利用导数解决恒成立能成立问题(整理)

利用导数解决恒成立能成立问题一利用导数解决恒成立问题不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）(1)恒成立问题若不等式Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上minfxA若不等式Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上maxfxB1．若在x∈[1，+∞）上恒成立，则a的取值范围是______．2．若不等式x4﹣4x3＞2﹣a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围_________．3．设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为_________．4．若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是_________．15．设函数f（x）的定义域为D，令M={k|f（x）≤k恒成立，x∈D}，N={k|f（x）≥k恒成立，x∈D}，已知，其中x∈[0，2]，若4∈M，2∈N，则a的范围是6．f（x）=ax3﹣3x（a＞0）对于x∈[0，1]总有f（x）≥﹣1成立，则a的范围为_________．7．三次函数f（x）=x3﹣3bx+3b在[1，2]内恒为正值，则b的取值范围是_________．8．不等式x3﹣3x2+2﹣a＜0在区间x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围是__．9．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=ex的图象始终在直线y=kx+1的上方，则实数k的取值范围是_________．10．设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为_________．11．若关于x的不等式x2+1≥kx在[1，2]上恒成立，则实数k的取值范围是_________．12．已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣]13．已知，，若对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x2），则m的取值范围是（）A．[0，]B．[，0]C．[，]D．[，1]二利用导数解决能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式Axf成立,则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立,则等价于在区间D上的minfxB.如14．已知集合A={x∈R|≤2}，集合B={a∈R|已知函数f（x）=﹣1+lnx，∃x0＞0，使f（x0）≤0成立}，则A∩B=（）A．{x|x＜}B．{x|x≤或x=1}C．{x|x＜或x=1}D．{x|x＜或x≥1}15．设函数，（p是实数，e为自然对数的底数）（1）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（2）若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范围．16．若函数y=f（x），x∈D同时满足下列条件：（1）在D内的单调函数；（2）存在实数m，n，当定义域为[m，n]时，值域为[m，n]．则称此函数为D内可等射函数，设（a＞0且a≠1），则当f（x）为可等射函数时，a的取值范围是．17．存在x＜0使得不等式x2＜2﹣|x﹣t|成立，则实数t的取值范围是_________．18．存在实数x，使得x2﹣4bx+3b＜0成立，则b的取值范围是_________．19．已知存在实数x使得不等式|x﹣3|﹣|x+2|≥|3a﹣1|成立，则实数a的取值范围是_．20．存在实数a使不等式a≤2﹣x+1在[﹣1，2]成立，则a的范围为_________．21．若存在x∈，使成立，则实数a的取值范围为______．22．设存在实数，使不等式成立，则实数t的取值范围为_________．23．若存在实数p∈[﹣1，1]，使得不等式px2+（p﹣3）x﹣3＞0成立，则实数x的取值范围为_________．24．若存在实数x使成立，求常数a的取值范围．25．等差数列{an}的首项为a1，公差d=﹣1，前n项和为Sn，其中a1∈{﹣1，1，2}（I）若存在n∈N，使Sn=﹣5成立，求a1的值；．（II）是否存在a1，使Sn＜an对任意大于1的正整数n均成立？若存在，求出a1的值；否则，说明理由．利用函数的导数求解“恒成立”求参数范围问题（1）恒成立问题求参数范围：min)()(xfaxfamax)()(xfaxfa例1已知函数()(1)ln1fxxxx.（Ⅰ）若2'()1xfxxax，求a的取值范围；练习1.设函数cbxaxxxf8332)(23在1x及2x时取得极值（1）求a,b的值,(2)若对于任意的x［0,3］都有2)(cxf成立,求c的取值范围（2）恒成立问题求参数范围：分离参数法。例2.已知函数xaxxfln)(2(1)ea2时，求函数)(xf的单调区间和极值，(2)若函数xxfxg2)()(在［1，4］是减函数，求实数a的取值范围解得：(1)函数)(xf的单调递减区间是),0(e，单调递增区间是（,e)，极小值是0)(ef（2）由xxaxxg2ln)(2得222)(xxaxxg依题意0)(xg所以0222xxax即222xxa又222)(xxx在［1，4］上是减函数，故（4）min=263-所以263a练习1.已知)10(cos)(xxxaexfx（1）若对任意的0)(),1,0(xfx恒成立，求实数a的取值范围。（2）求证：)10(21sin2xxxex解：（1）1a(2)构造函数)10(21sin)(2xxxexhx且0)0(h则xxexhxcos)(由（1）知当a=-1时，)10(0cos)(xxxexfx故h(x)在（0，1）上单调递减，h(x)h(0)=0即)10(21sin2xxxex(3)恒成立问题求参数范围—构造新函数法的单调性或利用原函数的单调性例3.设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．解法：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．例4.设函数1()(01)lnfxxxxx且（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）已知12axx对任意(0,1)x成立，求实数a的取值范围。解(1)'22ln1(),lnxfxxx若'()0,fx则1xe列表如下x1(0,)e1e1(,1)e(1,)'()fx+0--()fx单调增极大值1()fe单调减单调减(2)在12axx两边取对数,得1ln2lnaxx,由于01,x所以1ln2lnaxx(1)由(1)的结果可知,当(0,1)x时,1()()fxfee,为使(1)式对所有(0,1)x成立,当且仅当ln2ae,即ln2ae练习1已知函数)(ln)21()(2Rxxxaxf（1）当a=1时，求)(xf在区间e,1的最大值和最小值；（2）若在区间（1，）上，函数)(xf的图像恒在直线axy2下方，求a的取值范围。2.已知函数f(x)=ln2(1+x)-21xx.(I)求函数()fx的单调区间;（Ⅱ）若不等式1(1)aaen对任意的N*n都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.3.设函数22)1ln()(xxxxf证明：当x0时，0)(xf（4）恒成立问题求参数范围—不等式放缩法例5.设函数21)(axxexfx(1)若a=0,求)(xf的单调区间。（2）若当0x时，0)(xf，求a的取值范围。解：（1）)(xf在（)0,单调递减，在),0(单调增加。(2)axexfx21)(由（1）知xex1当且仅当x=0时等号成立。故xaaxxxf)21(2)(当1-2a0即21a。由xex1可得xex1-从而当21a时)2)(1()1(21)(aeeeeaexfxxxxx故当0)(),2ln,0(xfax而0)0(f于是0)(),2ln,0(xfax不合题意，故)21,(a例6.设函数1xfxe．（Ⅰ）证明：当x＞-1时，1xfxx；（Ⅱ）设当0x时，1xfxax，求a的取值范围．练习1.设函数0),(,)1(31)(223mRxxmxxxf其中（Ⅰ）当时，1m曲线））（，在点（11)(fxfy处的切线斜率（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数)(xf有三个互不相同的零点0，21,xx，且21xx。若对任意的],[21xxx，)1()(fxf恒成立，求m的取值范围。2.已知函数432()2fxxaxxb（xR），其中Rba,．（Ⅰ）当103a时，讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）若函数()fx仅在0x处有极值，求a的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的[2,2]a，不等式1fx在[1,1]上恒成立，求b的取值范围．1．已知函数fxaxx()ln()221（a为实数）（I）若fx()在x1处有极值，求a的值；（II）若fx()在]23[，上是增函数，求a的取值范围。2．设函数2()lnfxxxax.（Ⅰ）若12x时，()fx取得极值，求a的值；（Ⅱ）若()fx在其定义域内为增函数，求a的取值范围；3．设函数2()(1)2ln(1)fxxx.（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若当1[1,1]xee时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若关于x的方程2()fxxxa在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.4．已知函数xxaxxfln21)(2)0(x．（Ⅰ）若)(xf在),1[上单调递增，求实数a的取值范围；5．已知函数()lnfxxx.（Ⅰ）求()fx的最小值；（Ⅱ）若对所有1x都有()1fxax，求实数a的取值范围.