数学改编试题的分析和思考

必须“千虑”，不能“一失”——对数学改编试题的分析和思考重庆市中学数学陶兴模名师工作室廖帝学400084重庆市大渡口区第九十五中学杨建国充分研究陈题，充分利用陈题，充分开发陈题，把它们改编成新的试题，这是我们编制试题的一种常见方法，也是数学教师进行教学研究、提高专业素养的一条重要途径。《中学数学教学参考》（中旬）2011年第8期刊登了刘东升老师的文章《一次市级骨干教师中考命题培训“成果”的点评与思考》就详细介绍一次命题培训过程和取得的成果。应该说，这种教学研究形式、教师培训方式很值得借鉴。但是，在对刘老师文中展示的成果的学习过程中，我对其中两道改编题有异议，现提出来与刘东升老师商榷。1两道值得商榷的改编题1.1精心构筑的城防，为什么一攻即破？第1题（原文例2）设0ab，224abab，则abab的值等于（）A．3B．3C．3D．48文中给出了命题意图：考查等式性质、完全平方公式、开平方根等知识点。学生熟悉完全平方公式，命题者希望学生根据题意，得到22()3()abab，而且还布设了一个陷阱：学生容易忽略条件中的a、b的取值范围分析，直接开算术平方根，从而误选A。但事实上，此题“失”就“失”在“0ab”这个条件上，因为在这个条件下，abab的值必然小于0，因此不必经过复杂的配方，就能从四个选择答案中得出正确答案是B！命题者好不容易编拟出一个题目，学生就这样轻而易举就得到了答案。估计这是命题者万万没想到的。当然，有的人会说，解选择题，利用隐含条件，用排除法也是可以的，这本身就是解选择题的一个技巧。但从此题本身来说，用排除法来解决的确不能对学生知识掌握情况以及学生的学习能力进行考查，这显然不是命题者期望的解答。这种情形就好比命题者精心构筑的城防，被人家轻轻一攻就破了，这样的题目显然有所“失”。如果将此题改为填空题、解答题想必情形就会有所改变。如果确实要把此题改编成一个选择题，我建议在四个选择答案中再增加一个值为负数的答案，这样想必会更妥贴一些。1.2顺意而为的堡垒，为什么强攻难破？第2题（原文例4）如图1，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，点A、B分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点B随之在y轴上运动，在运动过程中，点C到原点的最大距离是（）A．222B．25C．26D．6此题由2009年山东省潍坊市中考试题第17题改编而成。刘老师把原题中的“边长为a的正三角形”变成了“直角三角形”，并对直角边长赋了具体数值。表面上看，这似乎和原题的难度相差不大。但事实上，这样改编后的难度增大了很多。原题为“边长为a的正三角形”，因为正三角形是轴对称图形，学生可以先凭直觉思维猜想结果，然后再验证。就算不能验证，具备一定素养的学生是能填出结果的（原题是填空题）。但将图形变为直角三角形后，究竟什么时候点C到原点的距离最大呢？这个问题，别说学生，就是很多数学教师，也很难在短时间里给出正确答案。笔者在网络上搜索了一下，有好几百条对这道题解法的求助的帖子，而且答案也五花八门。就凭这点就说明这真不是一个简单题。对这道改编题的原型——2009潍坊中考试题第17题的研究很多。《数学教学》（上海）2010年第9期、2011年第5期有两篇文章都对此题进行了研究：一篇通过改变正多边形的边数推广到正n多边形的情形，对改变成任M图1H意长和宽的矩形（和直角三角形实质相同）也作了研究；另一篇则从改变∠xOy的大小进行了探究。从这两篇文章可以知道刘老师的这道改编题的解答是：取AB的中点M，将问题转化为△OMC的三边关系，即OCOMMC，由于2OM，22MC，均为定值，所以，当OM、MC三点共线时，OC取得最大值222。但这样的解答多少还是让人感觉“不放心”：为什么一定要取AB的中点？取其它点不行吗？为此，笔者从其它方面对此题进行“强攻”。为了叙述方便，如图2，我们先过点C作CH⊥y轴，垂足为H。第一种方法（应用三角函数求最值）设∠BAO=θ，则∠HBC=θ，sin2sinHCBC，cos2cosBHBC，同理，4sinOB，4cosOA。222OCHCOH22(2sin)(2cos4sin)2416cossin16sin1cos248sin2162128(sin2cos2)1282sin(2)4，当242，即38时，2OC取得最大值1282，此时OC的值为222。第二种方法（利用不等式求最值）在图2中，设CHx，BHy，由△CHB∽△BOA可知2BOx。222OCHCOH22(2)xxy4)(42xyx。这等价于：已知422yx，求4)(42xyx的最大值；也等价于：已知422yx，求xyx2的最大值。想来解决它的方法很多，但苦思冥想，我想出了一个估计初中学生能够接受的“判别式法”：令mxyx2，则xxmy2，代入422yx得0)42(24224222mxmxxxmx，因为存在x满足该式，则0)42(222mtmt有实根，于是22222204408)2(4222mmmmm，即xyx2的最大值为)12(2。你看，这还真是一个难题。刘老师随意地将原题的“正三角形”改头换面成了“直角三角形”，好象就是顺理成章地修建了一座堡垒，但没想到这个堡垒真的很难攻破。“智者千虑，必有一失”，人们常常用这种态度来对待工作中的一些“小失误”，但是作为一道试题来讲，它必须严谨，必须万无一失。一道题“一攻即破”，一道题“强攻难破”，作为市级骨干教师命题培训就存在这样的“失误”，这不能不引起我们的思考。2．改编题案例评析2.1有“失”的改编题案例1如图3，已知双曲线kyx（0x）经过矩形OABC的边AB、BC中点F、E，且四边形OEBF的面积为2，则k=（）A．4B．3C．2D．1评析：事实上，此题中双曲线经过矩形OABC的边AB的中点，必然经过BC的中点。本来，直接都说出来，在难度上有所降低，但“数学味”儿有所丧失，将题目改为“已知双曲线kyx（0x）经过矩形OABC的边AB、BC中点F、E，且四边形OEBF的面积为2，则k=（）”应该更有数学意义。M图2H图3图4类似的题目还有：如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．此题是2008年山东日照的中考试题。其实这个题目中不加“∠A=90°”这个条件，结论也是成立的。为什么要画蛇添足地加上这个条件？案例2已知2222233，2333388，244441515，…若288aabb（a、b为正整数），则ab。评析：此题改编自一类分数（式）中找规律的题目。命题者提供的答案是71，命题者的意图应该是：分析并观察已知等式，可以发现等式的左边是一个正整数与一个分数的和，等式的右边是这个正整数的平方与这个分数的积，并且分数的分子恰好就是等式的正整数，而分母则是这个正整数的平方与1的差，所以在等式288aabb中，8a，28163b。因此，86371ab。但是，此题存在逻辑性问题，事实上此题并未说明288aabb符合前面式子的规律，对于288aabb两边同时乘以b，有864baa。则863ba。因此，若8ak，63bk（k为正整数）均符合题意，此时此题ab的值就不唯一确定了。显然，此题若加上“若288aabb（a、b为正整数）符合前面式子的规律”就能保证答案的唯一性。案例3武汉市中考选择压轴题选项与答案情况年份选项答案2009A.只有①②B.有①②④C.只有③④D.①②③④B2010A.①②③B.②③C.②D.③B2011A.只有①②B.只有①③C.只有②③D.①②③D评析：武汉市的中考选择压轴题从题目上设计独具特色，显露了命题非凡功力，所设计的四个结论正确与否，通常来讲都需要比较复杂的计算或证明。但细细分析，我们会发现：在所给出的选项中，出现的频数越多，说明这个结论正确的可能性越大。一般来说，若某个结论只出现一次，这个结论是错误的；若某个结论出现3次，这个结论一定是正确的；若某个结论出现2次，则有可能是正确的，也有可能是错误的。按照这种“频数分析法”，根本不用看题，基本上就可以得到正确答案，而且正确率是非常高的。如此一来，这类题的价值就根本得不到体现，更失去了其作为压轴题的地位，失去了有效性。显然，这些题目的选项需要再作修改。案例4如图5，以数轴上的原点O为圆心，3为半径的扇形中，圆心角∠AOB=90°，另一个扇形是以点P为圆心，5为半径，圆心角∠CPD=60°，点P在数轴上表示实数a，如图．如果两个扇形的圆弧部分（和）相交，那么实数a的取值范围是评析：此题是2011年福州市中考试题，曾引起广泛争议。此题给出的答案是﹣4≤a≤﹣2。因为当A、D两点重合时，PO=PD﹣OA=5﹣3=2，此时P点坐标为a=﹣2，当B落在上时，如图6，PO=22OBPB=43522，此时P点坐标为a=﹣4，则实数a的取值范围是﹣4≤a＜﹣2．故答案为：﹣4≤a≤﹣2．争议在哪里？就在a是否取﹣2上。当A、D两点重合时，PO=PD﹣OA=5﹣3=2，此时P点坐标为a=﹣2，此时这两条弧所在的圆内切（如图7所示），但对这两条弧而言，它们究竟是“相交”还是“相切”，由于初中阶段对两条弧的位置关系没有明确的界定，争议也就出现了。案例5图5A（D）CB图7OAB图6题1如图8，正方形OAPB、等腰直角三角形ADF的顶点A、D、B在坐标轴上，点P、F在函数9yx(x＞0)的图象上，则点F的坐标为题2如图9，111(,)Pxy，222(,)Pxy，在函数4yx（x＞0）的图象上，△11POA，△122PAA都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、都在x轴上，则P2的坐标是一位教师受题1、题2的启发，将题2中的等腰直角三角形改为等边三角形。评析：将正方形、等腰直角三角形置于反比例函数图象这个背景下，从计算的难度上看学生不会有什么问题。从表面上看，把图形改成等边三角形后在解法上不会发生多大改变，但是，计算过程中出现双重根号的情形，超出了初中学生所学知识范围，计算不能进行，导致这种“改编”失败。2.2成功的改编题案例7平行线间的精彩题1如图10，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，点A距直线l的距离为3，点C距直线l的距离为5，则AC的长为题2（2009浙江丽江市）如图11，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2,l2，l3之间的距离为3,则AC的长是（）A．172B．52C．24D．7题3（2009贵州黔东南）如图12，1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25。（1）连结EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等。（2）求h的值。题4（2011安徽）如图13，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1＞0，h2＞0，h3＞0)．(1)求证：h1＝h2；(2)设正方形ABCD的面积为S，求证：S＝(h1＋h2)2＋h12；(3)若32h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h1的变化情况．图8图9l1l2l3ACB图12CABl图10图11ACl1l2l3l4BDh1h2h3图13评析：从题1开始，以题1为“源”，以平行线为背景，将等腰直角三角形、正方形置于其中，不断更新，改编出了一组题，而且都是中考试题。这几道改编题条件简洁、直观，情境鲜活、新颖，思维量大，综合性强，关注也学生的推理能力、化归能力、探究能力、数学思想