球面波

1.2.4球面波波面为球面的波被称为球面波。简谐平面波是描述光波的基本模型。虽然任意复杂波可以用简谐平面波的叠加来描述，但有些两种特殊波面（比如球面波）的光波可用更简洁的数学式来描述。理想点光源发出的波为球面波。一个在真空或各向同性介质中的理想点光源，它向外发射的光波是球面光波，等相位面是以点光源为中心、随着距离的增大而逐渐扩展的同心球面。1.球坐标系中的波动微分方程球面波具有球对称性，在球坐标系中，球面波的波函数只与r有关，与θ和φ无关。所以：2222),(1),(ttrEtrE222)],([1),(rtrrErtrE在球坐标系中，有：代入上式，有：22222)],([1)],([ttrrErtrrE其通解：)(1)(1),(21trBrtrBrtrE向原点会聚从原点发散规定速度v的正负表示波的传播方向，球面波的波函数可进一步简化为：)(1),(trBrtrE2.简谐球面波当波函数为正弦或余弦形式时，对应的球面波称为简谐球面波。简谐球面波的波函数：])(cos[1),(00trkErtrE简谐球面波的复指数描述：)](exp[1),(00tkrjErtrE简谐球面波的复振幅：)](exp[1),(00krjErtrE2.简谐球面波参量的特点])(cos[1),(00trkErtrE（1）振幅振幅不是一个常量，它随r增加而减小；但在r相同的球面上，振幅是均匀的。E0是一个常量，代表r=1处的振幅，表征振动源的强弱，称为源强度。简谐球面波振幅的这个特点是能量守恒定律所要求的。（2）相位简谐球面波的相位是：0tkr说明v是沿球面径向的位相传播速率。当等相位面自球心向外传播时v0,称为发散球面波，当等相面向球心会聚时v0，称为会聚球面波。K仍为波数：2k±代表发散和会聚球面波。由于球面波振幅随r增大而减小，故严格说来：球面波波函数不成现严格的空间周期性。3.简谐球面波在平面上的近似表达式在光学中，通常要求解光波在某个平面上的复振幅分布。),,(000zyxSxyzO0r)0,,(yxP202020)()(zyyxxr),,(000zyxSxyzO0r)0,,(yxP)](exp[)(00krjrErE将r代入上式，并设光源的初相为0，}])()[(exp{])()[()(21202020212020200zyyxxjkzyyxxErE将r做泰勒展开：...8])()[(2)()(3022020020200zyyxxzyyxxzr考虑到很小,2020)()(yyxx振幅中的r可用代替：0z}])()[(exp{)(2120202000zyyxxjkzErE相位中的r取更高一级的近似：0202002)()(zyyxxzr这样，我们得到x－y平面上复振幅的分布：]})()[(2exp{)exp(),(20200000yyxxzkjzjkzEyxE考虑到符号的规定：0,00zk发散球面波。0,00zk会聚球面波。可将绝对值符号去掉：]})()[(2exp{)exp(),(20200000yyxxzkjjkzzEyxE其中k=2π/λ只用z0的正负表示球面波的会聚与发散。1.3平面光波的性质1.3.1平面光波的横波特性。设沿Z轴方向传播的平面光波的电场和磁场为：tkzjtkzjeHHeEE001)平面光波的电场矢量和磁场矢量均垂直于波矢方向（即传播方向）称为横电磁波。2)电场矢量，磁场矢量和波矢构成右手直角坐标系统。3)在各向同性介质中，平面光波的波矢方向与能流方向相同。4)在各向同性介质中，电场和磁场同相位。综上所述，可以将一个沿Z方向传播，电场矢量限于XOZ平面的电磁场矢量关系，绘图所示。1.3.2光波的矢量特性。平面光波是横波（TEM波），其光矢量的振动方向与光波传播方向垂直。在垂直传播方向的平面内，电场强度矢量还可能存在各种不同的振动方向，称之为光的偏振。不同的偏振态的光波具有不同的性质。我们将光振动方向相对光传播方向不对称的性质称为光波的偏振特性。波的偏振性是横波区别于纵波的一个最明显的标志。根据光波在垂直于传播方向的平面内，光矢量振动方向相对光传播方向是否具有对称性，可将光波分为自然光和偏振光。根据空间任一点光电场的矢量末端在不同时刻和轨迹不同，其完全偏振光的偏振态又可分为线偏振、圆偏振和椭圆偏振。具有不对称性的偏振光又根据光波的偏振程度分为完全偏振光和部分偏振光。1）自然光（非偏振光）由普通光源发出的光波都不是单一的平面偏振光，而是许多光波的总和：它们具有一切可能的振动方向，在各个振动方向上振幅在观察时间内的平均值相等，初相位完全无关，这种光称为非偏振光，或称自然光。2）线偏振光在光的传播方向上,各点的光矢量在确定的平面内，这种光称为平面偏振光。也由于在垂直于传播方向的平面内，平面偏振的光矢量端点的轨迹为一直线，又称为线偏振光。振动面vE符号表示3）圆偏振光与椭圆偏振光传播方向相同、振动方向相互垂直、相位差恒定的两线偏振光叠加（或组合）可合成光矢量有规则变化的圆偏振光或椭圆偏振光。4）部分偏振光如果由于某种外界作用，使自然光的某个振动方向上的振动比其它方向占优势，就变成部分偏振光。部分偏振光可以看作是完全偏振光和自然光的混合。部分偏振光可以用相互垂直的两个光矢量表示，这两个光矢量的振幅不相等，相位关系也不确定的。偏振度：表征光的偏振程度。偏振度的定义为在全部光的总强度中偏振光所占的比例，即：总IIPp1.3.3电场波和磁场波之间的关系电矢量和磁矢量互相垂直,、和波矢三者满足右手右手系。EBk由麦克斯韦方程组可进一步得出电场和磁场之间的数值关系：BncBBE11.3.4平面电磁波的能量传播特性1.能流密度矢量由电磁学可知，电磁场的能量密度：22121EEDuE22121BHBuM电磁波总的能量密度：MEuuu对于电磁波有：BE所以电磁波总的能量密度：221BEu电磁波以波速为v，单位时间内垂直穿过单位面积的能量：21EEBuS考虑到能量传播的方向，定义能流密度矢量（坡印廷矢量）：BES12.电磁场的能量定律（略）3.光强在实际上都利用能流密度的时间平均值〈S〉表征光电磁场的能量传播，并称〈S〉为光强，以I表示。假设光探测器的响应时间为T，则：TSdtTS012021ESI可以看出，在均匀透明的介质中，平面电磁波的强度正比于电场振幅的平方。在多数场合，我们往往只关心光强的相对分布，因此可以直接用电场振幅的平方表示光强，而略去比例系数：2*EEEI4.辐照度辐照度的定义：接收器上单位面积在单位时间内接收到的电磁辐射能量。cosIL