Max--Min函数题与三角绝对值不等式(教师版)

第1页共8页Max,Min函数题1.设函数yfx定义域为R，对给定正数M，定义函数,,MfxfxMfxMfxM则称函数Mfx为fx的“孪生函数”，若给定函数22,20,121,0xxxfxMx，则Myfx的值域为（）A.2,1B.1,2C.,2D.,1【解析】根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以yM为分界线，fx图像在yM下方的图像不变，在M上方的图像则变为yM，通过作图即可得到Mfx的值域为2,1选A2.定义min,,abc为,,abc中的最小值，设2min23,1,53fxxxx，则fx的最大值是__________【答案】2【解析】若利用min,,abc的定义将fx转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则fx为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得fx的最大值点为21yx与53yx在第一象限的交点，即211253xyxyyx，所以max2fx3.已知函数222222,228fxxaxagxxaxa，设12max,,min,HxfxgxHxfxgx，（其中max,pq表示,pq中的较大值，min,pq表示,pq中的较小值）记1Hx的值域为A，2Hx的值域为B，则AB______________【答案】44,412aa【解析】由12,HxHx的定义可想到其图像特点，即若将,fxgx的图像作在同一坐标系中，那么1Hx为,fxgx图像中位于上方的部分，而2Hx为,fxgx图像中位于下方的部分。对,fxgx配方可得：222442412fxxaagxxaa，其中44412aa，故gx的顶点在fx顶点的上方。由图像可得：褐色部分为1Hx的图像，红色部分为2Hx的图像，其值域与,fxgx的交点有关，即各自的顶点2,412,2,44aaaa，所以1Hx的值域44,Aa，2Hx的值域,412Ba。从而44,412ABaa4.记max{x，()}()xxyyyxy，min{x，()}()yxyyxxy，设a、b为平面向量，则（）A.min{||ab，||}min{||aba，||}bB.min{||ab，||}min{||aba，||}bC.2min{||ab，222||}||||ababD.2min{||ab，222||}||||abab【答案】D【解析】对于选项A，取ba，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取ba,是非零的相等向量，则不等式左边0|}||,min{|baba，显然，不等式不成立；对于选项C，取ba,是非零的相等向量，则不等式左边22||4|||}||,max{|abababa，而不等式右边222||2||||aba，显然不成立．由排除法可知，D选项正确．故选：D5.已知,0,0ba且,,min22babah则h的最大值为_______f(x)y=2x+3y=5-3xy=x2+1yxf(x)y=1yx1-2第2页共8页【答案】22【解析】ah，22babh，212222ababbaabh，0a，0b，0h，即22h.6.设Rba,，定义运算“∧”和“∨”如下：,,aababbab，,,bababaab若正数,,,abcd满足4ab,4cd,则（）A．2ab,2cdB．2ab,2cdC．2ab,2cdD．2ab,2cd【答案】C【解析】设15ba1ba；22ba2ba2ba，所以A，B错误；所以设15ba5ba；22ba2ba2ba，设22dc2dc;13dc1dc2dc，所以选C；7.若0,0,ab则2211min{max(,,)}abab________.【答案】32【解析】2222211112max{,,},,abmambmmmababm32m，所以2211min{max(,,)}abab32.8.设函数2()min{1,1,1}fxxxx，其中min{,,}xyz表示,,xyz中的最小者．若(2)()fafa，则实数a的取值范围为．【答案】)0,1()2,(【解析】当21a时，21,aa此时有()(2)fafa；当120a时，32,a此时有()(2)1(2)faffa；当021a时，21,a此时有()(2)fafa；当122a时，10,a此时有()(2)fafa；当22a时，0,a此时有()(2)fafa.9.9.若对任意Rba,0，存在]2,1[x，使得Mbaxx2成立，则实数M的最大值是______．【【答案】21【解析】在]2,1[x上，函数相对于x轴的宽度为a1，所以M的最大值为21.110.设函数2()fxx(01)x，记(,)Hab为函数()fx图象上点到直线yaxb距离的最大值，则(,)Hab的最小值是．【答案】162【解析】函数在10x上的最小宽度为82，所以最小值为162.11.已知函数),(|1|)(Rbabaxxxxf，当]2,21[x时，设)(xf的最大值为),(baM，则),(baM的最小值为_________.第3页共8页【答案】41【解析】如图可知：当492baxy时，有41minmax21yy.12．记,,max{,},aababbab≥.已知向量a,b,c满足||1a,||2b,0=ab，(0，≥cab且+=1)，则当max{}，cacb取最小值时，||c（）A．255B．223C．1D．52【答案】A【解析】当bcca时取得最小值552||54||22222cbac.13．已知,,abcR．若2cossin1axbxc≤对xR恒成立，则sinaxb的最大值为．【答案】2【解析】则题意为：1||)(2acbtattf对于]1,1[t恒成立，求||bat的最大值条件等价于1||)1(1||)0(1||)1(cbfcafcbf，即：0|,|0|,|||maxabbaabbabat由绝对值不等式可得：||||||2bacbca当且仅当)1()0()1(fff时，||bat取得最大值2.14.记,max{,},xxyxyyxy，若(),()fxgx均是定义在实数集R上的函数，定义函数()max{(),()}hxfxgx，则下列命题正确的是()A．若(),()fxgx都是单调函数，则()hx也是单调函数；B．若(),()fxgx都是奇函数，则()hx也是奇函数；C．若(),()fxgx都是偶函数，则()hx也是偶函数；D．若()fx是奇函数，()gx是偶函数，则()hx既不是奇函数，也不是偶函数；【答案】C【解析】A选项中两个函数如果是一次函数，那么)(xh可能是一条折线；同理，B选项也是错误的，而D选项如果奇函数整体都在偶函数的上方，那么)(xh是奇函数，反之是偶函数，也有可能是非奇非偶.15.已知定义在R上的偶函数)(xf满足)()4(xfxf，且当20x时，xxxxf2,2min)(2，若方程0)(mxxf恰有两个实数根，则实数m的取值范围是（）A.,3131,B.,3131,C.2,3131,2D.2,3131,2【答案】C【解析】通过数形结合作图即可.16.对,abR，记babbaaba,,},max{则函数29()max{|1|,2}4fxxxx（）A.有最大值32，无最小值B.有最大值12，无最小值A.有最小值32，无最大值B.有最小值12，无最大值【答案】C第4页共8页17.定义,()min,,()xxyabyxy，则不等式41min,48min,xxxx的解集是________.【答案】1(,0)(0,][2,)2【解析】通过分类讨论：①)2,(x②)0,2(x③)2,0(x④),2(x，最后取并集即可.18.记)(,)(,},min{baababba，若函数baxxxf2)(在)1,0(上有两个零点，则)}1(),0(min{ff的取值范围是_________.【答案】)41,0(【解析】}1,min{)}1(),0(min{babff，因为在)1,0(上有两个零点，所以满足02120aa，01,0bab，取它们两个相等时，即1a，此时041b，所以410b，即所求的范围.19.已知二次函数)2()(2abbxaxxf，定义}11)({)(1xttfmaxxf，}11)({)(2xttfminxf，其中}{bamax,表示ba,中的较大者，}{bamin,表示ba,中的较小者，则下列命题正确的是（）A．若)1()1(11ff，则)1()1(ffB．若)1()1(22ff，则)1()1(ffC．若)1()1(ff，则)1()1(22ffD．若)1()1(12ff，则)1()1(11ff【答案】D20.设(),(()())min(),()(),(()())fxfxgxfxgxgxfxgx．若2()fxxpxq的图象经过两点(,0),(,0)，且存在整数n，使得1nn成立，则()A．1min(),(1)4fnfnB．1min(),(1)4fnfnC．1min(),(1)4fnfnD．1min(),(1)4fnfn【答案】B【解析】同上上题类型是一样的.21.函数()min2,2fxxx，其中,min,,aababbab，若动直线ym与函数()yfx的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,xxx，则123xxx是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.【答案】1【解析】直接求得：421mx，mx22，23mx，所以通过求函数最值，配方即可得出最大值为1.22.定义：,)()(},max{babbaaba若实数yx,满足：xyxyx324,3||,3||，则}2|,3max{|yxyx的取值范围是（）A.]7,421[B.]12,0[C.]421,3[D.]7,0[【答案】B【解析】此题较为复杂，先画出可行域，再对|3|yx进行分类讨论，再比较|3|yx与yx2的大小比较，再得出线性函数，求范围，最后取并集即可，计算量较大，非成绩好的学生不推荐做.23..设)()(}