8.6.2圆的一般方程

§8.6.2圆的一般方程2.确定一个圆的标准方程的条件1.圆的标准方程圆心坐标和半径长以C(a，b)为圆心,r为半径的圆的方程是222()()xaybr3.求一个圆的标准方程的方法①求出圆心坐标和半径长；②待定系数法4.回答下列问题(1)以原点为圆心,半径为3的圆的方程是．(2)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的圆心坐标是，半径是．922yx)2,1(502222222rbabyaxyxrbyax2)(2)(2想一想,若把圆的标准方程:展开后,会得出怎样的形式？得令FEbDarba222,2,2结论:任何一个圆的方程都是二元二次方程.220DxEyFyx由于a,b,r均为常数220DxEyFyx再想一想,是不是任何一个形如:的二元二次方程表示的曲线都是圆呢?将上式配方整理可得2222.44()()22DEFDExy,04)1(22时当FED220(,)22DEDxEyFyx表示点方程220.DxEyFyx不表示任何图形方程2222(,)220142DEDEFDxEyFyx表示以点为圆心，方程为半径的圆.22(2)40,DEF当时22(3)40,DEF当时结论:所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2+E2-4F0)可表示圆的方程.2222.44()()22DEFDExy圆的一般方程：圆的一般方程与标准方程的关系:(2)没有xy这样的二次项(2)标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点：(1)x2与y2系数相同即系数可化为1不等于0；(1)a=-D/2,b=-E/2,r=22142DEF(x-a)2+(y-b)2=r222224)()224DEDEFxy（22220(40)xyDxEyFDEF例1、把圆的标准方程(x+1)2+(y–2)2=1化为一般方程.解:左边展开,得x2+2x+1+y2–4y+4=1,整理，得x2+y2+2x–4y+4=0.把下列圆的标准方程化为一般方程.(1)(x–3)2+(y+5)2=16(2)(x+4)2+(y–6)2=252224110xyxy例2、方程是圆的方程吗?若是,求出圆心坐标和半径.解:(法1)配方得,∴该方程表示圆，圆心是(1，–2)，半径是4.2224111144xxyy即22(1)(2)16xy移项,得222411xyxy(法2)∵D=–2，E=4，F=–11，D2+E2–4F=4+16+44=64＞0,∴该方程表示圆,圆心是(1,–2),1,2,22DE22144,2DEF半径是4.哪种方法好一些？判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径.(1)x2+y2-2x+4y-4=0(2)2x2+2y2-12x+4y=0(3)x2+2y2-6x+4y-1=0(4)x2+y2-12x+6y+50=0(5)x2+y2-3xy+5x+2y=0是圆心(1,-2)半径3是圆心(3,-1)半径10不是不是不是(6)x2+y2+2ax-b2=0(a,b均不为0).0,0,0,.,0,,0,622表示原点时同时为当的圆半径为表示圆心为时不同时为当babaabaxyOEA(5,1)B(7,-3)C(2,-8)例3、求过三点A(5,1),B(7,–3),C(2,–8)的圆的方程.解:(法1)2,ABkAB中点坐标为(6,1),∴AB中垂线方程为：11(6),2yx1,BCkBC中点坐标为911(,),22∴BC中垂线方程为：1191(),22yx解①②组成的方程组,得圆心E(2,3),用两点间距离公式求出半径为5，所以,圆的方程为22(2)(3)25.xy22222251507(3)7302(8)280DEFDEFDEF4612DEF22220(40)xyDxEyFDEF2246120xyxy设所求圆的方程为：例3、求过三点A(5,1),B(7,–3),C(2,–8)的圆的方程.解:(法2)∵A(5,1)，B(7,–3)，C(2,–8)都在圆上,所以，圆的方程为22(2)(3)25.xy即待定系数法设所求圆的方程为：222()()(0)xaybrr∵A(5,1)，B(7,–3)，C(2,–8)都在圆上,222222222(5)(1)(7)(3)(2)(8)abrabrabr235abr例3、求过三点A(5,1),B(7,–3),C(2,–8)的圆的方程.解:(法3)所以，圆的方程为22(2)(3)25.xy何时采用何种方法较为简便？待定系数法1.已知△ABC的三个顶点坐标为A(－1,5)、B(－2,－2)、C(5,5),求其外接圆的方程.2.求经过三点(0,0)、(3,2)、(－4,0)的圆的方程.例4、已知圆的方程为(1)求圆心C的坐标和圆的半径r;(2)判断点A(1,–2)、B(–1,3)与该圆的位置关系.024222yxyx解:(1)因为D=2,E=–4,F=2,所以,–D/2=–1,–E/2=2,即圆心坐标为C(-1,2)又因为324)4(2214212222FEDr即圆的半径为3(2)因为,352)]2(2[)11(||22AC所以点A在圆外.因为,31)32()]1(1[||22BC所以点B在圆内.已知圆的方程为(1)求圆心C的坐标和圆的半径r;(2)判断点A(1,0)、B(7,－3)、D(0,0)与该圆的位置关系.0822xyx例5、求与2x2+2y2–16x=0是同圆心圆,且半径为2的圆一般方程.解:展开整理,得x2+y2–8x+12=0.配方,化为标准方程,得(x–4)2+y2=16,将2x2+2y2–16x=0的二次项系数化为1,得x2+y2–8x=0圆心为(4,0),即为所求圆的圆心坐标.所求圆的标准方程是(x–4)2+y2=4，求与圆x2+y2–6y=0同圆心、半径为3的圆的一般方程.方程圆的一般方程叫做圆的一般方程.22220(40)xyDxEyFDEF求圆的方程的技巧若条件涉及圆心和半径,采用标准式；若已知圆经过三点时,采用一般式.几何方法求圆心坐标（两条直线的交点）（常用弦的中垂线）求半径（圆心到圆上一点的距离）写出圆的标准方程待定系数法22222()()0)xaybrxyDxEyF设方程为(或列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）求圆的方程的具体方法(1)课堂作业:教材P92习题T1、3、4、5、6(2)预习:8.7直线与圆的位置关系