电路分析基础13-电路方程的矩阵形式

第13章电路方程的矩阵形式（）13.1割集13.2关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵13.3回路电流方程的矩阵形式13.4节点电压方程的矩阵形式13.5割集电压方程的矩阵形式13.6状态方程13.7应用实例——计算机辅助电路分析（，★）（，★）13.1割集割集Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质：1.把Q中全部支路移去(保留支路的两个端点)，将图分成两个分离部分。2.保留Q中的一条支路，其余都移去，G还是连通的。①4321②④③56①1②3④③4256Q1:{2,5,4,6}一、割集定义二、割集的确定在图G上作一个高斯面（闭合面），使其包围G的某些节点，而每条支路只能被闭合面切割一次，去掉与闭合面相切割的支路，图G将被分为两部分，那么这组支路集合即为图G的一个割集。在图G上画高斯面（闭合面）Q1、Q2、Q3如下图所示，对应割集Q1、Q2、Q3的支路集合为{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。注意：同一割集中每一条支路只能被切割一次。1Q1Q2Q323465图13-1割集的定义245(b)15(c)12345(a)①②③④(d)234512345(f)①②③④Q1Q2Q3Q4Q5Q6125(e)三、基本割集888(a)1234567(c)1234567(b)1234567(d)12345678(e)12345678(f)12345678由一条树支及相应的连支构成的割集称为单树支割集或基本割集。n个节点，b条支路的连通图G，独立割集的数目为(n－1)。思考与练习1.割集必须满足的条件是什么？2.如何选择基本割集？3.割集和节点的关系是什么？4.属于同一割集的所有支路的电流是否满足KCL？图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：图的矩阵表示:节点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵13.2关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵ajk=1有向支路k背离j节点。-1有向支路k指向j节点。0有向支路k与j节点无关。1.关联矩阵：Aa={ajk}nb节点数支路数643521①②④③Aa=1234123456支节100-101-1-110000100-1-100-1110设④为参考节点，划去第4行。-1-11000A=123123456支节100-1010100-1-1称A为降阶关联矩阵(n-1)b，表征独立节点与支路的关联性质。也称关联矩阵。各行不独立。一、关联矩阵、割集矩阵和回路矩阵的定义2.割集矩阵1支路k与割集j方向一致。-1支路k与割集j方向相反。0支路k不在割集j中。qjk=12345678(a)Q1Q2Q3Q4Q={qjk}n-1b基本割集数支路数{(1,2,3)，(1,4,5)，(2,6,8)，(5,7,8)}是该图的一组独立割集，流出闭合面方向为割集方向。Q1Q2Q3Q414283576-----=11010000101000100001100100000111Q支路割集(2)支路排列顺序为先树支后连支。约定:(1)割集方向与树支方向相同。12345678(b)Q1Q2Q4Q3基本割集矩阵Qf选2、4、5、8为树支，连支为1、3、6、7。Q1Q2Q3Q428475163------=01111000111101001110001000110001fQ支路割集=[1Ql]EtQl3.回路矩阵B={bjk}lb基本回路数支路数1支路k与回路j关联，方向一致。-1支路k与回路j关联，方向相反。0支路k不在回路j中。bjk=(a)12345678l2l3l4l1-----=11100000001001100101100000001101B14283576l1l2l3l4支路回路12345678(2)支路排列顺序为先连支后树支。约定:(1)回路电流的参考方向取连支电流方向。基本回路矩阵Bf选2、4、5、8为树支，连支为1、3、6、7。------=01101000111001001111001011010001fB17386254b1b3b6b7支路回路=[1Bt]ElBt1.用矩阵A描述的基尔霍夫定律的矩阵形式(1)KCL的矩阵形式以节点④为参考节点Aib=111000000-111000000-1-117654321iiiiiii0765543321=---=iiiiiiiiin-1个独立方程矩阵形式的KCL:Aib=0二、用矩阵A、Q、B表示的基尔霍夫定律的矩阵形式1234567①②③④(2)KVL的矩阵形式buuuuuuu=654321nTb:KVLuAu=矩阵形式---=n3n2n1nT100100110010011001001uuuuA=---=n3n3n3n2n2n2n1n2n1uuuuuuuuu矩阵形式的KCL：07655435421=---=iiiiiiiiii矩阵形式的KCL：Qfib=0(1)KCL的矩阵形式取（2，3，6）为树，1234567Q2Q1Q3---=7654321bf111000000111000011011iiiiiiiiQ2.用矩阵Qf描述的基尔霍夫定律的矩阵形式电路中的（n-1）个树支电压可用（n-1）阶列向量表示，即T1)t(t2t1t...-=nuuuutTfbuQu=(2)KVL的矩阵形式，，，，bt3t3t3t2t1t2t1t2t1t1t3t2t17654321tTf100100111011010001001uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuQ=---=---==l个独立KVL方程矩阵形式的KVL：Bfub=03.用矩阵Bf表示的基尔霍夫定律的矩阵形式123456701100000011011000011100000011766532432217654321bf=----=----=uuuuuuuuuuuuuuuuuuuB(1)KVL的矩阵形式(2)KCL的矩阵形式独立回路电流1234567b44332323211432176543211000110001000010011001110001iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiilllllllllllllll=----=----=li矩阵形式的KCL：ib=BfTilQQi=0QTut=u小结：ABAi=0BTil=iKCLKVLATun=uBu=013-1电路的有向图如图所示，(1)节点⑤为参考写出其关联矩阵A，(2)以实线为树枝，虚线为连支，写出其单连支回路矩阵Bf(3)写出单树支割集矩阵Qf。例：解：⑤123456789①②③④-------=000001111101100100000110010110010001A123456789(1)以节点⑤为参考节点，其余4个节点为独立节点的关联矩阵A为应用举例(2)以实线(1,2,3,4)为树枝，虚线(5,6,7,8,9)为连支，其单连支回路矩阵Bf为567891234------=010110000100101000110000100011000010001100001fB⑤123456789①②③④(3)以实线(1,2,3,4)为树枝，虚线(5,6,7,8,9)为连支，其单树支割集矩阵Qf为123456789----=011001000101100100000110010110010001fQ⑤123456789①②③④1.对于一个含有n个节点b条支路的电路，关联矩阵反映了什么关联性质？2.对于一个含有n个节点b条支路的电路，回路矩阵反映了什么关联性质？3.对于一个含有n个节点b条支路的电路，割集矩阵反映了什么关联性质？4.对于一个含有n个节点b条支路的电路，用矩阵A、Qf、Bf表示的基尔霍夫定律的矩阵形式分别是什么？13.3回路电流方程的矩阵形式kUSkUkIekI-Zk-kIS一、复合支路第k条支路,kkUI第k条支路的阻抗，只能是单一的电阻、电感或电容，不允许是它们的组合。阻抗上电压、电流的参考方向与支路方向相同。kZSkU独立电压源，其参考方向和支路方向相反。SkI独立电流源，其参考方向和支路方向相反。,kkUI支路电压、支路电流，取关联参考方向。1.电路中不含互感和受控源的情况(相量法)SS()kkkkkUZIIU=-111S1S1SSSS00000000000000000000kkkkkbbbbbZUIIUZUIIUZUIIU=-按定义写开kUSkUkIekI-Zk-kIS二、支路方程的矩阵形式2.电路中含有互感的情况设第k条、j条支路有耦合关系，编号时把它们相邻的编在一起（设两个电流都为流入同名端）：eeSSSSeeSSSSj()j()jj()()kkkkjjkkkkkjjjkjjkkjjjjkkkjjjjUZIMIUZIIMIIUUMIZIUMIIZIIU=-=-=-=-()()()---11e1S111S1S122e2S222S2S2eSSSbbbbbbbbUZIUZIIUUZIUZIIUUZIUZIIU==-==-==-其余支路电压、电流的关系为：=111S1S1222S2S2SSS0000000000j000j00000kkjkkkkjjjjjbbbbZUIIUZUIIUZMUIIMZUIIZUII-SSSkjbUUUSS()UZIIU=-故回路电流方程不变，只是阻抗阵Z不再为对角阵，其非对角线元素的第k行、第j列和第j行、第k列的两个元素是两条支路的互阻抗。互阻抗前的“±”，电流流入同名端的对应取“＋”，反之取“－”。仍可统一写为3.电路中含有受控源的情况deS()kkjjkjjjUrIrII==SdS()kkkkkkUZIIUU=-而这时含有受控源的支路阻抗Z为非对角阵，非对角线上的元素是与受控电压源的控制系数有关的元素。因支路方程的右端加上受控电压源，故支路阻抗阵变为：kUISkSkUkIekI-Zk++－－dkU=12kkjbZZZZrZkj取回路电流（连支电流）为未知变量。0KVL=kUB0=-=SkSkkkkkUBIBZIBZUBSkkSklkIBZUBIBBZ-=TSkSkkkkUIIZU-=)(回路方程矩阵形式支路电压与支路电流的关系lkIBITKCL=代入上面方程，整理后得SkU.Zk+-kU.kI.SkI.ekI.+-lSllUIZ=回路矩阵方程（回路电压源相量）lSUZl（回路阻抗阵）三、回路电流方程的矩阵形式例：解：13.2列出图示电路矩阵形式回路电流方程的频