平面向量数量积优质课

2.4平面向量的数量积一、复习向量的夹角两个非零向量和，作，ab,OAaOBb与同向abOABabaAOBab则叫做向量和的夹角．)1800(180与反向abOABab0OAaBbb记作ab90与垂直，abOABab注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的复习检测，已知等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！12060'CWFs=?’cossF从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念.θ一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？FsF请同学们分析这个公式的特点：W（功）是量，F（力）是量，S（位移）是量θ是。二、新授平面向量的数量积定义及几何意义1、平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．0acos||||baba注：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，数量积的正负由夹角决定（2）“●”不能省略不写，a·b不能写成a×b或ab，a×b表示向量的另一种运算．已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即cos||||baabbaba（3）的取值范围(0180)q＃解：120cos4510)21(45例1．已知||=5，||=4，与的夹角，求.120abbabacosbaba例题讲解1,23(1)//,;(2),4ababababqp==??针对性练习1：已知求求，分两种情况：）由解：（ba//1;2,baba同向，当。反向，当2,baba143cos212ba）（例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）（2）（3）ABACBCACABBCACB例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）（2）（3）ABACBCACABBCACBACAB)1(60cosACAB2160例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）（2）（3）ABACBCACABBCACBACAB)1(21BCAB)2(120cosBCAB2160cosACAB120例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1）（2）（3）ABACBCACABBCACBACAB)1(21BCAB)2(120cosBCAB21ACBC)3(60cosACBC2160cosACAB60设ba、是非零向量，be是与方向相同的单位向量，ea与是的夹角，则cos||)1(aeaae0)2(baba特别地2||aaaaaa||或2a(3)cos||||ababq×=(4)||||||abab祝OABθabB1||||cosabab2、平面向量的数量积的性质1B投影的概念如图所示：AOBbOBaOA,,Bb过B作垂直OA，垂足1BB为,1B则1OB在方向上的投影cosb叫做向量cosbabOAa叫做向量在方向上的投影abcosaBOAab1B投影是向量还是数量？θ为钝角时，|b|cosθ＜0OABab1Bθ为锐角时，|b|cosθ＞0OABab)(1Bθ为直角时，|b|cosθ=03、向量的数量积的几何意义数量积等于的长度baaaba的几何意义是与在方向上的投影的乘积bacosb例3、，，与的夹角为，则在方向上的投影为6bab45ba3a23例题讲解3、向量的数量积的几何意义变式：若与的夹角为，则在方向上的投影为abba135-322.已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60°,则b在a上的投影是()(A)1(B)2(C)3(D)43.已知|b|=5,|a|=4,在a在b方向上的投影是，则a·b等于()(A)4(B)3(C)8(D)12针对性练习AD1254、平面向量的数量积的运算律：cbcacbabababaabba))(3()()())(2()1(其中，cba、、是任意三个向量，R注：1(()2()3()()abcabcabaabbababab鬃棺?××222222＋＝＋＋；＋－＝－、）、、222||6,||4,b60,,(2)(3),(),||abaabababababab例4、已知与的夹角为，求，||||cos12abab解:22||36aa22||16bb(2)(3)abab226aabb22||||||cos6||aabb722()ab222aabb22||2||||cos||aabb282||ab2()28ab||ab2827||3,||4,abkakbakb针对性练习，已知当且仅当为何值时，向量与互相垂直？三、小结1、本节课主要学习了哪些知识？3)、平面向量的数量积的几何意义2)、平面向量的数量积的性质1)、平面向量的数量积的定义4)、平面向量的数量积的运算律：四、当堂检测01,120ababtatb==-3、与夹角为，问取何值时，最小？cbcabaababa则，若，有，则对任一非零向量若正确，并说明理由、判断下列各命题是否,0)2(00)1(1的形状。时，试判断或当中，、已知ABCbababACaABABC00,,2