尖子生培优教材数学七年级上第三讲--有理数的运算

-1-第三讲有理数的运算知识导引本讲主要是有理数的运算，包括有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算．进行有理数的混合运算时要注意以下运算顺序：（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按从小括号、中括号到大括号依次进行．进行运算时一般按此顺序进行，能用简便方法的尽量用简便方法．若恰当的运用交换律、结合律、分配律有时可以简化计算．通过有理数的混合运算来解决实际问题，要注意分析题意，列出正确的算式．用有效数字表示近似数的精确度比较复杂也较难理解，其关键是理解有效数字的概念．要注意用科学记数法表示的数字或者是带有单位的数字的精确度．典例分析例1：计算：（1）)4134(12)2(32．（2）59.141.059.041.4．例1—1：计算：32)53()4.1()431()51(75.05.2．例2：计算：（1）9011216121．（2）1－2＋3－4＋…[phone]．例2—1：计算：200019981531421311．例3：（1）如果ab＜0，a－b＞0，试确定a、b的正负．（2）如果ab＜0，a－b＜0，试确定a、b的正负．（3）如果ab＜0，a＋b＞0，ba试确定a、b的正负．例3—1：若ab＜0，求ababbbaa的值．-2-例3—2：已知：1ccbbaa，求abcabc的值．例4：已知322nmnm，求3222)2(2nmnmnmnm的值．例5：某日长春等五个城市的最好气温与最低气温记录如表．哪个城市的温差最大，哪个城市的温差最小？例5—1：下表是某报纸公布的我国“九五”期间国内生产总值（GDP）的统计表，那么这几年我国的国内生产总值平均每年比上一年增长（）A、0.46万亿元B、0.575万亿元C、7.78万亿元D、9.725万亿元例5—2：甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，那么顾客在（）超市买这种商品会更合算．A、甲B、乙C、丙D、一样-3-例6：（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果na（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么18a＝，na＝．（2）如果要求203233331的值，可令S＝203233331①将①式两边同乘以3，得②由②式减去①式，得S＝．（3）用由特殊到一般得方法知：若数列1a，2a，3a，…，na，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则na＝（用含1a，q，n的代数式表示）．如果这个常数q≠1，那么1a＋2a＋3a＋…＋na＝（用含1a，q，n的代数式表示）．规律题：若a1,a2,a3,...,an中，每一项与前一项之比是q，则（1）an=a1qn-1；（2）a1+a2+a3+...+an=a1(qn-1)q-1;巩固：（1）1+5+52+...+5m=5m+1-14（结论法）可令，S=1+5+52+...+5m，则5S=5+52+53...+5m+1(5-1)S=5m+1-1S=5m+1-14(作差法）反思：若a1,a2,a3,...,an中，每一项与前一项之比是q，则，a1=a1,a2=a1q,a3=a1q2,...,an=a1qn-1,a1+a2+a3+...+an=a1+a1q+a1q2+...+a1qn-1=a1(1+q+q2+...+qn-1)=a1•qn-1q-1=a1(qn-1)q-1思维训练题：（1）mn+mn+1+mn+2+...+mn+x=mn(mx+1-1)m-1（2）53+54+55+...+520=53(518-1)4探究活动例：在一次团体操排练活动中，某班45名学生面向老师站成一列横队．老师每次让其中任意6名学生向后转（不论原来方向如何）．问：能否经过若干次后全体学生都背向老师站立？如果能，请设计一种方案；如不能，请说明理由．-4-学力训练A组务实基础1、负实数a的倒数是（）A、－aB、a1C、－a1D、a2、使01aa成立的条件是（）A、a＞0B、a＜0C、a＝1D、a＝±13、如果m表示有理数，那么mm的值（）A、可能是负数B、不可能是负数C、必定是正数D、可能是负数也可能是正数4、下列各式中，计算正确的是（）A、－8－2×6＝（－8－2）×6B、)4334(243342C、1)1()1(20072006D、9)3(95、如图简单的数值运算程序，当输入x的值为－1时，则输出的数值为．6、若x－y＝3，则2x－2y＝．7、图形表示运算a－b＋c，图形表示预算x＋n－y－m，则×＝（直接写出答案）．8、“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌．例如，任意写出一个三位数，它的各个数位上的数字都不想等，用这个三位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数，并用最大数减去最小数，得到一个新的三位数，对于新得到的三位数，重复上面的过程，又得到一个新的三位数，一直重复下去，，就得到一个固定的数，我们称它为三位数的黑洞数．用同样的方法，你可以得到四位数的黑洞数为．9、计算：)154()2(528252．-5-10、杭州市出租车的收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费10元，超过3千米的部分每千米收费2元．超过起步里程10千米以上的部分加收50%，即每千米3元（不足1千米以1千米计算）．（1）小明有一次乘坐出租车行驶了4.1千米，他应付车费多少元？（2）若小明乘坐出租车行驶了14.9千米，他应付车费多少元？（3）小明家距离学校13.1千米，他带了31元钱，则他从学校坐出租车到家，钱够吗？如果够，还剩多少钱？如果不够，他至少要先走多少千米路？B组瞄准中考1、（荆门中考）下列计算：①0－（－5）＝－5；②（－3）＋（－9）＝－12；③23)49(32；④（－36）÷（－9）＝－4．其中正确的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、（青岛中考）生物学指出：在生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量能够流动到下一个营养级，在654321HHHHHH这条生物链中（nH表示第n个营养级，n＝1，2，…，6），要使6H获得10千焦的能量，需要1H提供的能量约为（）A、610千焦B、510千焦C、410千焦D、310千焦3、（日照中考）观察图中正方形四个顶点所标的数字的规律，可知数2011应标在（）-6-A、第502个正方形的左下角B、第502个正方形的右下角C、第503个正方形的左上角D、第503个正方形的右下角4、（盐城中考）根据如图所示的程序计算，若输入的x的值为1，则输出y的值为．5、（绍兴中考）小明测得其一周的体温并记录如下表：其中星期四的体温的数据被墨迹污染．根据表中数据，可得星期四的体温为．6、（常德中考）如图，一个数表有7行7列，设ija表示第i行第j列上的数（其中i＝1，2，3，…，7；j＝1，2，3，…，7）．例如：第5行第3列上的数53a＝7．（1）（2223aa）＋（5352aa）＝．（2）此数表中的四个数npa，nka，mpa，mka满足（npa－nka）＋（mka－mpa）＝．7、计算：（1）)]654()8.4(612[545．（2）)2()2()107()325(54．8、（河南中考）要测量M，N两处的高度差，直接不好测．现另有五个点：A，B，C，D，E，先测量每相邻两点间的高度差．如果测得点A比点M高0.32m，就在A—M列内填上0.32；如果点B比点A低0.46m，就在B—A列内填上－0.46，以此类推．现实际测得结果如下表所示（单位：m）．-7-A—MB—AC—BD—CE—DN—E0.32－0.46－0.050.270.13－0.55问：M与N两处，哪处高？高多少？9、如图所示，在数轴上有三个点A、B、C．（1）将点B向左移动四个单位，此时该点表示的数是多少？（2）将点C向左移动6个单位的到数1x，再向右移动2个单位得到数2x，那么1x，2x分别是多少？请用“＞”把移动后的点B，1x，2x表示的数连起来．（3）怎样移动A、B、C中的两点，才能使三个点表示的数相同？10、（怀化中考）有一列数，第一个数1x＝1，第二个数2x＝4，第三个数记为3x，以后依次记为4x，5x，…，nx，从第二个数开始，每个数是它相邻两个数的和的一半（如2312xxx）．（1）求第三、四、五个数，并写出计算过程．（2）探索这一列数的规律，猜想第k个数kx等于多少（k是大于2的整数），请由此算出2005x等于多少．-8-C组冲击金牌1、若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，则！！98100的值为（）A、4950B、99！C、9900D、2！2、如果1332211tttttt，则321321tttttt的值为（）A、－1B、1C、±1D、不确定3、已知999999P，909911Q，则P，Q的大小关系为PQ．4、吉尔最近搬进了新居，房号是一个三位数．这个数与三个数位上的数字之和是429．则房号三个数位上的数字的乘积是．5、黑板上写有1，2，3，…，1997，1998，这1998个自然数，对它们进行操作，每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添加上所擦掉三个数之和的个位数字，例如：擦掉5，13和1998后，添加上6；若再擦掉6，6，38，添加上0．如果经过998次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是25，求另一个数．-9-第三讲有理数的运算参考答案典例精析1、（1）－1；（2）－1.951—1、312、（1）109；（2）－10042—1、799600059930013、（1）a＞0，b＜0；（2）a＜0，b＞0；（3）a＞0，b＜03—1、－13—2、14、0或－65、哈尔滨温差最大，为14℃；大连的温差最小，为8℃5—1、C5—2、B6、（1）2182n2；（2）21432333333S)13(2121（3）11nqa1)1(1qqan探究活动假设面向老师站立记为“＋1”，则背向老师站立为“－1”．原来45个“＋1”，乘积为“＋1”，每次改变其中6个数，不改变这45个数的乘积的符号，而最后要达到的目标是45个“－1”，乘积为“－1”，故这是不可能的．A组1、B2、B3、B4、D5、16、67、08、49561749、－310、（1）14元；（2）39元；（3）不够，至少要先走1.1千米路．B组1、B2、A3、C4、45、36.76、（1）0；（2）07、（1）533；（2）328、M处比N处高0.34m9、（1）因为点B所表示的数是－1，则－1－4＝－5，此时该点表示的数是－5；（2）点C表示的数是4，将点C向左移动6个单位得到数1x，因4－6＝－2，故1x表示的数是－2，再向右移2个单位得到数2x，因－2＋2＝0，故2x表示的数是0，故－5＜－2＜0；（3）把点A向右移动2个单位，点C向左移动5个单位（答案不唯一）10、（1）因为2312xxx，所以71422123xxx，同理，104x，135x；（2）猜想得：23kxk，所以60132200532005xC组1、C2、A3、＝4、285、另一个数是6