电工杯数学建模B题：基于预测的邮轮定价策略研究

答卷编号：论文题目：基于预测的邮轮定价策略研究指导教师：参赛学校：证书邮寄地址及收件人：答卷编号：阅卷专家1阅卷专家2阅卷专家3论文等级1摘要本文根据题目中所给的信息，为邮轮公司设计了定价方案，并解决了以下问题。对于问题1，我们分别采用了非线性拟合预测、时间序列预测以及通过微分方程建立模型的方法预测每次航行各周预定舱位的人数。在利用非线性拟合预测时，我们所建立的模型为bxyae，其中0aba、为参数且，再利用各航次每周实际预订人数非完全累积表sheet2中各次航行各舱人数的数据，分别求出各次航行各舱人数关于时间的表达式（结果见正文表1-1-1），并完善了各航次每周实际预订人数非完全累积表sheet2（结果见正文表1-1-2）；在利用时间序列预测法时，采用2次指数平滑法，建立模型(1)(2)(1)(2)(1)(2)1212()111tttttttttyabSSSSSS，利用表sheet2中的数据进行检验，吻合度较高，进而根据模型完善各航次每周实际预订人数非完全累积表sheet2；在建立微分方程模型进行预测时，以人口阻滞增长模型为依据建立微分方程0(1),(0)mdxxrxxxxdt，通过解方程得到0()1(1)mrtmxxtxex，进而根据已有的数据分别进行拟合，确定出不同航次不同舱的参数0,xr（见正文），然后根据求得的模型（见正文）分别进行求解，得到缺省的数据（见正文）；在这三种预测方法中，第三种预测方法最贴近真实数据，故用其来完善sheet2。同时，在处理后续问题中，采用第三种预测方法得到的数据。对于问题2，我们采用多项式拟合的方法，通过分析，头等舱和三等舱都是采用三次多项式拟合，二等舱采用2次多项式拟合；对于问题3，我们首先通过时间序列法进行人数的完善，接着采用统计回归的方法，建立回归模型22011213242yxxxx，依次求出各航次各周的表达式（见正文）和平均预订价格（见附件sheet4）；对于问题4，我们建立优化模型，通过对不同舱的价格定位来求出最大预期售票收益，并根据模型，求出第8次航行的预期售票收益为1412930元。对于问题5，采用数学规划模型，根据LINGO软件求解，得到最大收益1527500元。关键字：非线性拟合时间序列微分方程最优化模型21．问题的重述如何通过合理的定价吸引更多的旅游者，从而为邮轮公司创造更多的收益，这也是众多邮轮公司需要探讨和解决的问题。现已知某邮轮公司拥有一艘1200个舱位的邮轮，舱位分为三种，250个头等舱位，450个二等舱位，500个三等舱位。该邮轮每周往返一次，同一航次相邻两周之间价格浮动比不超过20%。请通过附件中表sheet1-sheet5，设计定价方案，需解决以下问题：1、至少采用三种预测方法进行预测每次航行各周预订舱位的人数，并完善表格sheet2；2、预测每次航行各周预订舱位的价格，完善表sheet3；3、预测出公司每周给出的预订平均价格；4、建立邮轮每次航行的最大预期售票收益模型，并计算第8次航行的预期售票收益；5、请建立游客升舱意愿模型，为公司制定升舱方案使其预期售票收益最大。2．问题的分析对于问题1，因为至少要三种预测方法，所以考虑采用非线性拟合预测、时间序列预测以及通过微分方程建立模型进行预测每次航行各州预定舱位的人数；对于问题2，我们采用多项式拟合的方法，通过分析，头等舱、二等舱和三等舱分别采用2次多项式拟合和多次多项式拟合，比较观察哪个更合适；对于问题3，我们首先通过时间序列法进行人数的完善，接着采用统计回归的方法，建立回归模型，依次求出各航次各周的平均预订价格；对于问题4，采用最优化模型，通过分析建立合适的优化模型进行求解；然后利用求解之后的模型计算第8次航行的预期收益；对于问题5，采用数学规划模型，求出最大收益。3．符号说明(1)tS：一次指数平滑值(2)tS：二次指数平滑值0x：初始人数r：固有增长率2R：回归方程的决定系数F：统计量值p：与统计量值F对应的概率值2s：剩余方差34．模型的建立与求解4.1问题1的模型建立与求解4.11方法一非线性拟合预测1、模型建立首先根据各航次每周实际预订人数非完全累积表sheet2中的数据分别作出各航次每周实际预订人数y（人）和时间x（周）的散点图，这些点分布在一条曲线附近，取选择的指数曲线方程为bxyae，其中0aba、为参数且。（1-1）2、模型求解利用MATLAB提供了求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefit对式（1-1）bxyae，其中0aba、为参数且进行拟合,拟合程序见附录1根据程序运行结果：得到式（1-1）的系数分别为：16.52,0.1816ab和下图1-102468101214050100150200250图1-1利用第1次航行头等舱数据拟合图像43、结果分析利用非线性最小二乘法你和的图像虽然和实际数据有差距，但是从整体来说还是可以反映出整体的趋势，所以，从整体来看，模型（1-1）是可以的。再分别利用各航次每周实际预订人数非完全累积表sheet2中各次航行各舱人数的数据，分别求出各次航行各舱人数关于时间的表达式，结果见下表1-1-1。表1-1-1各次航行各舱人数模型（1-1）、（1-2）求解结果航次舱别系数a系数b1头等舱16.52000.1816二等舱48.74530.1601三等舱63.03580.15862头等舱17.18340.1834二等舱57.39700.1526三等舱66.88700.15223头等舱16.58040.1946二等舱46.80550.1746三等舱77.41500.13954头等舱15.19010.2018二等舱54.70270.1647三等舱69.55610.14905头等舱17.29300.1906二等舱51.99660.1639三等舱130.17620.10746头等舱14.42420.2039二等舱50.91380.1651三等舱96.44740.12617头等舱15.50580.2015二等舱62.61950.1535三等舱91.76660.13068头等舱14.72080.2025二等舱48.23150.1682三等舱92.72270.13069头等舱14.79040.2028二等舱51.71370.1645三等舱120.17770.114810头等舱14.67050.2020二等舱55.49690.1611三等舱122.42800.1128根据上表1-1-1的计算结果，分别利用第5-10次各舱人数的表达式求出各航次每周实际预订人数非完全累积表sheet2中的缺省数据见下表1-1-2。5表1-1-2各航次每周实际预订人数非完全累积表sheet2中的缺省数据567周头等舱二等舱三等舱头等舱二等舱三等舱头等舱二等舱三等舱2//////1743954401///20443549721346050102495165852505135642605375718910周头等舱二等舱三等舱头等舱二等舱三等舱头等舱二等舱三等舱5//////902373384///11226837911127837831373073901383164251353274232167363444169372476166384474120543050720643953420345153002515085772535175992485305944.12方法二时间序列法（二次指数平滑法）1、模型建立二次指数平滑法也称布朗指数平滑法。二次指数平滑值记为(2)tS，它是对一次指数平滑值(1)tS计算的平滑值，即2(2)(1)11tttSSS（2-1）二次指数平滑法主要用于变参数线性趋势时间序列的预测。变参数线性趋势预测模型的表达式为：(1)(2)(1)(2)(1)(2)1212()111tttttttttyabSSSSSS（2-2）（2-2）式的预测模型与一般的线性趋势模型的区别在于，式中ia、ib是参数变量，随着时间自变量t的变化而变化，即直线在各时期的截距和斜率是可能不同的；T是从t期开始的预测期数。运用二次指数平滑法求解（2-2）式可得参数变量的表达式，即(1)(2)(1)(2)2()1ttttttaSSbSS（2-3）根据（2-3）求出各期参数变量的取值，代入（2-2）式，则具有无限期的预测能力，当仅作一期预测时，有(1)(2)(1)(2)(1)(2)1212()111tttttttttyabSSSSSS（2-4）2、模型的检验与求解根据已建立的模型：6(1)(2)(1)(2)(1)(2)1212()111tttttttttyabSSSSSS(1)(2)(1)(2)2()1ttttttaSSbSS(1)(2)(1)(2)(1)(2)1212()111tttttttttyabSSSSSS利用第1次航行头等舱、二等舱、三等舱的数据进行模型的检验，程序见附录2。程序运行后的图像如下1-2-1所示051015-50050100150200051015-2000200400600051015-2000200400600图1-2-1检验程序运行图由图像很明显的看到预测结果与实际数据吻合的很好，所以模型（2-2）是可行的。同样，通过上程序可以预测出表sheet2中的缺省数据。4.13方法三微分方程模型1、模型建立记本周人口为0x，k周后人口为kx，周增长率为r，但是注意到散点图中随着人口数量x的增加，周增长率r在下降。若将r表示为x的函数()rx，则它应该是减函数，于是表达式应为0(),(0)dxrxxxxdt（3-1）7对()rx的一个最简单的假定是，设()rx为x的线性函数，即()(,0)rxrsxrs（3-2）这里r称为固有增长率，表示人口很少数（理论上是0x）的增长率。为了确定系数s的意义，引入各个舱所能容纳的最大人口数量mx，称人数容量。当mxx时人数不再增长，即增长率()0mrx，代入式（3-2）得mrsx，于是()(1)mxrxrx，将()rx代入式（3-1），得0(1),(0)mdxxrxxxxdt（3-3）2、模型求解根据（3-3）利用分离变量法求解得到0()1(1)mrtmxxtxex（3-4）由于mx是已知的，所以对于式（3-4）只需要估计0x和r，它们可以用各航次每周实际预订人数非完全累积表sheet2中的数据拟合得到。3、结果分析对于式（3-4）用各航次每周实际预订人数非完全累积表sheet2中第1次航行头等舱人数的数据进行拟合，拟合程序见附录3。程序运行得到的结果为05,0.3760xr，表达式为0.3760250()2501(1)5txte，从下图1-3-1可以看出模型拟合的不错，模型（3-4）从整体来看是可以的。802468101214050100150200250图1-3-1数据拟合图像对式（3-4）利用各航次每周实际预订人数非完全累积表sheet2中的数据进行拟合的结果表1-3-1。表1-3-1各次航行各舱人数模型（3-4））求解结果航次舱别0xr模型（3-4）表达式1头等舱50.37600.3760250()2501(1)5txte二等舱120.42590.4259250()2501(1)12txte三等舱70.55190.5519500()5001(1)7txte2头等舱40.40430.4043250()2501(1)4txte9二等舱110.47570.4757450()4501(1)11txte三等舱190.41890.4189500()5001(1)19txte3头等舱30.48210.4821250()2501(1)3txte二