初二辅助线讲义(教师版)

1初中数学备课组教师班级初二学生日期上课时间教学内容：辅助线几何题目的辅助线是根据题目的条件和结论都不能进行逻辑推理的时候才采用的一种方法，而且在你需要添辅助线的时候一定要有添辅助线的理由，这些理由包括平时做题经常见的一些模型（例如等腰三角形三线合一性质），课本上的一些定理（例如直角三角形斜边上的中线）等。一、等腰三角形（三线合一）的辅助线的做法辅助线的依据：如图，在等腰△ABC中，①AB=AC②AD⊥BC③BD=DC④BADCAD只要一条线段满足其中的两种，则这个图形中一定存在一个等腰三角形，可以将这个等腰三角形补全，运用等腰三角形边、角的结论，结合题目中的条件来证明结论。DCBA注意：由其中的两个结论推出另外两个结论中，证明过程都用到了全等来证明；而在中线和角平分线去证明三角形为等腰三角形时，就需要做到辅助线，可以用两种方法证明，一种是倍长中线，一种是把角平分线到两边的距离做出来。例1、如图：已知：在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，AF⊥CE，F为垂足，求证：∠CAF=∠EAF+∠ABC.FBACE例2、已知：如图，在△ABC中，ACAB，∠ABC=3∠ACB，AD平分∠BAC，BM⊥AD垂足为M，求证：BM=21(AC－AB)．巩固练习1、如图9-1：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长于E。AMEDCB2EDCBA求证：BD=2CE。证明：分别延长BA，CE交于点F。∵BE⊥CF（已知）∴∠BEF=∠BEC=90°（垂直的定义）在△BEF与△BEC中，∵)()()(21已证公共边已知BECBEFBEBE∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=21CF（全等三角形对应边相等）∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）∴∠BAC=∠CAF=90°∠1＋∠BDA=90°∠1＋∠BFC=90°∴∠BDA=∠BFC在△ABD与△ACF中)()()(已知＝已证已证ACABBFCBDACAFBAC∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD=CF（全等三角形对应边相等）∴BD=2CE巩固练习2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠BAD,∠ABC，CD过点E，求证;AB＝BC+AD二、等边三角形如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E是AB上一个动点，若∠B=60°，AB=BC，且∠DEC=60°，19图DCBAEF123判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论。说明：本题中还涉及到用平行线构造等边三角形来进行边之间的转化，从而来构造全等三角形巩固练习1、数学课上，李老师出示了如下框中的题目。小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE____DB(填“＞”，“＜”或“=”)．(2)特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE____DB(填“＞”，“＜”或“=”)．理由如下：如图2，过点E作EF//BC，交AC于点F，(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在射线BA上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你直接写出结果)。4三、关于角平分线的辅助线，到两边的距离相等对于八年级几何证明这一章中学习过的垂直平分线和角平分线，一定要熟记其各自的性质，但是在熟记的同时，一定要学会怎么去构造这些模型，并且在构造这些模型之后还要学会熟练的运用其性质。关于角的平分线，最好把角平分线上的点到角两边的距离都能够做出来，然后运用得出的两个三角形全等所得出的角相等、边相等，并且结合题目条件得出结论。其性质是角平分线上的一点到角两边的距离相等，那么在碰到题目中有角平分线的时候，可以试着将角平分线上的点到两边的距离做出来，然后运用到一些结论（这些结论主要包括一些角和边的相等，将这些量进行等量代换）。在这个辅助线中，通常跟直角三角形全等的判定定理HL相结合。这样会出现直角，那么要学会用点叉的办法学会看出哪些角是相等的。例1、如图：P为AOB的平分线上一点，,180PCOACOAPOBP于如果OC=4cm，则AO+BO=例2、已知：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，若△ABC的面积为48，AB=20，AC=8，求：DE的长。FEDABC巩固练习1、如图，在四边形ABCD中，BC=DC，AC平分∠BAD，CF⊥AB，CE⊥AD，E、F为垂足，若AB=21，AD=9，BC=DC=10，求AC的长。5巩固练习2、如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点I。求证：点I在∠BAC的角平分线上.巩固练习3、课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=3AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=3AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）考点：直角三角形全等的判定．分析：（1）如果：“∠B=∠D”，根据∠B与∠D互补，那么∠B=∠D=90°，又因为∠DAC=∠BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=32AC，那么AD+AB=3AC．（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件．根据AAS可证两三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法进行计算即可．证明：（1）∠B=∠D=90°，∠CAD=∠CAB=30°，6∴AB=32AC，AD=32AC．∴AB+AD=3AC．（2）由（1）知，AE+AF=3AC，∵AC为角平分线，CF⊥CD，CE⊥AB，∴CE=CF．而∠ABC与∠D互补，∠ABC与∠CBE也互补，∴∠D=∠CBE．∴Rt△CDF≌Rt△CBE．∴DF=BE．∴AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=3AC．点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．四、关于直角三角形中线的辅助线直角三角形中，看到中点就需要把直角顶点和斜边中点连接起来，然后用到中线的结论，角相等这些结论。特别的，等腰直角三角形的中线可以将整个等腰直角三角形分成两个全等的等腰直角三角形，所以题目中出现了等腰直角三角形，经常见的辅助线就是作中线。例1、如图：在ABC中，,,BDACDCEABE于于M是BC中点，求证：MDEMED例2、在RtABC中，090BAC，D是BC边上的中点，过D作BC的垂线，交BAC的平分线于点E。求证：12DEBC。解题思路：角平分线上的E点到AB、AC的距离相等，做出来得出三角形全等，然后得出角的相等，然后从结论中想到要找出与斜边相等，则要找出直角三角形7巩固练习1、如图：在ABC内，090ACB，D是AC上任意一点，DEAB于E,M、N分别是BD、CE的中点。求证：CEMN巩固练习2、如图：ABC中，AD是ABC内的一条射线，BEAD于E,ADCF于F，点M是BC中点。求证：EM=FM注意：根据中点和直角三角形把整个直角三角形补全。五、截长补短线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等，将不在一条直线的两条(或几条线段)转化到同一直线上．上述前两种方法实际上是通过翻折（本质上是轴对称）构造全等三角形，目的是为了转移的边、角和已知条件中的边、角有机的结合在一起．证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是：在其中一条短线段的延长线上截取另一条短线段，再证明它与长线段相等，这种方法叫“补短法”．在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段，这种方法叫“截长法”．这两种方法是证明两条线段的和（差）等于另一条线段常见的方法．8例1、如图1，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC与D，求证：AB+BD=AC．分析1：∵∠B=2∠C，∴AC＞AB，可以在AC上取一点E，使得AB=AE，构造△ABD≌△AED，把AB边转移到AE上，BD转移到DE上，要证AB+BD=AC．即AE+BD=AE+EC，即证明BD=EC．证明：在AC上取一点E，使得AB=AE，连结DE．在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠DAC，AD=AD．∴△ABD≌△AED．∴BD=DE，∠B=∠AED．又∵∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C，∠EDC=∠C．∴ED=EC．∴AB+BD=AC．分析2：∵∠B=2∠C，∴AB＜AC，可以在AB的延长线上取一点E，使得AE=AC，构造△AED≌△ACD，把AC边转移到AE上，DC转移到DE上，要证AB+BD=AC．即AB+BD=AB+BE，即证明BD=BE．证明：在AB上取一点E，使得AB=AE，连结DE．在△AED和△ACD中，AE=AC，∠BAD=∠DAC，AD=AD．∴△AED≌△ACD．∴∠C=∠AED．又∵∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠BDE，∠E=∠BDE．∴BE=BD．∴AB+BD=AC．分析3：若延长DB到点E，使得AB=BE，有AB+BD=ED，只要证出ED=AC就可以．证明：延长DB到点E，使得AB=BE，连结AE，则有∠EAB=∠E，∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E又∵∠ABC=2∠C，∴AE=AC．又∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+∠DAC=∠ADE，∴AE=DE．∴AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC．例2、已知：在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，求证：AB=CD-BD．分析1：要证明AB=CD—BD，把CD—BD转化为一条线段，在DC上取一点E，使BD=DE，只要再证出EC=AB即可．证明：在DC上取一点E，使BD=DE在△ABD和△AED中，AD⊥BC，BD=DE，AD=AD．∴△ABD≌△AED．∴AB=AE，∠B=∠AED．又∵∠B=2∠C=∠AED=∠C+∠EAC．∴∠C=∠EAC．∴AE=EC．A图1EDCBA图2EDCBECA图3DBA图5EDCB9∴AB=AE=EC=CD—DE=CD—BD．分析2：证明AB=CD—BD，即只要证明出AB+BD=CD即可．延长DB到点E，使BE=AB，只要证出DE=DC即可．证明：延长DB到点E，使BE=AB∴∠E=∠EAB．∵∠B=∠E+∠EAB=2∠E，∠B=2∠C，∴∠E=∠C．在△AED和△ADC中，AD⊥BC，∠E=∠C，AD=AD．∴△AED≌△ADC．∴ED=DC．∴AB=BE=DE—BD=CD—BD．评注：上述两种解法事实上也是用的取长补短方法，为达到目的，利用轴对称构造的全等三角形．巩固练习1、如图，在△ABC中，108AACAB，°，BD平分ABC。求证：CDABBC。DCBA巩固练习2如图，在△ABC中，108BACACAB，°，点D在AC上且CDABBC。求证：BD平分ABC。DCBA巩固练习3如图，已知ACAB，BD平分ABC且CDABBC。求证：108A°。DCBAA图6EDCB10巩固练习4如图，已知ACAB，100A°，BD平分ABC。求证：BCBDAD。DCBA6、倍长中线例1、如图4，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC2AD．分析：证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB+AC2AD，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．证明：延长AD到点E，使AD=DE，连结CE．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，