复数几何意义

知识回顾1、复数的概念：形如______________的数叫做复数，a，b分别叫做它的_____________。为纯虚数实数非纯虚数2、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i相等的充要条件是_____________。a1=a2，b1=b2a+bi(a，b∈R)实部和虚部a=0,b≠0b=0a≠0,b≠01.对虚数单位i的规定①i2=-1；②可以与实数一起进行四则运算.2.复数z=a+bi(其中a、bR)中a叫z的、b叫z的.实部虚部z为实数、z为纯虚数.b=000ba练习:把下列运算的结果都化为a+bi（a、bR）的形式.2-i=；-2i=；5=；0=；3.a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的条件.必要但不充分课前复习练习巩固:1.已知(12)(310)56ixiyi且,xyR,则___,____xy;2.已知226(56)0xxxxi()xR,则___.x216特别地，a+bi=0.4.已知x、yR，(1)若(2x-1)+i=y-(3-y)i，则x=、y=；(2)若(3x-4)+(2y+3)i=0，则x=、y=.想一想练一练433-2524==ａb0在几何上，我们用什么来表示实数?实数的几何意义类比实数的表示，可以用什么来表示复数？实数可以用数轴上的点来表示.实数数轴上的点(形)(数)一一对应复数的一般形式？Z=a+bi(a,b∈R)实部!虚部!一个复数由什么唯一确定？４３６５O２１思考1：复数与点的对应XY（１）２+５i；（２）－３+２i；（３）２－４i；（４）－３－５i；（５）５；（６）－３i；GACFOEDBH思考2：点与复数的对应(每个小正方格的边长为1)XY复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数平面(简称复平面)一一对应z=a+bi复数的几何意义（一）(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.例1.辨析：1．下列命题中的假命题是（）D3．“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的（）.(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)不充分不必要条件2．“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数”的（）.(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)不充分不必要条件CA例2已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.表示复数的点所在象限的问题复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题转化(几何问题)(代数问题)一种重要的数学思想：数形结合思想020622mmmm解：由1223mmm或得)2,1()2,3(m变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值.解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，∴m=1或m=-2.复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应平面向量OZ一一对应一一对应复数的几何意义（二）xyobaZ(a,b)z=a+bi小结xOz=a+biy复数的绝对值(复数的模)的几何意义:Z(a,b)22ba对应平面向量的模||，即复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.OZOZ|z|=||OZ小结实数绝对值的几何意义:复数的模其实是实数绝对值概念的推广xOAa|a|=|OA|实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离.aaaa(0)(0)≥xOz=a+biy|z|=|OZ|复数的模复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.的几何意义:Z(a,b)ab22例3求下列复数的模：(1)z1=-5i(2)z2=-3+4i(3)z3=5-5i(2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？思考：(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？(4)z4=1+mi(m∈R)(5)z5=4a-3ai(a0)这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？小结xyO设z=x+yi(x,y∈R)满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？55–5–55||22yxz以原点为圆心,半径为5的圆.图形:5xyO设z=x+yi(x,y∈R)满足3|z|5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？55–5–53–3–335322yx25922yx图形:以原点为圆心,半径3至5的圆环内(1)|z－(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|例5已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.点A到点(1,2)的距离点A到点(－1,－2)的距离(3)|z－1|(4)|z+2i|点A到点(1,0)的距离点A到点(0,－2)的距离已知复数m=2－3i,若复数z满足等式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?以点(2,－3)为圆心,1为半径的圆.小结:复数的几何意义是什么？复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应平面向量OZ一一对应一一对应复数的几何意义复数还有哪些特征能和平面向量类比?xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)符合向量加法的平行四边形法则.1.复数加法运算的几何意义?复数加减法运算的几何意义xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则.2.复数减法运算的几何意义?|z2-z1|表示什么?表示复平面上与这两个复数对应的两点之间的距离一、复数和复平面复数Z=a+bi复平面内的点Z(a,b)OZ平面向量一一对应一一对应一一对应).|||(|||||)(|;|||||||||)(;)(|;|||||)(22212212212121212121212124321zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz.||:)(;||||)(;||||||||)(0222222321zzdzzbazzzzzz距离公式二.复数的模1.结论2.性质zbabiazr22复数的加减法可以按照向量的加减法法则来进行.二.复数加法与减法运算的几何意义复数加减法的运算的几何意义xy0QPRSZ1Z2ZxyZ1Z20二.复数加法与减法运算的几何意义2.用复数表示圆心在点P(a,b)，半径为r的圆的方程:|z-(a+bi)|=r1.用复数表示圆心在原点，半径为r的圆的方程:|z|=r3.设复平面内的点,分别对应复为,.Z1Z2则线段垂直平分线的方程是：Z1Z2Z1Z2|z-z1|=|z–z2|4.根据复数的几何意义及向量表示，将椭圆，双曲线分别写成复数方程的形式。|Z-z1|+|Z-z2|=2a，其中z1,z2为焦点二.复数加法与减法运算的几何意义)(012222babyax),(012222babyax||Z-z1|-|Z-z2||=2a，其中z1,z2为焦点复平面上曲线方程的形式rrzz0)1(0z表示以为圆心,以为半径的圆的方程.的垂直平分线的方程.21ZZ表示线段12(3)zzzz0(2)zzr0z表示以为圆心,r为半径的圆的内部(开圆域).102(4)rzzr表示以.,10小于大于或等于为圆心rz的封闭圆环或等于2ra)20(22121ZZaazzzz(6)21,ZZ表示以为焦点,实轴长为2的双曲线方程,表示以21,ZZ212ZZa若为端点的两条射线的方程.为端点的线段的方程.122aZZ若21,ZZ表示以21,ZZ)2,0(22121ZZaaazzzz(5)表示以为焦点,长轴为的椭圆方程.a2复平面上曲线方程的形式例题选讲例1在复平面内,求满足下列复数形式的方程的动点Z的轨迹...;.;.122342211zziziziziz对应的复数。求点＋三点对应的复数分别是形，是复平面内的平行四边四边形例DiiiCBAABCD,,,,,2312线段的中垂线椭圆双曲线的一支的最小值是多少？那么满足如果复数例123izizizz,例题选讲Z的轨迹是线段AB,A(0,-1),B(0,1),最小值为1.3例4已知虚数的模是,求的最大值.),()(Ryxyix23xy例题选讲例5若复数z满足,求(1)的最值;(2)的最值.13izz2211zz(1)1,3(3)3+2-2i=122izz（3）若，求的最小值。(2)4,20xy0CZ2Z1解:∵Z+2-2i=Z-(-2+2i)C及其内部各点到原点的距离，要使|Z|取得最大值与最小值的点就是OC与圆C的两个交点。∴满足|Z+2-2i|≤1所对应的点Z，组成以C(-2,2)点的内部(如图),|Z|就是圆为圆心，以r为半径的圆例题选讲例4如果复数Z满足|Z+2-2i|≤1，求|Z|的最大值与最小值及相应的复数Z.解方程组y=-x(x+2)²+(y+2)²=1(-,)得点的坐标是(-,)，点的坐标是Z1322322Z22222∴当Z=-+i时，|Z|=3；322322max当Z=-+i时，|Z|=1；min2222直线OC的方程是y=-x，圆C的方程是(x+2)²+(y+2)²=1xy0CZ2Z1