充要条件习题课讲解

1.2.第2课时充要条件习题课一、选择题1．若非空集合A、B、C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则()A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件，也不是“x∈A”的必要条件[答案]B[解析]∵非空集合A、B、C满足A∪B＝C，且B⃘A，∴由x∈A⇒x∈A∪B⇒x∈C.由x∈C⇒x∈A∪B⇒x∈A或x∈B.∵BA，∴不一定有x∈A，∴选B.2．(2010·广东文，8)“x＞0”是“3x2＞0”成立的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件[答案]A[解析]本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x0显然能推出3x20，而3x20⇔|x|0⇔x≠0，不能推出x0，故选A.3．“m＝12”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直”的()A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析](m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，即(m＋2)(4m－2)＝0.∴m＝－2，或m＝12.故为充分不必要条件．4．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是()A．α，β都平行于直线l，mB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β[答案]D[解析]A、C中l与m可能平行，B中三点位于两平面交线的两侧时，如图．AB∥l，α∩β＝l，A与C到l的距离相等时，A、B、C到β的距离相等．5．下列命题中的真命题有()①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC中，AB→·BC→0是△ABC为钝角三角形的充要条件；③2b＝a＋c是数列a、b、c为等差数列的充要条件；④△ABC中，tanAtanB1是△ABC为锐角三角形的充要条件．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]两直线平行不一定有斜率，①假．由AB→·BC→0只能说明∠ABC为锐角，当△ABC为钝角三角形时，AB→·BC→的符号也不能确定，因为A、B、C哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tanAtanB1，知A、B为锐角，∴sinAsinBcosAcosB，∴cos(A＋B)0，即cosC0.∴角C为锐角，∴△ABC为锐角三角形．反之若△ABC为锐角三角形，则A＋Bπ2，∴cos(A＋B)0，∴cosAcosBsinAsinB，∵cosA0，cosB0，∴tanAtanB1，故④真．6．“a＋cb＋d”是“ab且cd”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]如a＝1，c＝3，b＝2，d＝1时，a＋cb＋d，但ab，故由“a＋cb＋d”⇒/“ab且cd”，由不等式的性质可知，ab且cd，则a＋cb＋d，∴“a＋cb＋d”是“ab且cd”的必要不充分条件．7．“x0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]x0，则x≠0；反之，x≠0，不一定x0.故选A.8．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]“α＝π6＋2kπ”(k∈Z)⇒“cos2α＝12”“cos2α＝12”“α＝π6＋2kπ”(k∈Z)因为α还可以等于2kπ－π6(k∈Z)，∴选A.9．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍”；条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]注意当直线经过原点时，两个截距均为零，斜率值可以任意．[点评]涉及直线在两轴上截距成倍数关系的题目，莫漏掉过原点的情形．10．(09·浙江理)已知a，b是实数，则“a0且b0”是“a＋b0且ab0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]当a0且b0时，a＋b0且ab0；当ab0时，a，b同号，又a＋b0，∴a0，且b0.故选C.二、填空题11．平面向量a、b都是非零向量，a·b0是a与b夹角为钝角的________条件．[答案]必要不充分[解析]若a与b夹角为钝角，则a·b0，反之a·b0时，如果a与b方向相反，则a与b夹角不是钝角．12．已知三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不成三角形的充要条件是k∈集合________．[答案]{－5,5，－10}[解析]①l1∥l3时，k＝5；②l2∥l3时，k＝－5；③l1、l2、l3相交于同一点时，k＝－10.13．函数f(x)的定义域为I，p：“对任意x∈I，都有f(x)≤M”．q：“M为函数f(x)的最大值”，则p是q的________条件．[答案]必要不充分[解析]只有当(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M，(2)存在x0∈I，使f(x0)＝M，同时成立时，M才是f(x)的最大值，故p⇒/q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．14．k4，b5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的____________条件．[答案]充要[解析]∵k4时，k－40，b5时，b－50，∴直线y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴；y＝(k－4)x＋(b－5)与y轴交于(0，b－5)与x轴交于5－bk－4，0，由交y轴于负半轴，交x轴于正半轴可知b－505－bk－40，∴b5k4三、解答题15．已知命题p：|x－8|≤2，q：x－1x＋10，r：x2－3ax＋2a20(a0)．若命题r是命题p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，试求a的取值范围．[解析]命题p即：6≤x≤10；命题q即：x1；命题r即：ax2a.若记以上3个命题中x的取值构成的集合分别为A，B，C，由于r是p的必要不充分条件，r是q的充分不必要条件，所以有ACB，结合数轴应有1≤a≤6，2a≥10，即a的取值范围是5≤a≤6.16．设x、y为实数，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充分且必要条件是xy≥0.[证明]充分性：∵xy≥0若x＝0或y＝0，|x＋y|＝|x|＋|y|显然成立．若xy0，则x、y同号．当x0，y0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y∴|x＋y|＝|x|＋|y|若x0，y0时，|x＋y|＝－x－y，|x|＋|y|＝－x－y∴|x＋y|＝|x|＋|y|∴综上所述，知xy≥0⇒|x＋y|＝|x|＋|y|必要性：∵|x＋y|＝|x|＋|y|，两边平方得x2＋y2＋2xy＝x2＋y2＋2|xy|∴xy＝|xy|，∴xy≥0∴|x＋y|＝|x|＋|y|⇒xy≥0∴xy≥0是|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．17．方程y＝a|x|与y＝x＋a(a0)所确定的曲线有两个交点的充要条件是什么？[解析]解法一：依题意有y＝a|x|y＝x＋a，即a|x|＝x＋a，当x0时，x＝aa－10，解得a1或a0(舍)；当x0时，x＝－aa＋10，解得a0或a－1(舍)．∴两曲线y＝a|x|和y＝x＋a(a0)有两个交点的充要条件是a1.解法二：如图所示，数形结合可知a1成立．18．设α、β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析a2且b1是两根α、β均大于1的什么条件？[分析]把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件p与结论q分别指什么，然后再验证p⇒q还是q⇒p，还是p⇔q.[解析]根据韦达定理得a＝α＋β，b＝αβ，判定的条件是p：a2b1，结论是q：α1，β1.(还要注意条件中需要满足大前提Δ＝a2－4b≥0)(1)由α1β1，得a＝α＋β2，b＝αβ1，∴q⇒p.(2)为了说明p⇒/q，可以举出反例：取α＝4，β＝12，它满足a＝α＋β＝4＋122，b＝α·β＝4×12＝21，且满足Δ0，但q不成立．由上述讨论可知：a2且b1是α1，β1的必要但不充分条件．