吴赣昌编-概率论与数理统计-第4章(new)

第四章随机变量的数字特征、极限定理数学期望方差协方差和相关系数大数定律与中心极限定理设彩票箱中有四张奖券，2张0元，1张1元，1张2元。请你去摸奖，问奖券的平均价值是多少？X012p2/41/41/4平均价值(0×2+1×1+2×1)/4=0×2/4+1×1/4+2×1/4=0.75（期望值）4.1数学期望一、离散型随机变量的数学期望例4.1甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击中命中环数与次数记录如下：环数8910次数301060环数8910次数205030甲乙试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？甲平均射中的环数为：乙平均射中的环数为：(8×30+9×10+10×60)÷100=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3(环)(8×20+9×50+10×30)÷100=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(环)因此从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。在例4.1中，30/100=0.3、10/100=0.1、60/100=0.6等，是事件(X=k)在100次试验中发生的频率(X为命中的环数)，当射击次数相当大时，这个频率接近于事件(X=k)在一次试验中发生的概率pk。上述平均环数的计算可表示为我们称之为随机变量X的数学期望，或均值。108kkkp数学期望——描述随机变量取值的平均特征定义4.1设X是离散型随机变量，其分布律为X~P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n，…如果级数1iiipx绝对收敛，并称级数1iiipx的和为随机变量X的数学期望，记作则称X的数学期望存在，E(X)，即1)(iiipxXE则称随机变量X的数学期望不存在。1iiipx不绝对收敛，例如，设离散型随机变量X的分布律为X-2-1012Pk1/162/163/162/168/1687168216211630162)1(161)2()(XE则X的数学期望为例4.2掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。2761)(61iiXE解X的分布律为X123456Pk1/61/61/61/61/61/6例4.3从一个装有m个白球和n个红球的袋中取球，直到取到白球为止。若每次取出的球仍放回袋中，试求取到红球的次数的数学期望。解设取到红球的次数为X，则X的分布律为)()()(nmmnmnkXPkk=0,1,2,…qpknmnpnmmq其中0)(kkqkpXEqpppppqppqp1)1()1(2mn11kkpqkp)(1kkpqp例4.4设X取kxkkk2)1((k=1,2,…)对应的概率为kxkp21，证明E(X)不存在。证明021kxkp12111kkkxkp且1111212kkkkkxkkkpxk但级数发散所以E(X)不存在，但级数2ln)1(212)1(111kkkkkkkxkkkpxk(交错级数满足Leibniz条件)(收敛)要注意数学期望的条件：“绝对收敛”。定义4.2设X是连续型随机变量，概率密度函数为f(x),.)()(dxxxfXE二、连续型随机变量的数学期望若积分dxxxf)(绝对收敛，则称X的数学期望存在，且称积分为随机变量X的数学期望，记为E(X)dxxxf)(即数学期望简称期望或均值。例4.5设有5个相互独立的元件，其寿命服从参数为θ0的指数分布，其概率密度为0001)(xxexfx(1)若将5个元件组成一个串联系统，求该系统的平均寿命；(2)若将5个元件组成一个并联系统，求该系统的平均寿命；解(1)设Xk表示第k个元件的寿命，k=1,2,3,4,5，则X1,X2,X3,X4,X5相互独立，且Xk~f(x)，同分布。记Y为串联系统的寿命，则Y=min(X1,X2,X3,X4,X5)，分布函数为5510()11()00yYXeyFyFyy密度函数为0005)()(5yyeyFdydyfyYY所以数学期望为dyyfyYEY)()(0555dyeyy(2)记Z为并联系统的寿命，则Z=max(X1,X2,X3,X4,X5)，Z的分布函数为000)1()()(55zzezFzFzXZ密度函数为45(1)0()()00zzZXdeezfzFzdzz所以数学期望为dzzfzZEZ)()(60137405(1)zzzeedz从本例可知：同样5个组件，并联系统的平均寿命是串联系统的平均寿命11.4倍。三、随机变量函数的数学期望定理4.1设随机变量Y是随机变量X的函数，Y=g(X)(g(•)为连续函数)(1)设X为离散型随机变量，其分布律P(X=xi)=pi,i=1,2,…若级数1)(iiipxg绝对收敛，则Y的数学期望存在，且1)())(()(iiipxgXgEYE(2)设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，dxxfxg)()(若积分绝对收敛，则Y的数学期望存在，且dxxfxgXgEYE)()())(()(此定理说明，在求随机变量X的函数Y=g(X)的期望时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布即可。推广：设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，g(•,•)是连续函数。(1)设(X,Y)是离散型随机变量，分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…则当绝对收敛时，Z的数学期望存在，且11(,)ijijijgxyp11),()),(()(ijijjipyxgYXgEZE(2)设(X,Y)是连续型随机变量，概率密度为f(x,y)，则当dxdyyxfyxg),(),(绝对收敛时，Z的数学期望存在，且dxdyyxfyxgYXgEZE),(),()),(()(例4.7设随机变量X~B(n,p)，XeY2求E(Y)解X~B(n,p)，分布律为nkqpCkXPknkkn,2,1,0,)(nkknkknkXqpCeeEYE022)()(nkknkknqpeC02)(nqpe)(2其中p+q=1例4.8设二维随机变量(X,Y)具有概率密度设Z=XY，试求Z的数学期望。解21501(,)0xyxyfxy其它dxdyyxfxyXYEZE),()()(2815151002dyydxxxyyO1xy1y=x例4.9设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(单位吨)，它服从[2000,4000]上的均匀分布。若售出这种商品1吨，可赚3万元，但若销售不出去，则每吨需付仓储费1万元，问该组织多少吨货源才可使平均收益最大？解由题意可知X的密度函数为其它04000200020001)(xxf设每年组织货源t吨，(2000≤t≤4000)，则收益tXXtXtXtXgY)(33)(tXtXtXt43dxxfxgXgEYE)()())(()(4000200020001)(dxxgtttdxdxtx200040003)4(20001)1047000(2000162tt可知y=3500时，E(Y)取到最大值，故组织3500吨此商品才可使平均收益最大。1、设C是常数，则E(C)=C;证将C看成是离散型随机变量，分布律P(X=C)=1，则E(C)=C2、设C是常数，X为随机变量，则E(CX)=CE(X);证设X的密度函数为f(x)，则四.数学期望的性质dxxCxfCXE)()()()(XCEdxxxfC3、设X,Y为任意两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y);证设(X,Y)~f(x,y)，边缘密度函数为fX(x)，fY(y)dxdyyxfyxYXE),()()(dxdyyxxf),(dxdyyxyf),(dxdyyxfx),(dydxyxfy),(dxxxfX)(dyyyfY)()()(YEXE推广：Xi为随机变量，Ci为常数，i=1,2,…,nE(C1X1+C2X2+…+CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+…+CnE(Xn)4、若X，Y是相互独立的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y)。证设(X,Y)~f(x,y)，由于X,Y相互独立，则f(x,y)=fX(x)•fY(y)dxdyyxxyfXYE),()(dxdyyfxxyfYX)()(dyyyfdxxxfYX)()()()(YEXE推广：X1,X2,…,Xn相互独立，则E(X1X2…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn)反之不然，即由E(XY)=E(X)E(Y)不能推出它们独立。例4.10设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过；如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数。解设Xj为第j组的化验次数，j=1,2,…,10，X为1000人的化验次数，则Xj的可能取值为1，101，且Xj1101Pj(99%)1001-(99%)100)99.01)(101(99.0100100jEX)()()(101101jjjjXEXEXE)]99.01)(101(99.0[10100100644]99.010011[1000100例4.11对某一目标连续射击，至命中n次为止。设每次射击的命中率为p，且相互独立，求消耗的子弹数X的数学期望。解设Xi为第i-1次命中后至第i次命中时所消耗的子弹数，则niiXX1且Xi的分布律为ppkXPki1)1()(,2,1k1211)1(1)1()(kkipppppkXEni,,2,1niipnXEXE1)()(习题1、盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，求E(X)。习题2、设X有密度函数：求。0,00,)(xxexfx)(),2(2XeEXE习题3、设随机变量(X,Y)的联合密度函数如下：求)1(),(),(XYEYEXE他其020,10),(yxxyyxf习题4、设随机变量X的分布律如下：求。X0123p0.10.20.30.4)32(2XXE4.2方差一、方差的概念例4.13甲乙两部机床生产同一种机轴，轴的直径为10mm，公差为0.2mm，即直径在9.8mm到10.2mm的为合格品，超出范围的均为废品。现从甲乙两机床的产品中各随机地抽取6件进行测试，机轴的直径的测试尺寸如下：(mm)甲9.89.910.010.010.110.2乙9.09.29.410.610.811.0易知，甲乙两组产品的直径的均值都为10.0mm，但两组的质量显然差异很大，甲组全为合格品，乙组全为废品。这里光看均值无差别，质量的差异的原因在于两组产品关于均值的离散程度不同。甲组离散程度小，质量较稳定，乙组的离散程度大，质量不稳定。为衡量一个随机变量X关于均值的离散程度，可用|X-EX|的均值来表示，称为X的绝对离差，用E|X-EX|记，这在实际统计中有一定的作用。但由于绝对值的均值不易计算，常用随机变量与均值差的平方的均