您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 企业文化 > 第2章 优化设计理论基础概述
第2章优化设计的理论基础概述福建农林大学机电工程学院机械工程系12.1向量的若干概念2.2.1向量的表示方法(1)坐标表示式表示方法[]Txxxx2121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=p22.1向量的若干概念2.2.1向量的表示方法(1)坐标表示式表示方法推广到n维即P∈Rn时:Tnnxxxxxx],,,[2121#=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p32.1.1向量的表示方法(2)“单位向量——模”表示法1)向量的模op的长度:2221xx+=Pα==∑=niix12P推广到n维(表示向量大小的标量)42.1.1向量的表示方法(2)“单位向量——模”表示法2)向量的方向余弦与单位向量P的方向:cosβ1=x1/op=x1/‖P‖cosβ2=x2/op=x2/‖P‖向量p的方向余弦:cosβi=xi/‖p‖设向量:e=[cosβ1cosβ2]T=[x1/‖P‖x2/‖P‖]T=P/‖P‖‖e‖=‖P‖/‖P‖=1模为1的向量称为单位向量52.1.1向量的表示方法(3)表示的向量方法p=‖P‖/‖P‖․p=‖P‖․p/‖P‖∵e=P/‖P‖∴P=‖P‖e——向量的“单位向量—模”表示法‖P‖--向量P的模(大小)e--向量P的单位向量—由方向余弦组成表示向量P的方向用于表示起点不定的向量(自由向量)62.1.2向量运算(1)向量的和---对应分量相加1)设以原点起点的向量:X(1)=[x1(1),x2(1)]T,X(2)=[x1(2),x2(2)]TX(3)=X(1)+X(2)=[x1(1)+x1(2),x2(1)+x2(2)]T72.1.2向量运算(1)向量的和---对应分量相加2)设以原点起点的向量和自由向量:X(1)=[x1(1),x2(1)]T,X(2)=αSS=[cosβ1,cosβ2]T=[s1,s2]TX(3)=X(1)+X(2)=[x1(1)+αs1,x2(1)+αs2]T82.1.2向量运算(2)向量的差--对应分量相减(3)向量的点积设向量X=[x1,…,xn]TY=[y1,…,yn]Tθ为两向量的夹角。∑===•niiiyx1cosθYXYX定义:为向量X、Y的点积92.2目标函数的性态分析基础2.2.1目标函数的等值线(面)用某一平面f(X)=C1来横截这一曲面将二者的交线投影到设计平面x1ox2上等值线就是使f(x1,x2)保持为某一定值时的设计变量X的取值域概念1:概念2:n=3称为等值面,n3时,称为等值超曲面。统称等值面102.2.1目标函数的等值线(面)等值线(面)的几个性质(1)数值不相同的等值线(面)不相交;(2)若目标函数连续,则等值线(面)不中断;(3)常数C1、C2、C3、…的间隔相同时,等值线(面)愈密,目标函数值的变化愈大112.2.1目标函数的等值线(等值线(面)的几个性质)(4)对于二元二次函数:f(X)=ax12+2bx1·x2+cx22+…,当a0,c0和ac-b20时,f(X)为椭圆抛物面,等值线为一族同心椭圆曲线122.2.1目标函数的等值线(等值线(面)的几个性质)(5)数学上可以证明,,对于一般二元函数f(X),在极值点附近,等值线近似为椭圆族13目标函数的等值线的应用142212111222123142min()44s.t.()20()10()0()0fxxxgxxgxxgxgx=+−+=−+−≤=−+≤=−≤=−≤xxxxx例:目标函数的等值线的应用无约束最优解:X=[2,0]T约束最优解:g2(X)=0与某一等值线的切点X*=[0.58,1.34]T15()(){}122122122122min21.5050,0xxstxxxxxxx⎧−+−⎪⎪+−=⎨+−≥⎪⎪≥⎩z解:①先画出等式约束曲线的图形。这是一条抛物线,如图052221=−+xxx例:例:z②再画出不等式约束区域,如图(选定哪侧区域)z③最后画出目标函数等值线,特别注意可行集边界点,x1x2%%%%⊥1⊥2⊥3⊥4⊥5⊥6135ABCD162122125050xxxxx⎧+−=⎨+−=⎩(41)TX∗=,()4fX∗=z得出:17x1x2%%%%⊥1⊥2⊥3⊥4⊥5⊥6135ABCD2.2.2目标函数的最速下降方向(1)目标函数的梯度▽f(X)目标函数f(X)对各个设计变量的偏导数所组成的列向量Tnnxfxfxfxfxfxff⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∇)(,,)(,)()()()()(2121XXXXXXX#18几种特殊向量函数的梯度计算式①函数f(X)=BTX的梯度▽f(X)=B②函数f(X)=XTX的梯度▽f(X)=2X③函数f(X)=XTAX的梯度▽f(X)=2AX⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nnnnaaaaaaaaa###212n22211n1211A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nxxx#21X⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nbbb#21B19(2)目标函数的方向导数函数f(X)在已知点X(k)上沿方向S的导数为:22)(11)()(cos)(cos)()(ββxfxffkkk∂∂+∂∂=∂∂XXSX意义:函数在已知点上沿某一方向的变化率推广到n维则有:nnkiikkkxfxfxffβββcos)(cos)(cos)()()()(11)()(∂∂++∂∂++∂∂=∂∂XXXSX式中:βi为S与xi轴的夹角20方向导数的向量表达式根据矩阵相乘原理和向量点积的定义nnkiikkkxfxfxffβββcos)(cos)(cos)()()()(11)()(∂∂++∂∂++∂∂=∂∂XXXSX[]Tnnkkxfxfββcos,,cos)(,,)(1)(1)(•⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=XX[])),(cos()()()()()(SXSXSXkkTkfff∇∇=•∇=)),(cos()()()()()(SXXSXkkkfff∇∇=∂∂21(3)目标函数的最速下降方向分析方向导数的向量表达式:)),(cos()()()()()(SXXSXkkkfff∇∇=∂∂1)),(cos(1)(≤∇≤−SXkf因为所以可得:①目标函数的梯度方向,是函数值增长最快的方向。当S方向与梯度方向一致时,cos(▽f(X(k)),S)=1,方向导数有最大值。当S取梯度的反方向即负梯度方向时,cos(▽f(X(k)),S)=-1,方向导数有最小值。②函数在X(k)点上,沿着-▽f(X(k))的方向,其函数值下降最快。称负梯度[-▽f(X(k))]方向,为目标函数f(X),在X(k)点上的最速下降方向。22梯度的几点性质-▽f(X(k))是函数在X(k)点的最速下降方向23Ox2x1x0变化率为零的方向最速下降方向下降方向上升方向最速上升方向-∇f(x0)∇f(x0)梯度的几点性质-▽f(X(k))是函数在X(k)点的最速下降方向局部性质24由于梯度的模因点而异,即函数在不同点处的最大变化率是不同的。因此,梯度是函数的一种局部性质。)),(cos()()()()()(SXXSXkkkfff∇∇=∂∂梯度的几点性质-▽f(X(k))是函数在X(k)点的最速下降方向局部性质任一点X(k)处的梯度一定垂直于过X(k)点的等值线的切线25例例:试求目标函数在点处的最速下降方向,并求沿这个方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。()2221212143,xxxxxxf+−=[]00,1TX=()()12121264,42fXfXxxxxxx∂∂=−=−+∂∂()()()121211200121021644422xxxxfXxxxPfXxxfXx====∂⎡⎤−⎢⎥∂−++⎡⎤⎡⎤⎢⎥=−∇===⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−∂⎣⎦⎣⎦−⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦[]00,1TX=则函数在处的最速下降方向是•新点是这个方向上的单位向量是:解:由于10225505511151555XXe⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()00224252514255fXefX+⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥−∇−⎣⎦===⎢⎥−∇⎢⎥++−−⎢⎥⎣⎦2.2.3多元函数的泰勒近似式设多元函数f(X)在X(k)点至少有二阶连续的偏导数,在X(k)的足够小的邻域内将f(X)展成泰勒近似式,并且只取前二次项,可得:函数f(x)满足一定条件时,可应用泰勒公式,在某一给定点x(k)的足够小的邻域内,用一多项式来近似f(x)∑∑==ΔΔ∂∂∂+Δ∂∂+≈ninjijijikiikkxxxxfxxfff11,)(2)()()(21)()()(XXXX式中:njixxxxxxkjjjkiii,,1,),(),()()(=−=Δ−=Δ在表达式右侧中,除ΔxiΔxj项外,其余各项为函数在点X(k)处的函数值或一阶、二阶偏导数,xi的最高次幂为2,这表明f(X)在X(k)点附近,可用一个二次函数来近似。28泰勒近似式的向量矩阵表达式称H(X(k))为海赛矩阵)()(2)(21)(2)(2)(21)(21)(21)(211)(2)(,)(,,)(,,)()(,,)(,,)()(,,)(,,)()(knnkinknknikjikiknkjkkkxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfxxfXXXXXXXXXXXXXH−=Δ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=#令:f(X)≈f(X(k))+[▽f(X(k))]T△X+1/2△XTH(X(k))△X(为对称矩阵)29(1)12(1)2660120()06600xfx+⎡⎤⎡⎤∇==⎢⎥⎢⎥−+⎣⎦⎣⎦xx例题:(1)()3f=−x(1)211(1)2220369()336xxfxx+−⎡⎤⎡⎤∇==⎢⎥⎢⎥−+⎣⎦⎣⎦xx332212121()339fxxxxx=−++−xz用泰勒展开将函数(1)[1,1]T=x在点简化成线性函数与二次函数。(1)x解:函数在点的函数值、梯度和二阶导数矩阵:11(1)221111xxxx−⎡⎤⎡⎤⎡⎤−=−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦xxz简化的线性函数(1)(1)(1)22()()()[]33(1)36Tfffxx≈+∇−=−+−=−xxxxxz简化的二次函数(1)(1)(1)(1)2(1)(1)1()()()[][]()[]2TTfffxf≈+∇−+−∇−xxxxxxxxx2212112366(1)6123xxxxx=−+−=−+在n元函数中,除了线形函数:§§2.32.3.4.4二次函数及正定矩阵二次函数及正定矩阵()cxaxxxfniiin+=∑=121⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nTaaaa#21外,最简单最重要的一类就是二次函数。或f(X)=aX+c()cxbxxgxxxfniiininjjiijn++=∑∑∑===1112121,,其中均为常数。jiijgg=若,X≠0,均有>0,则称矩阵Q是正定正定的。nXR∀∈TXQX在代数学中将特殊的二次函数称为二次型二次型。对于二次函数,我们更关心的是Q为正定矩阵的情形。()12TfXXQX=()12TTfXXQXbXc=++若,且X≠0,均有<0,则称Q是负定的。若,且X≠0,均有<0,则称Q是负定的。nXR∀∈TXQX定义:设Q为n×n对称矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛nbbb#21其向量矩阵表示形式是:二次函数的一般形式为:cbgiij,,⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛nnnnnnggggggggg###212222111211其中Q=b=Q为对称矩阵660=660=633032−=−633032−=−631320100104−−=631320100104−−=解:对称矩阵Q的三个主子式依次为:⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−401023136⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−401023136例:判定矩阵Q=是否正定一个一个nn××nn对称矩阵对称矩阵QQ是是正定矩阵正定
本文标题:第2章 优化设计理论基础概述
链接地址:https://www.777doc.com/doc-4484449 .html