沙可夫斯基(Sharkovskii)-定理

Sharkovskii定理摘要本文的内容整理自《函数迭代与一维动力系统》，张景中，熊金城，四川教育出版社，1992年2月第1版.设区间I，函数f:I!I，用下面的式子f0(x)=x;f1(x)=f(x);f2(x)=f◦f(x);fn+1(x)=f◦fn(x);n2N;记f的n次迭代，注意联系上下文来理解，不要与乘方运算混淆.Sharkovskii定理将全体正整数作如下排序：3≺5≺7≺9≺


≺2
3≺2
5≺2
7≺2
9≺


≺22
3≺22
5≺22
7≺22
9≺

















≺25≺24≺23≺22≺2≺1;()设f:I!I连续，在上面排序中正整数m位于n之前，如果f有m周期点，那么f就有n周期点.Sharkovskii定理的结论十分有趣，其证明过程也不涉及高深的数学知识，但却很繁琐，难以简化.下面将这个定理的证明过程分解为一些列引理，并将这些引理分为4部分.1周期3的特殊性引理1设f:I!I连续，并且J=[a;b]I.如果f(J)I，那么f在J上有一个不动点.证明因为f(J)I，9c;d2J,f(c)=a且f(d)=b.若c=a或d=b，则a或b就是f的不动点.否则ca且db.令φ(x)=f(x)x，则φ(c)=f(c)c=ac0，φ(d)=f(d)d=bd0，根据零值定理，φ在c与d之间有一个零点，这个点就是f的不动点.引理2设f:I!I连续，J1，J2是I的两个闭子区间.如果f(J1)J2，那么存在子区间K[a;b]，使得f(K)=J2.引理3设f:I!I连续，J0，J1，


，Jn1都是I的闭子区间，并且f(Jj)Jj+1，j=0;1;2;


;n2，还有f(Jn1)J0.那么，至少有一点x02J0，使得fn(x0)=x0，并且fj(x0)2Jj，对j=1;2;


;n1成立.12周期2N的蕴含关系2证明因为f(Jn1)J0，按引理2，有闭子区间Kn1Jn1，使得f(Kn1)=J0.由f(Jn2)Jn1Kn1，又可以找到Kn2Jn2，使得f(Kn2)=Kn1.按照这个步骤，可以找到K0J0，使得f(K0)=K1J1;f2(K0)=K2J2;f3(K0)=K3J3;





fn1(K0)=Kn1Jn1;fn(K0)=f(Kn1)=J0K0;按引理1，9x02K0J0，fn(x0)=x0，fi(x0)2KiJi，i=1;2;


;n1.引理4设f:I!I连续，若f有3周期点，那么对任意n2N+，f有n周期点.证明假设f的3周期轨是fa;b;cg，适当选取a的值，可使得周期轨如下排列：ab=f(a)c=f(b):记J=[a;b]，K=[b;c]，则f(J)K;f(K);c]=J[K:当n=1时，由上式知f(K)K，按引理3，f在K上有一个不动点，即1周期点.当n=2时，f(K)J，f(J)K，按引理3，存在x02K，使得f2(x0)=x0，f(x0)2J.这里必有x0̸=b，否则f(x0)=f(b)=cb=x0;导致矛盾，所以K∋x0/2J，x0是f的2周期点.当n3时，记I0=


=In2=K;In1=J;则f(Ij)Ij+1，j=0;1;2;


;n2，f(In1)I0，按引理3，存在x02I0=K，使得fj(x0)2Ij，j=1;


;n1，fn(x0)=x0.再证明x0的最小周期是n.假如x0的最小周期小于n，则fn1(x0)必属于下述点集U=fx0;f(x0);


;fn2(x0)g;但UK，故fn1(x0)2K，所以K\J=b=fn1(x0)，因此x0=fn(x0)=f(b)=c;a=f(c)=f(x0)2I1=K;导致矛盾，所以x0的最小周期是n.2周期2n的蕴含关系引理5函数f:I!I连续，若f有4周期点，则f有2周期点.2周期2N的蕴含关系3证明设f的4周期轨是O4=fx0;x1=f(x0);x2=f(x1);x3=f(x2)g，为了方便，称x0生成x1，x1生成x2……将O4的元素按从大到小或从小到大的次序排列为y1;y2;y3;y4:用下面的图形来表示O4的元素之间的关系.圆上的4个点表示O4的元素，按圆周的逆时针方向表示生成次序；连接点的直线段表示大小次序，在这里从大到小与从小到大的次序本质上是一样的，所以直线段上的箭头方向并不重要.O4的元素之间的关系只有以下3种情况：(1)情况一，如下图，y4y1y3y2y1y2y3y4考虑闭区间[y1;y2]，[y3;y4]，显然有f([y1;y2])3;y4];f([y3;y4])1;y2];按照引理3，存在z0，满足z02[y1;y2];f(z0)2[y3;y4];f2(z0)=z0;由于[y3;y4]\[y1;y2]=∅，所以z0是f的2周期点.(2)情况二，如下图，y3y1y2y4y1y2y3y4考虑闭区间[y1;y2]，[y2;y4]，[y3;y4]，显然有f([y1;y2])2;y4];f([y2;y4])3;y4];f([y3;y4])1;y3]1;y2];按引理3，存在z0，满足z02[y1;y2];f(z0)2[y2;y4];f2(z0)2[y3;y4];f3(z0)=z0;所以z0是f的3周期点，按引理4，对任意n2N+，f有n周期点，结论成立.(3)情况三，如下图，y3y1y2y4y1y2y3y43周期2N+1的优先性4考虑闭区间[y2;y3]，[y3;y4]，[y1;y2]，显然有f([y2;y3])3;y4];f([y3;y4])1;y4]1;y2];f([y1;y2])2;y3];按引理3，存在z0，满足z02[y2;y3];f(z0)2[y3;y4];f2(z0)2[y1;y2];f3(z0)=z0;由于y22O4，故z0̸=y2，所以z0是f的3周期点，按引理4，对任意n2N+，f有n周期点，结论成立.引理6函数f:I!I连续，n2N+，f有2n周期点，那么f有2;22;


;2n1周期点.证明当n=1时显然结论成立.n=2的情况就是前面的引理5.下面假设n2.设x0是f的2n周期点.因为n2，所以2n=4
2k，k⩾1，故x0是f2k的4周期点.按前一引理，f2k有2周期点z0，即f2k(z0)̸=z0，f2k
2(z0)=z0.考虑下面的点列z0;f(z0);


;f2k(z0);


;f2k
21(z0);显然z0是f的周期点但不是不动点.若z0是f的w周期点且w2k+1，那么因为必然有wj2k+1，故w=2u(u⩽k)，从而fw
2ku(z0)=f2k(z0)=z0，这与f2k(z0)̸=z0相矛盾，所以z0是f的2k+1周期点.若k=1，则x0是f的8周期点，z0是f的4周期点，按前面的引理，f还有2周期点.显然可以对k使用归纳法做来证明结论.3周期2n+1的优先性引理7设f:I!I连续，n⩾1，f有2n+1周期轨Of=fx0;x1;


;x2ng.将Of中的元素按大小重排为：y1y2


y2n+1:记集合Uu;v=fyij1⩽u⩽i⩽v⩽2n+1g，yp=minff(Uu;v)g，yq=maxff(Uu;v)g，定义集合映射f的作用是f(Uu;v)=fyijp⩽i⩽qg=Up;q，那么：9m;l，1m2n，1⩽l2n+1且l̸=m，使得ymf(ym);ym+1f(ym+1);minff(yl);f(yl+1)g⩽ymym+1⩽maxff(yl);f(yl+1)g;即f(fyl;yl+1g)fym;ym+1g:证明因为y1f(y1)，ynf(yn)，所以满足ymf(ym);ym+1f(ym+1)的m是存在的.集合A=fyijf(yi)⩽ymg有m个元素，并且ym+12A.集合C=fyijym+1⩽f(yi)g有nm个元素，并且ym2C.A\C=∅，A[C=U1;2n+1.显然A̸=Um+1;2n+1，否则集合Um+1;2n+1的元素个数等于m，导出2n+1=2m，“奇=偶”，矛盾.同样地C̸=U1;m.所以对于集合A与C来说只有以下两种情况：3周期2N+1的优先性5(a)A与U1;m无公共元素，此时必有A⫋Um+1;2n+1，C\Um+1;2n+1̸=∅，注意到ym+12A，所以存在yl2Um+1;2n+1，使得yl2A，yl+12C，满足l̸=m，f(yl)⩽ym且ym+1⩽f(yl+1)，结论成立；(b)A与U1;m有公共元素，由于ym2C，所以存在yl2U1;m1，使得yl2A，yl+12C，结论也成立.引理8假设条件如同引理7，再假设对Nn，f没有2N+1周期轨，记∆i=fyi;yi+1g，i=1;2;


;2n，还有以下结论：9m;l;1⩽m;l2n+1，l̸=m，s=2n1，存在∆m，∆l满足f(∆l)∆m;∆mf(∆m)f2(∆m)


fs1(∆m)⫆̸∆l;fs(∆m)∆l:并且fi(∆m)的元素个数是2+i，i=1;2;


;2n1，f2n1(∆m)=U1;2n+1=Of.证明根据引理7，存在9m;l;1⩽m;l2n+1，l̸=m，成立着ymf(ym);ym+1f(ym+1);minff(yl);f(yl+1)g⩽ymym+1⩽maxff(yl);f(yl+1)g;所以f(∆l)∆m.因为f(ym+1)⩽ymym+1⩽f(ym);所以∆mf(∆m)，进一步推出f(ym+1)=minff(∆m)g⩾minff2(∆m)g⩾minff3(∆m)g


;f(ym)=maxff(∆m)g⩽maxff2(∆m)g⩽maxff3(∆m)g


;这表明∆mf(∆m)f2(∆m)f3(∆m)


由于Of共2n+1个元素，将f连续作用于∆m，至多作用2n1次即可取遍Of中（除去“ym，ym+1”这2个元素）的其它2n1个元素，即∆m[(2n1∪i=1fi(∆m))=f2n1(∆m)=U1;2n+1=Of;所以存在某个正整数s⩽2n1，使得fs1(∆m)⫆̸∆l，但fs(∆m)∆l，此时显然有fs+1(∆m)∆m.下面证明s=2n1.记minffi(∆m)g=ypi，maxffi(∆m)g=yqi，令集合fi(∆m)对应闭区间Vi=[ypi;yqi]，i=1;2;


;s1.令∆m对应闭区间V0=[ym;ym+1]，于是V0V1V2


Vs1;令∆l对应闭区间Vs=[yl;yl+1]，由于fs1(∆m)⫆̸∆l，即fyijps1⩽i⩽qs1g⫆̸fyl;yl+1g，所以Vs1与Vs至多有一个公共端点而无公共内点.按照映射f的定义有f(Vi)Vi+1;i=1;2;


;s1;f(Vs)V0:3周期2N+1的优先性6假设s2n1，令J0=


=J2ns2=V0，J2ns1=V1，


，J2n3=Vs1，J2n2=Vs，则有f(Ji)Ji+1;i=0;1;2;


;2n3;f(J2n2)J0;按引理3，有x02J0，满足fi(x0)2Ji，i=0;1;2;


;2n2，f2n1(x0)=x02J0.这样就有下述点集x0;f(x0);


;f2n2(x0);因为f2n1(x0)=x0，因此x0/2Of，所以x0不是J0的端点，故Jn2∋f2n2(x0)/2J0，所以上述点集中的点两两不同，是f的一个2n1周期轨，这与已知条件矛盾，所以s=2n1.因为fs1(∆m)⫆̸∆l，所以fs1(∆m)̸=fs(∆m).如果fi(∆m)=fi+1(∆m)，就有fi(∆m)=fi+1(∆m)=fi+2(∆m)=fi+3(∆m)=


所以∆mf(∆m)