2012高三数学理全套解析一轮复习课件(人教A版)：8-1-直线的倾斜角与斜率、直线的方程

内容分析1.解析几何的基本内容包括直线与方程、圆与方程和圆锥曲线，是高考重点考查的内容．2．解析几何集中体现了用坐标法研究曲线方程的思想和方法，是培养数形结合思想的载体．本章内容具有概念多、公式多、内容多的特点．本章内容还具有较强的综合性，常与向量、导数交汇命题．3．圆锥曲线的内容有椭圆、双曲线和抛物线．由于研究三种圆锥曲线的方法很类似，因此可采用类比的方法学习椭圆、双曲线和抛物线的定义与几何性质．在学习过程中要注意把握两条学习主线，一是利用圆锥曲线的方程研究曲线的性质；一是适合某种条件的点的轨迹是圆锥曲线．圆锥曲线的定义、性质和方程是学习的基础，应熟练掌握这些基本知识，在此基础上进一步学习直线与圆锥曲线．直线与圆锥曲线包含了非常广泛的内容，如定值问题、最值问题以及范围问题等都是高考的热点.命题热点1.对于直线的考查，主要考查直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式、点到直线的距离公式、两直线的垂直、平行关系等知识，都属于基本要求，多以选择题、填空题形式出现，一般涉及两个以上的知识点，这些仍是今后高考考查的热点．2．对于圆的考查，主要考查圆的方程求法、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，题型既有选择题、填空题，也有解答题，既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力．3．对圆锥曲线的考查，从近几年高考题的命题方向来看，大量的运算在逐渐减少，但与其他知识相结合在逐渐增加，圆锥曲线的概念、性质、方程等基础知识稳中求活，稳中求新，命题中经常涉及的有：(1)方程，(2)几何特征值a、b、c、p、e，(3)直线与圆锥曲线问题，从弦长到位置关系．(4)曲线与方程的关系、考查曲线方程的探求，如直接法、相关点法、待定系数法、定义法、交轨法等．分值一般在17分左右，解答题难度较大.第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直；3．掌握确定直线位置的几何要素；4．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴与直线l之间所成的角即为直线l的倾斜角；正向向上方向②当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为；③直线倾斜角θ的范围为(2)直线的斜率：①若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝；②若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝③直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．tanθ0°0°≤θ180°.y2－y1x2－x1(x1≠x2)；2．两条直线平行与垂直(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，亦有l1∥l2；k1＝k2(2)两条直线垂直：如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔.特别地，当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，亦有l1⊥l2.k1·k2＝－13．直线方程的几种形式名称方程形式适用条件点斜式y－y0＝k(x－x0)斜截式y＝kx＋b不表示垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不表示垂直于x、y轴的直线截距式xa＋yb＝1不表示垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)直线方程最终都可化为一般式1．直线x＝－1的倾斜角等于()A．0°B．90°C．135°D．不存在解析：因为直线x＝－1与x轴垂直，所以直线x＝－1的倾斜角等于90°.答案：B2．已知两点A(－3，3)，B(3，－1)，则直线AB的斜率是()A.3B．－3C.33D．－33解析：直线AB的斜率k＝－1－33＋3＝－1－33－33＋33－3＝－33.答案：D3．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为()A．y＝－13x＋13B．y＝－13x＋1C．y＝3x－3D．y＝13x＋1解析：∵y＝3x绕原点逆时针旋转90°得y＝－13x，再向右平移1个单位得y＝－13(x－1)，即y＝－13x＋13，故选A.答案：A4．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为________．答案：－8解析：由m－4－2－m＝－2，解得m＝－8.5．与直线3x＋4y＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l的方程是__________．解析：先由“平行”这个条件设出直线方程为3x＋4y＋m＝0，再用“面积”条件求m.因为直线l交x轴于A(－m3，0)，交y轴于B(0，－m4)，由12·|－m3|·|－m4|＝24，可得m＝±24.所以，所求直线的方程为：3x＋4y±24＝0.答案：3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0热点之一直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角0(0，π2)π2(π2，π)取值0(0，＋∞)不存在(－∞，0)斜率增减性递增递增2.求斜率的一般方法(1)已知直线上两点，根据斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率．(2)已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值根据k＝tanα来求斜率．[例1]已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)．试求：y＋3x＋2的最大值与最小值．[思路探究]y＋3x＋2可看作点(x，y)与点(－2，－3)的斜率．[思维拓展]解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．[课堂记录]由y＋3x＋2的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，如右图可知：kPA≤k≤kPB，由已知可得：A(1,1)，B(－1,5)，∴43≤k≤8，故y＋3x＋2的最大值为8，最小值为43.即时训练直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是()A．(0，π2)B．(0，π)C．[－π4，π4]D．[0，π4]∪[34π，π)解析：由xsinα－y＋1＝0，得y＝xsinα＋1设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝sinα，∵－1≤sinα≤1，∴－1≤tanθ≤1又∵0≤θπ，∴0≤θ≤π4或3π4≤θπ∴倾斜角θ的变化范围为[0，π4]∪[34π，π)∴应选D.答案：D热点之二两条直线的平行与垂直1．应注意两条直线的位置关系包括三种：平行、重合、相交．2．若用直线的斜率判定两条直线的平行、垂直等问题要注意其斜率不存在的情况．3．可利用直线的方向向量或法向量判定两直线的平行或垂直．[例2]已知两条直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8.当m分别为何值时，l1与l2：(1)相交？(2)平行？(3)垂直？[课堂记录]当m＝－5时，显然，l1与l2相交；当m≠－5时，易得两直线l1和l2的斜率分别为k1＝－3＋m4，k2＝－25＋m，它们在y轴上的截距分别为b1＝5－3m4，b2＝85＋m.(1)由k1≠k2，得－3＋m4≠－25＋m，m≠－7且m≠－1.∴当m≠－7且m≠－1时，l1与l2相交．(2)由k1＝k2，b1≠b2，得－3＋m4＝－25＋m，5－3m4≠85＋m，m＝－7.∴当m＝－7时，l1与l2平行．(3)由k1k2＝－1，得－3＋m4·(－25＋m)＝－1，m＝－133.∴当m＝－133时，l1与l2垂直．即时训练如果两条直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0与l2：4x＋2(m－3)y＋7＝0平行，那么m的值是()A．2B．3C.87D．3或2解析：当m＝3时，l1：x＝－45，l2：x＝－74.显然l1∥l2.当m＝0时，l1：x＝－2，l2：4x－6y＋7＝0.显然l1l2.当m≠0且m≠3时l1方程化为：y＝－m＋2m2－3mx－4m2－3ml2方程化为：y＝－2m－3x－72m－3此时l1∥l2的充要条件是－m＋2m2－3m＝－2m－3－4m2－3m≠－72m－3∴m＝2m≠87∴m＝2综上，m＝3或m＝2.答案：D热点之三直线的方程求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程．求直线方程的一般方法有：1．直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线的方程．2．待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．特别警示：求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论．[例3]根据所给条件求直线的方程．(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.[课堂记录](1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0απ)，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13.故所求直线方程为：y＝±13(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为：4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为：x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点线距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.[思维拓展]求直线方程时，一方面应依据题设条件灵活选取方程的形式；另一方面应特别注意直线方程各种形式的适用范围，即注意分类讨论．即时训练经过点(2，－1)，倾斜角为直线4x＋3y＋4＝0的倾斜角一半的直线方程为________．解析：设所求直线的倾斜角为α，则直线4x＋3y＋4＝0的倾斜角为2α.∵tan2α＝－43，∴2tanα1－tan2α＝－43，解得tanα＝2或tanα＝－12.∵02απ，∴0απ2，∴tanα0，∴tanα＝2.∴所求直线方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.答案：2x－y－5＝0热点之四直线方程的应用利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算．1．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式．2．从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式．[例4]过点P(2,1)作直线l分别交x，y正半轴于A、B两点．(1)若|PA|·|PB|取得最小值时，求直线l的方程；(2)若|OA|·|OB|取得最小值时，求直线l的方程．[课堂记录](1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k0)，显然k不存在时的直线不符合题意．令y＝0，得点A(2－1k，0)，令x＝0，得点B(0,1－2k)．∴|PA|·|PB|＝1k2＋14＋4k2＝8＋4k2＋1k2≥4.当且仅当k＝－1时取等号，所求直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.(2)设直线l的方程为xa＋yb＝1(a0，b0)．∵P∈l，∴2a＋1b＝1.∴ab＝2b＋a≥22ab.∴ab≥8.由题设|OA|·|OB|＝ab.当且仅当a＝2b，即a＝4，b＝2时取等号，所求直线l的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0.即时训练通过已知点P(1,4)的一条直线，要使它在两个坐标轴上的截距都为正，且它们的和最小，求这条直线的方程．解：设该直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b(a0，b0)，则所求直线方程为xa＋yb＝1.将(1,4)代入方程得1a＋4b＝1，解得a＝bb－4.因为a0，所以b