敛域为).2,2(注解我们所说的“求幂级数的收敛半径及收敛区域”都是010nnnnnaxaaxax2210000(),,nnnnnnnnnaxxaxax如对标准幂级数而言的;但形非标准幂级数,下步骤求收敛半径和收敛区域:直接用上述方法求收敛半径和收敛区间,却不能而只能是采用如第一步:用变量代换把它们化为标准幂级数0;nnnax如令变量代换20,.txxtx或第二步:求变换后的新的标准幂级数的收敛半径及收敛区间;第三步:将新的标准幂级数的收敛半径和收敛端点回代到变量代换中去,求出原级数的收敛区域.或用达朗贝尔判断方法去判断。演练例题求下列幂级数的收敛半径及收敛域:1111(1)(21)(2)()2nnnnxxnn11nn1(1)nnn例求下列幂级数的收敛半径及收敛域:1111(1)(21)(2)()2nnnnxxnn(1)21,xt令则原级数变为1nntn11limlim1nnnnanRan因则此幂级数的收敛区间为(-1,1).而当t=-1时,级数收敛;而当t=1时,级数发散.故当-1≤2x+11时,即-1≤x0时,级数收敛.11(21)nnxn解1.2R即原级数收敛域为[-1,0),收敛半径为(2),2xt解令1R而则原级数变为1nntn由(1)知,则此幂级数的收敛区间为[-1,1).11,222xx故即时,原幂级数收敛.即原级数收敛区间为[-2,2),11(2)()2nnxn收敛半径为R=2.内容小结与思考求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,也可通过换元化为标准型再求.思考：幂级数收敛域和收敛区间的区别？请同学们求下列幂级数的收敛域:2111()(1)(0)(2)(3)nnxnnxnnnnxnxnexn2112()(1)1:(1).limlim()nnnnnnuxnxuxxxn提示1(2)lim()limnnnxxnnnuxee()()(3)limlimlim(1)1nnxnnnnnxuxnxxennn