矩阵的秩及初等变换

第六节、矩阵的初等变换和秩三、矩阵的秩一、消元法解线性方程组的过程．二、矩阵的初等变换四、矩阵的秩的求法本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．内容丰富，难度较大.引例)1(一、消元法解线性方程组求解线性方程组,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元法解下列方程组的过程．2解)(1B)1()(2B2132,97963,232,22,424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx134221323314,3433,6355,0222,424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(3B)(4B,3,62,0,42444324321xxxxxxxxx1342522133422,00,3,0,4244324321xxxxxxxx134232443用“回代”的方法求出解：于是解得33443231xxxxx.3为任意取值其中x方程组的解可记作或令,3cx,3344321cccxxxxx.为任意常数其中c30340111cx即（2）小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．ij（与相互替换）（以替换）ikij（以替换）iki3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．ji)(A若),(B)(B则);(Ajik)(A若),(Bji)(A若),(Bik)(B则);(Aik)(B则).(Akji因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记97963422644121121112)(bAB则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:）；记作两行对调两行（对调jirrji,,1;02乘以某一行的所有元素以数k）记作行乘（第krkii,.3）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的jikrrikjk二、矩阵的初等变换定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．jirrkri逆变换;jirr逆变换;)1(krkrii或jikrr逆变换.)(jijikrrrkr或等价关系的性质：；反身性）（AA1A;B,BA2则若对称性）（C.AC,BB,A3则若）传递性（．等价，记作与就称矩阵，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵BABABA~具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换解方程组（1）：97963422644121121112B197963211322111241211B21rr23r331000620000111041211B979632113221112412111B13322rrrr143rr234330635500222041211B13322rrrr143rr23252rrr243rr500000310003011040101B310006200001110412113B43rr342rr400000310000111041211B43rr342rr21rr32rr对应的方程组为5B33443231xxxxx方程组的解可记作或令,3cx3344321cccxxxxx30340111c.为任意常数其中c.54都称为行阶梯形矩阵和矩阵BB特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；500000310003011040101B（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．.15的其他元素都为零列，且这些非零元所在的零行的第一个非零元为即非还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵B.,Anm和行最简形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行对于任何矩阵注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．000003100030110401015B214ccc3215334cccc例如，F000000010000010000010000030100310104100143cc00000301003001040001.的标准形称为矩阵矩阵BF.为零阵，其余元素全的左上角是一个单位矩F标准形总可经过初等变换化为矩阵AnmnmrOOOEF.,,的行数行阶梯形矩阵中非零行就是三个数唯一确定，其中此标准形由rrnm特点：所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.AF.,数是唯一确定的梯形矩阵中非零行的行梯形，行阶把它变为行阶变换总可经过有限次初等行任何矩阵nmA.,,12阶子式的称为矩阵阶行列式，的中所处的位置次序而得变它们在不改元素处的个），位于这些行列交叉列（行中任取矩阵在定义kAkAknkmkkkAnm三、矩阵秩的概念矩阵的秩..)(0102等于零并规定零矩阵的秩的秩，记作称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵，那末于）全等阶子式（如果存在的话，且所有式阶子的中有一个不等于设在矩阵定义ARArADrDkA.)(子式的最高阶数中不等于零的是的秩矩阵AARAnm，对于TA).()(ARART显有.个阶子式共有的矩阵knkmCCkAnm例1.174532321的秩求矩阵A解中，在A，阶子式只有一个的又AA3.03221，且0A.2)(AR例2.00000340005213023012的秩求矩阵B解行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零的所有B,0400230312而.3)(BR例3，求该矩阵的秩．已知510231202231A,022031102120231502320231解计算A的3阶子式，,0,0510312223512310221,0,0.0.2AR做初等变换，对矩阵510231202231A另解,000031202231~510231202231显然，非零行的行数为2，.2AR此方法简单！.,梯形等行变换把他变为行阶总可经过有限次初因为对于任何矩阵nmA问题：经过变换矩阵的秩变吗？.,~1BRARBA则若定理证四、矩阵秩的求法).()(BRARBA则，经一次初等行变换变为先证明：若.0)(rDrArAR阶子式的某个，且设时，或当BABAkrrriji时，分三种情况讨论：当BAjikrr,.rrDDB相对应的子式中总能找到与在,rrrrrrkDDDDDD或或由于.)(0rBRDr，从而因此行；行但不含第中含第）（行；行和第中同时含第）（行；中不含第）（jiDjiDiDrrr321.)(,0)2(),1(rBRDDDBrrr故子式对应的中与两种情形，显然对，对情形)3(,ˆrrjijirDkDrkrkrrD,0ˆrD若,ˆ非零子式阶行的中有不含第行知中不含第因riAiDr.)(rBR,0ˆrD若).()(BRARBA，则经一次初等行变换变为若,AB为也可经一次初等变换变又由于.)(,0rBRDDrr也有则).()(BRAR因此).()(ARBR故也有经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．).()(,BRARBA也有经初等列变换变为设,BA经初等列变换变为设).()(),~(,BRARBABA则即经有限次初等变换变为若综上,TTBA经初等行变换变为则),()(TTBRAR),()(),()(TTBRBRARAR且).()(BRAR证毕初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4．的一个最高阶非零子式秩，并求的求矩阵设AAA,41461351021632305023阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行对A解41461351021632305023A0502335102163234146141rr41461351021632305023A050233510211340414614241rrrr128121601179120113404146141461351021632305023A4241rrrr141332rrrr8400084000113404146100000840001134041461由阶梯形矩阵有三个非零行可知.3)(AR233rr244rr34rr.的一个最高阶子式求A,3)(AR.3阶的最高阶非零子式为知A阶子式共有的3A.403534个CC阶梯形矩阵为的行则矩阵记),,(),,,,,(42154321aaaBaaaaaA的行阶梯形矩阵，考察A000400140161,3)(BR的前三行构成的子式计算B.3阶非零子式中必有故B.4个且共有6235025231106502523116522.016则这个子式便是的一个最高阶非零子式.A，阶可逆矩阵设An,0A,AA的最高阶非零子式为,)(nAR.~,EAEA的标准形为单位阵故.为满秩矩阵，故称可逆矩阵可逆矩阵的秩等于阶数.奇异矩阵为降秩矩阵例54321