2009年考研数学一真题(含解析)

第1页共21页2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）当0x时，sinfxxax与2ln1gxxbx等价无穷小，则（）A11,6ab.B11,6ab.C11,6ab.D11,6ab.（2）如图，正方形,1,1xyxy被其对角线划分为四个区域1,2,3,4kDk，coskkDIyxdxdy，则14maxkkI（）A1I.B2I.C3I.D4I.（3）设函数yfx在区间1,3上的图形为：则函数0xFxftdt的图形为（）A.B.()fx023x1-2-11()fx023x1-2-111()fx-2023x-1O-1-111xy1D2D3D4D第2页共21页C.D.（4）设有两个数列,nnab，若lim0nna，则（）A当1nnb收敛时，1nnnab收敛.B当1nnb发散时，1nnnab发散.C当1nnb收敛时，221nnnab收敛.D当1nnb发散时，221nnnab发散.（5）设123,,是3维向量空间3R的一组基，则由基12311,,23到基122331,,的过渡矩阵为（）A101220033.B120023103.C111246111246111246.D111222111444111666.（6）设,AB均为2阶矩阵，**,AB分别为,AB的伴随矩阵，若2,3AB，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为（）A**32OBAO.B**23OBAO.C**32OABO.D**23OABO.()fx023x1-2-11()fx023x1-11第3页共21页（7）设随机变量X的分布函数为10.30.72xFxx，其中x为标准正态分布函数，则EX（）A0.B0.3.C0.7.D1.（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布0,1N，Y的概率分布为1012PYPY，记ZFz为随机变量ZXY的分布函数，则函数ZFz的间断点个数为（）A0.B1.C2.D3.二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）（9）设函数,fuv具有二阶连续偏导数，,zfxxy，则2zxy。（10）若二阶常系数线性齐次微分方程0yayby的通解为12xyCCxe，则非齐次方程yaybyx满足条件02,00yy的解为y。（11）已知曲线2:02Lyxx，则Lxds。（12）设222,,1xyzxyz，则2zdxdydz。（13）若3维列向量,满足2T，其中T为的转置，则矩阵T的非零特征值为。(14)设12,,,mXXX为来自二项分布总体,Bnp的简单随机样本，X和2S分别为样本均值和样本方差。若2XkS为2np的无偏估计量，则k。三、解答题（15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分9分）求二元函数22(,)2lnfxyxyyy的极值。（16）（本题满分9分）设na为曲线nyx与11,2,.....nyxn所围成区域的面积，记122111,nnnnSaSa，求1S与2S的值。（17）（本题满分11分）椭球面1S是椭圆22143xy绕x轴旋转而成，圆锥面2S是过点第4页共21页4,0且与椭圆22143xy相切的直线绕x轴旋转而成。（Ⅰ）求1S及2S的方程（Ⅱ）求1S与2S之间的立体体积。（18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数fx在,ab上连续，在(,)ab可导，则存在,ab，使得fbfafba（Ⅱ）证明：若函数fx在0x处连续，在0,0内可导，且0limxfxA，则0f存在，且0fA。（19）（本题满分10分）计算曲面积分32222xdydzydzdxzdxdyIxyz，其中是曲面222224xyz的外侧。（20）（本题满分11分）设111111042A1112（Ⅰ）求满足21A的2.231A的所有向量2,3.（Ⅱ）对①中的任意向量2,3证明1,2,3无关。（21）（本题满分11分）设二次型2221231231323,,122fxxxaxaxaxxxxx（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f的规范形为2212yy，求a的值。（22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,XYZ分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（Ⅰ）求10pXZ；（Ⅱ）求二维随机变量,XY概率分布。第5页共21页（23）（本题满分11分）设总体X的概率密度为2,0()0,xxexfx其他，其中参数(0)未知，1X，2X,…nX是来自总体X的简单随机样本(Ⅰ)求参数的矩估计量；（Ⅱ）求参数的最大似然估计量第6页共21页第7页共21页2009年考研数学一真题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x时，sinfxxax与2ln1gxxbx等价无穷小，则（）A11,6ab.B11,6ab.C11,6ab.D11,6ab.【答案】A【解析】2()sin,()(1)fxxaxgxxlnbx为等价无穷小，则222200000()sinsin1cossinlimlimlimlimlim()ln(1)()36xxxxxfxxaxxaxaaxaaxgxxbxxbxbxbx洛洛230sinlim166xaaxabbaxa36ab故排除,BC。另外201coslim3xaaxbx存在，蕴含了1cos0aax0x故1.a排除D。所以本题选A。（2）如图，正方形,1,1xyxy被其对角线划分为四个区域1,2,3,4kDk，coskkDIyxdxdy，则14maxkkI（）A1I.B2I.C3I.D4I.【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。24,DD两区域关于x轴对称，而(,)cos(,)fxyyxfxy，即被积函数是关于y的奇函数，所以240II;13,DD两区域关于y轴对称，而(,)cos()cos(,)fxyyxyxfxy，即被积函数是关于x的偶函数，所以1(,),012cos0xyyxxIyxdxdy；3(,),012cos0xyyxxIyxdxdy.所以正确答案为A.-1-111xy1D2D3D4D第8页共21页（3）设函数yfx在区间1,3上的图形为：则函数0xFxftdt的图形为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()yfx的图形可见，其图像与x轴及y轴、0xx所围的图形的代数面积为所求函数()Fx，从而可得出几个方面的特征：①0,1x时，()0Fx，且单调递减。②1,2x时，()Fx单调递增。③2,3x时，()Fx为常函数。()fx023x1-2-11()fx023x1-11()fx023x1-2-11()fx023x1-2-111()fx-2023x-1O第9页共21页④1,0x时，()0Fx为线性函数，单调递增。⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D。（4）设有两个数列,nnab，若lim0nna，则（）A当1nnb收敛时，1nnnab收敛.B当1nnb发散时，1nnnab发散.C当1nnb收敛时，221nnnab收敛.D当1nnb发散时，221nnnab发散.【解析】方法一：举反例A取1(1)nnnabnB取1nnabnD取1nnabn故答案为（C）方法二：因为lim0,nna则由定义可知1,N使得1nN时，有1na又因为1nnb收敛，可得lim0,nnb则由定义可知2,N使得2nN时，有1nb从而，当12nNN时，有22nnnabb，则由正项级数的比较判别法可知221nnnab收敛。（5）设123,,是3维向量空间3R的一组基，则由基12311,,23到基122331,,的过渡矩阵为（）A101220033.B120023103.第10页共21页C111246111246111246.D111222111444111666.【解析】因为1212,,,,,,nnA，则A称为基12,,,n到12,,,n的过渡矩阵。则由基12311,,23到122331,,的过渡矩阵M满足12233112311,,,,23M12310111,,22023033所以此题选A。（6）设,AB均为2阶矩阵，**,AB分别为,AB的伴随矩阵，若2,3AB，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为（）A**32OBAO.B**23OBAO.C**32OABO.D**23OABO.【解析】根据CCCE，若111,CCCCCC分块矩阵00AB的行列式22012360AABB（），即分块矩阵可逆11110000066000100BBAAABBBBAAA第11页共21页10023613002BBAA故答案为（B）（7）设随机变量X的分布函数为10.30.72xFxx，其中x为标准正态分布函数，则EX（）A0.B0.3.C0.7.D1.【答案】C【解析】因为10.30.72xFxx，所以0.710.322xFxx，所以10.30.352xEXxFxdxxxdx10.30.352xxxdxxdx而0xxdx，11221222xxxd