微专题：立体几何中的动态问题

微专题:立体几何中的动态问题题型一立体几何中动态问题中的距离、角度问题例题1.如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】设的中点为，连，因，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，所以，，所以，即，也即，由此可得，结合可得，所以，则，即，应选答案B。求两点间的距离或其最值。一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值。例题2.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.【答案】，当时取等号.所以，当时，取得最大值.【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值。当点M在P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小时，点M到达点Q时，角最小，余弦值最大。题型二立体几何中动态问题中的轨迹问题例题3.设P是正方体1111ABCDABCD的对角面11BDDB（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面1ABA、平面1ADA的距离相等，则符合条件的点P（）A.仅有一个B.有有限多个C.有无限多个D.不存在【答案】A【解析】解：与平面1,ABCABA距离相等的点位于平面1111ABCD上；与平面1,ABCADA距离相等的点位于平面11ABCD上；与平面11,ABAADA距离相等的点位于平面111ACCA上；据此可知，满足题意的点位于上述平面1111ABCD，平面11ABCD,平面111ACCA的公共点处，结合题意可知，满足题意的点仅有一个.本题选择A选项.点睛：本题考查点到平面的距离，利用点到直线的距离将平面问题类比到空间中点到面的距离，据此找到满足题意的点是否存在即可.例题4.如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线【答案】B【解析】由于线段AB是定长线段，而△ABP的面积为定值，所以动点P到线段AB的距离也是定值．由此可知空间点P在以AB为轴的圆柱侧面上．又P在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P的轨迹就是圆柱侧面与平面a的交线．例题6.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为3，长为2的线段MN点一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为．【答案】π6【解析】由于M、N都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P的几何性质，连结DP，因为MN=2，所以PD=1，因此点P的轨迹是一个以D为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，即1843163．题型三立体几何中动态问题中的面积、体积问题例题5.在棱长为6的正方体中，是中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（）A.36B.C.24D.【答案】B例题6.如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E为棱1CC的中点，点,PQ分别为面1111ABCD和线段1BC上的动点，则PEQ周长的最小值为_______．【答案】10【解析】将面1111ABCD与面11BBCC折成一个平面，设E关于11BC的对称点为M，E关于1BC对称点为N,则PEQ周长的最小值为23110MN.巩固练习：1.如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（）A．21B．22C．23D．25【答案】B【解析】在上取点，使得，则面，连结，则．在平面上，以所在直线为轴，以所在直线为轴，由题意可知，点轨迹为抛物线，其方程为，点坐标为，设，则（其中，当时，，故．2、如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C试题分析：∵，，，，∴，同理：．∴为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角，∴，又，∴，∴．在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，．设，（）∴，整理得．∴点在平面内的轨迹为以为圆心，以为半径的上半圆．∵平面平面，，，∴为二面角的平面角．∴当与圆相切时，最大，取得最小值．此时，，，∴．．故选：C．3.在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PEAC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能的是()【答案】A【解析】如图，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD．设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是△SCD的中位线FG．由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC．又∵EG∥SB∴EG⊥AC∴AC⊥平面EFG，∵P∈FG，E∈平面EFG，∴AC⊥PE．4.已知正方体1111DCBAABCD的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线11DA的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．直线【答案】B【解析】简析：如图4，以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系．设P（x，y），作ADPE于E、11DAPF于F，连结EF，易知1x|EF||PE||PF|2222又作CDPN于N，则|1y||PN|．依题意|PN||PF|，即|1y|1x2，化简得0y2yx22故动点P的轨迹为双曲线，选B．5.若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是：（D）AAAAPPPPBCBCBCBCABCDPPPPSCDSCDSCDSCDA．B．C．D．ABCDEFGPOMNS【答案】D【解析】动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，则点P在ABC的内角平分线上．现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在ABC的内角平分线与AB之间的区域内．只能选D．6.已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA面AC，在BC边上取点E，使PEDE，若满足条件的E点有两个时，a的取值范围是多少？解析：连结AE，由三垂线逆定理可知DEAE，要使满足条件的E点有两个则须使以AD为直径的圆与BC有两个交点，所以半径长3,62aa。7.如图，正三棱锥S-ABC的底面边长为2a，E、F、G、H分别为SA,SB,CB,CA的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围是（）A.(0，)B.（233a，）C.（236a，）D.（212a，）解析：因为E、F、G、H分别为SA,SB,CB,CA的中点，11//,//22EFABHGAB，//EFHG，同理，//EHFG，所以EFGH为平行四边形，又S-ABC为正三棱锥，SCAB，//,//EFABFGSC，所以EFFG，从而四边形EFGH为矩形，其面积S=12GHGFaSC，当正三棱锥的高0时，SC正三角形ABC的外接圆的半径233a，所以四边形EFGH的面积233a，选B.点评：有时变量的变化过程无法达到确定的端点位置，而端点的情况恰好影响着问题的思考，此时可以利用极限的思想来考虑运动变化的极限位置。8.在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（）A．36B．C.D．【答案】A【解析】因为平面，由，同理平面，则，所以，下面研究点在面内的轨迹（立体几何平面化），在平面直角坐标系内设，设，因为，所以，化简得，该圆与的交点的纵坐标最大，交点坐标，三棱锥的底面的面积为，要使三棱锥的体积最大，只需高最大，当在上时，棱锥的高最大，，故选A.9.如图，，平面，交于，交于，且，则三棱锥体积的最大值为．【答案】【解析】因为平面，所以,又，,又因为,所以平面,所以平面平面,，平面平面,所以平面,所以,所以平面,由可得，所以,所以三棱锥体积的最大值为.