《MATLAB语言及应用》课程小论文

课程论文（设计）课程名称：MATLAB基础及应用论文题目：基于MATLAB二阶电路零状态响应分析与设计姓名尹天林班级11级电信二班学号20111060235学院物理与信息科学学院2013年6月基于MATLAB二阶电路零状态响应分析与设计尹天林（学号：20111060235）（物理与信息科学学院电子信息科学与技术专业11级2班）摘要：我们国家多数教材中重点讨论系统的零状态响应时域求解方法，关于直接求解零状态响应的时域方法总结较少。本文分别从冲激响应与微分方程求解、输入信号卷积关系以及拉普拉斯逆变换方法的角度出发，用MATLAB的符号计算功能求解卷积积分、分析系统的动态特性、求拉普拉斯变换与其逆变换、分析连续时间系统的响应等的具体实现办法，并给出了相应的计算程序和运算结果，同时将这些运算结果用可视化的图形表示出来，归纳了连续时间系统零状态响应求解方法，并以实例说明其正确性。本文用MATLAB仿真方法对二阶电路进行了仿真，仿真结果直观明了，加深了对二阶电路的理解。掌握信号经过LTI系统的时域分析方法。巩固已经学过的知识，加深对知识的理解和应用，加强学科间的横向联系，学会应用MATLAB对实际问题进行仿真。学会对零状态响应的LTI系统进行仿真。关键词：二阶电路；零状态响应；分析设计；MATLAB.1、引言零状态响应的概念和求解是“信号与系统”课程教学的重要知识点之一。目前，多数教材中给出零状态响应的时域方法［1-2]，国内的部分学者也总结了零状态响应时域求解的多种求解方法［4］。本文分别从冲激响应与输入信号卷积关系、微分方程求解以及拉普拉斯逆变换方法的角度出发，用MATLAB软件有效的去计算，去分析，讨论零状态响应的时域一般求解方法对直接求零状态响应做出更简单易懂的方法，并给予实例证明方法的有效性。2、二阶电路零状态响应2.1二阶电路的概念含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个电感的动态电路称为二阶电路。这类电路可以用一个二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程来描述。本文着重采用MATLAB对二阶电路进行计算仿真分析，分析最基本的、最有代表性的二阶电路的零状态响应，即含一个电阻、一个电感和一个电容的RLC串联电路，电路如图1所示。LCRT0US图1RLC串联二阶电路电路中电源为t=0时的输入,即t=0-时,Us(0-)=0；t=0+时,Us(0+)=E，电感、电容的初始状态都为零。首先列出电路的微分方程SUUdtdURCdtUdLC00202（1）2.2零状态响应的求解方法（1）问题描述设线性时不变系统的微分方程为)(...)()()(...)()()1(1)(0)1(1)(tfbtfbtfbtyatyatymmmnnn（2）式中，f(t)是系统的激励信号，系统初始条件为{)0(-)1-(ny，)0(-)2-(ny…)0(-y}，y(t)是系统的响应信号。系统的零状态响应条件为{)0(-)1-(ny=0，)0(-)2-(ny=0，…)0(-y=0}。若微分方程的特征根均为单根，则其零状态响应为)()(1tyeCtyptnjjzsj（3）式中jC为待定系数，)(typ为方程的特解。（2）零状态响应的时域求解方法①微分方程求解的方法由于系统零状态响应，因此可利用经典微分方程求解方法求解。将输入信号f(t)代入微分方程,可得零状态响应即为求方程：njmiiijzsjtfbtya00)()()()(（4）在初始条件为0)0()1(ng，0)0(-)2-(ng，…，0)0(-g下的零状态响应。接下来，求齐次解，特解，初始条件，自然求的yzs(t)。②利用单位冲激响应求解零状态响应在信号与系统课程中,对于线性时不变系统,在已知系统输入信号和冲激响应的情况下,在时域中往往使用卷积积分来求系统的零状态响应,如已知系统的输入信号为f(t),冲激响应为h(t),则可以利用卷积积分来求系统的零状态响应yzs(t),即:+()()*()()()zsythtftfhtd（5）如已知:),()(),(1)(tUetftUeTthtTt,由系统分析可知,此时的输出响应等于以下卷积:dthftytzs)()()(0（6）通过对冲激响应的积分运算或与激励信号的卷积，可得系统的零状态响应。该方法概念清楚，但需首先求解系统的单位冲激响应。③拉普拉斯变换逆变换求解连续时间系统的s域分析,是以拉氏变换为数学工具,先将时域微分方程变换成s域代数方程,再在s域求解响应的象函数,最后将响应象函数逆变换成时域原函数,是一种间接求解系统响应的分析方法。首先都知道，F(s)是f(t)的拉普拉斯变换（象函数），则dsesFjtfjjst)(21)(（7）+0()(),stFsftedt（8）如果F(s)是s的实系数有理真分式（式中mn）,则可写为01110111......)()()(FasasasbsbsbsbsAsBsnnnmmmm（9）式中分母多项式A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根为特征根，也称为F(s)的固有频率（或自然频率）。为将F(s)展开为部分分式，要先求出特征方程的n个特征根),...,2,1(nisi,is称为F(s)的极点。特征根可能是实根（含零根），也可能是复根（含虚根）；可能是单根，也可能是重根。本文将讨论F(s)都是单极点（特征根为单根）这种情况。如果方程A(s)=0的根都是单根，其n个根s1,s2,,…,sn都互不相等，那么根据代数理论，F(s)可展开为如下的部分分式niiinniissKssKssKssKssKsAsBs12211......)()()(F（10）由iss1的原函数为tsie，并利用线性性质，可得式（10）的原函数为：)()(1teKtfnitsii（11）设)(0tU的象函数为)(0sV。根据拉普拉斯变换的时域微分性质，有nndtUd)(0的象函数为)0()()(01010mnmmnnUssVs，则202)(dtUd的象函数为)(02sVs，dtUd)(0的象函数为)(0ssV。将式（1）进行拉普拉斯变换得)()()1(02SUSVRCSLCSS，则1)()(20RCSLCSSUSVS(12)（3）三种方法的对比表1零状态响应求解对比表分析方法理论基础结合冲激响应求解时域直接求解零状态响应方法微分方程求解不需要激励与冲激响应的卷积积分方法系统的零状态线性性质和激励与响应间的时不变特性需要拉普拉斯变换的逆变换的求解方法拉普拉斯变换的线性性质不需要本文以RLC串联电路零状态响应为例,总结了这3种建模的方法,给出了零状态响应曲线.3、MATLAB仿真与分析(1)微分方程求解的方法假设该RLC串联二阶电路中L=1H，C=1F，R=1Ω，US=)(tV，则20002()dUdUUtdtdt（13）①利用matlab公式直接求解。y=dsolve('D2y+Dy+y=heaviside(t)','y(0)=0,Dy(0)=0')y=-1/3*heaviside(t)*(3*exp(-1/2*t)*cos(1/2*3^(1/2)*t)+exp(-1/2*t)*sin(1/2*3^(1/2)*t)*3^(1/2)-3)ezplot(y,[0,20]);axis([0,20,-0.1,1.2]);title('零状态响应U_{0}');②根据经典微分方程求解方法一步一步来求解。因为激励为单位阶跃函数)(t时，系统的零状态响应为阶跃响应，即：()[{0},()]defgtTt（14）若n阶微分方程等号右端只含激励f(t)，当激励)()(ttf时，系统的零状态响应[即阶跃响应g(t)]满足方程：1,...,2,1,0,0)0()()(...)()()(0)1(1)(njgttgatgatgjnnn（15）由于等号右端只含)(t，故除)()(tgn外，g(t)及其直到n-1阶导数均连续，即有1,..,2,1,0,0)0()0()()(njggjj（16）若方程式（15）的特征根均为单根，则阶跃响应为)()1()(01taeCtgtnjjj（17）式中01a为式（15）的特解，待定常数jC由式（16）的0初始值确定。先编一个求（1）式二阶电路的阶跃响应的函数文件change.m,如下：function[p1,p2,gt]=change(R,C,L,u0)delta=R/2/L;w0=sqrt(1/L/C);p1=-delta+sqrt(delta^2-w0^2);%求特征方程的特征根p1,p2p2=-delta-sqrt(delta^2-w0^2);symsA1A2tf=A1+A2+1/u0;%由初始条件列出方程求解系数A1（C1），A2(C2)g=p1*A1+p2*A2;[A1,A2]=solve(f,g);%得出A1，A2的解gt=(A1*exp(p1*t)+A2*exp(p2*t)+1/u0)*heaviside(t);%得出阶跃响应ezplot(gt,[0,20]);axis([0,20,-0.1,1.2]);title('零状态响应g(t)');运行为：[p1,p2,gt]=change(R,L,C,u0)P1=-0.5000+0.8660iP2=-0.5000-0.8660igt=((-1/2+1/6*i*3^(1/2))*exp((-1/2+1/2*i*3^(1/2))*t)+(-1/6*i*3^(1/2)-1/2)*exp((-1/2-1/2*i*3^(1/2))*t)+1)*heaviside(t)(2)利用单位冲激响应求解零状态响应条件同（1）题，则先编一个求卷积积分的命令文件exchange.m为：ft=input('输入信号=');ht=input('冲激响应=');symsat;at=subs(ft,'a','t')*subs(ht,'t-a','t');%运用变量替换指令形成被积函数yt=int(at,a,-inf,inf);%实施卷积yt=simple(yt)%化解运算结果ezplot(ft,[0,20]);axis([0,20,-0.1,1.2]);holdon;ezplot(ht,[0,20]);axis([0,20,-0.1,1.2]);holdon;ezplot(yt,[0,20]);axis([0,20,-0.1,1.2]);title('f(t),h(t),y_{zs}(t)三条曲线');xlabel('X');ylabel('Y');text(4.5,1.15,'y_{zs}(t)');text(4,1,'f(t)');text(3,0.2,'h(t)');holdoff;运行为：y1=dsolve('D2y+Dy+y=dirac(t)','y(0)=0,Dy(0)=1')y1=2/3*3^(1/2)*heaviside(t)*exp(-1/2*t)*sin(1/2*3^(1/2)*t)symsty2=heaviside(t);exchange输入信号=y1冲激响应=y2yt=-1/3*heaviside(t)*(3*exp(-1/2*t)*cos(1/2*3^(1/2)*t)+exp(-1/2*t)*sin(1/2*3^(1/2)*t)*3^(1/2)-3)(3)拉普拉斯变换逆变换求解条件同(1)题，则根据（12）式，因为)(t的象函数为s1，有SSSSSSSV2320111)((18)则编一个求(13)式的)(0tU的命令文件ex.m：R=input('电阻R=');C=input('电容C=');L=input('电感L=');if(((R*C)^2-4*L*C)0)%为筛选求欠阻尼状态b=1;a=[L*C,R*C,1,