2015年中考数学总复习：相似三角形及其应用最新版

第21课时相似三角形及其应用第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦考点聚焦归类探究回归教材考点1相似图形的有关概念第21课时┃相似三角形及其应用考点2比例线段考点聚焦归类探究回归教材5－12ab＝cd两第21课时┃相似三角形及其应用考点3平行线分线段成比例基本事实考点聚焦归类探究回归教材1．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段________．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段________．成比例成比例第21课时┃相似三角形及其应用考点4相似三角形的判定考点聚焦归类探究回归教材相似相似夹角第21课时┃相似三角形及其应用考点5相似三角形的性质考点聚焦归类探究回归教材1．相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比．2．相似三角形对应线段的比等于相似比．3．相似三角形周长的比等于相似比．4．相似三角形面积的比等于相似比的平方．第21课时┃相似三角形及其应用考点6位似考点聚焦归类探究回归教材相似比一平行第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用考点7相似三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1.比例线段；2.黄金分割在实际生活中的应用；3.平行线分线段成比例基本事实．探究一比例线段归类探究第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材例1[2013·上海]如图21－1，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于()A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．2∶5图21－1第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材A第21课时┃相似三角形及其应用解析先由AD∶DB＝3∶5，求得BD∶AB，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例基本事实，可得CE∶AC＝BD∶AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例基本事实，可得CF∶CB＝CE∶AC，则可求得答案．具体解题过程如下：∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8.∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8.∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.故选A.考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．利用相似三角形的性质求角的度数；2．利用相似三角形的性质求或证明比值关系．探究二相似三角形的性质及其应用第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材例2[2014·绍兴]课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少mm?小颖解得此题的答案为48mm.小颖善于反思，她又提出了如下的问题：图21－2第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图21－3①，此时，这个矩形零件的两条边长又分别是多少mm？请你计算．(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图21－3②，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．①②图21－3第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材解：(1)∵四边形PNMQ是矩形，∴PN∥QM.∴△APN∽△ABC，∴PNBC＝AEAD.设PQ＝ED＝x，则PN＝2x，AE＝80－x.∴2x120＝80－x80.解得x＝2407，2x＝4807.答：这个矩形零件的两条边长分别是2407mm和4807mm.第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材(2)∵四边形PNMQ是矩形，∴PN∥QM.∴△APN∽△ABC，∴PNBC＝AEAD.设PQ＝ED＝x，则AE＝80－x.∴PN120＝80－x80，即PN＝80－x80·120＝3（80－x）2.∴S矩形PNMQ＝PN·PQ＝3（80－x）2·x＝－32x2＋120x＝－32(x－40)2＋2400.∴当x＝40时，S矩形PNMQ有最大值2400.此时PN＝3（80－40）2＝60(mm)．∴这个矩形面积达到最大值时矩形零件的两条边长分别为40mm和60mm.命题角度：1．利用两个角判定三角形相似；2．利用两边及夹角判定三角形相似；3．利用三边判定三角形相似．探究三三角形相似的判定方法及其应用第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材例3[2014·扬州改编]已知矩形ABCD的一边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处．(1)如图21－4，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边AB的长．(2)若图中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数．图21－4第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材解：(1)①证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠C＝∠B＝90°.由题意知∠APO＝∠B＝90°，∴∠DPA＋∠CPO＝90°.又∵∠DPA＋∠DAP＝90°，∴∠CPO＝∠DAP.又∵∠C＝∠D，∴△OCP∽△PDA.第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材②∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，∴PCDA＝12.∵AD＝8，∴PC＝4.设AB＝x，则AP＝AB＝CD＝x.∴DP＝x－4.在Rt△PDA中，根据勾股定理，得AD2＋DP2＝AP2，即(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10.∴边AB的长为10.第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材(2)∵点P是CD边的中点，∴DP＝12CD.∵AB＝CD＝AP，∴DP＝12AP，∴∠DAP＝30°.∵∠DAB＝90°，∴∠PAB＝60°，由折叠的性质知∠OAB＝12∠PAB＝30°.第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材基本图形相似三角形的基本图形(1)如图21－5所示，称为“平行线型”的相似三角形．图21－5(2)如图21－6所示，其中∠1＝∠2，称为“相交线型”的相似三角形．图21－6第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材(3)如图21－7所示，∠1＝∠2，∠B＝∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形．图21－7(4)如图21－8所示，称为“一线三等角型”的相似三角形．图21－8命题角度：1．位似图形及位似中心的定义；2．位似图形的性质应用；3．利用位似变换在网格纸里作图．探究四位似第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材例4[2014·武汉]如图21－9，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)．以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C的坐标为()A．(3，3)B．(4，3)C．(3，1)D．(4，1)图21－9A第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材方法点析利用位似将图形放大或缩小的作图步骤：(1)在原图上选取关键点若干个，并在原图外任取一点P；(2)以点P为端点向各关键点作射线；(3)分别在射线上取关键点的对应点，满足放缩比例；(4)顺次连接截取点，即可得到符合要求的新图形．命题角度：1．圆中的相似计算；2．圆中的相似证明．探究五相似三角形与圆第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材例5[2014·成都改编]如图21－10，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是AC︵上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，AP︵＝BP︵，求PD的长．图21－10第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材解：(1)证明：连接PB.∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠PAB＋∠PBA＝90°.∵AE⊥CD，∴∠PBA＝∠AFE.∴∠PAB＋∠AFE＝90°.∵∠ABP＝∠ACP，∴∠AFE＝∠ACP.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材(2)在Rt△ABC中，AC＝2BC，AB＝5，由勾股定理，得AC＝25，BC＝5.∵S△ABC＝12AB·CE＝12AC·BC，∴CE＝2，可得AE＝4.当AP︵＝BP︵时，有PA＝PB，则△ABP为等腰直角三角形，∴∠PAB＝45°，AP＝22AB＝522.∵EF⊥AB，∠PAB＝45°，∴EF＝AE＝4.由垂径定理，得DE＝CE＝2，则DF＝DE＋EF＝6.由(1)，知△PAC∽△PDF，得PDPA＝DFAC，故PD＝DF·PAAC＝6×52225＝3102.回归教材第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材“直角三角形斜边上的高”的模型作用教材母题——人教版九下P36T2如图21－11，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证：(1)△ACD∽△ABC；(2)△CBD∽△ABC.图21－11第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材证明：(1)∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△ABC.(2)∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠A＝∠BCD.又∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴△CBD∽△ABC.第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材[点析]根据此题，可以得到一个结论“直角三角形斜边上的高将三角形分成两个与原三角形相似的直角三角形”．第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材中考预测1．如图21－12，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有________．①∠A＋∠B＝90°；②AB2＝AC2＋BC2；③ACAB＝CDBD；④CD2＝AD·BD.图21－12①②④第21课时┃相似三角形及其应用考点聚焦归类探究回归教材2．如图21－13，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝________m.图21－135.5第21课时┃相似三角形及其应用解析∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BCEF＝DCDE.∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝8m，∴BC0.2＝80.4，解得BC＝4m，∴AB＝AC＋BC＝1.5＋4＝5.5(m).考点聚焦归类探究回归教材现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐，可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧一本自