流体力学基本方程

1Chapter3流体动力学基本方程例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。I质量连续性方程（质量守恒方程）I-1方程的导出物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。在此假设下，对物质体有0dddt。根据输运定理，设t时刻该系统所占控制体为CV，对应控制面CS，则有0CVCSdvdst——质量守恒方程积分形式。上式亦表明，CV内单位时间内的质量减少=CS上的质量通量。由奥高公式得()CSCVvdsvd，于是有()0CVvdt。考虑到的任意性，故有()0vt，即0dvdt——质量守恒方程微分形式I-2各项意义分析：1）dtd——流体微团密度随时间的变化率；定常流动0t；不可压缩流动0dtd；均质流体的不可压缩流动.const。2）由0dtmd（m为微团的质量）知11dddtdt（为该微团t时刻体积），从而知v=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。3）不可压缩流体0ddt，故有0v。由奥高公式有CVCSvdsvd，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0CSvds。不可压缩流动满足的0v或0CSvds是对速度场的一个约束。例1、1）定常流场中取一段流管，则由0CSvds易知：222111SVSV；如为均质不可压缩流动，则1122VSVS。2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）则有24(,)()rVrtmt，即2()Vrr，其中()mt代表点源强度（单位时间发出的流体体积）。例2、均质不可压缩流体（密度为）从圆管（半径为R）入口端以2速度0V流入管内，经过一定距离后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即21mrVVR。通常称这种流动为圆管的入口流。试求当管内流动发展为抛物型剖面时的最大速度mV。解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有：0VdS界面，由于管壁无渗透故上式可写为：2002RVRVrdr，可得02VVm。II动量方程流体团所受合外力=该流体团的质量其加速度II-1方程的导出1直角坐标系下推导微分形式的动量定理t时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，该流体微团t时刻所占控制体CV，其边界CS。受力分析：体力合力=Fd面力合力nCSpdS,,,,22,,,,22,,,,,,,,22,,222xxxxyxyyzxzzxxxxyxxpxyzspxyzsyypxyzxxpxyzspxyzspxyzsxzpxyzsypxyspxyzzss,,2,,,,22xyyzxyxzzzypxyzsxzpxyzsppppxzxyzsy于是有yxzpppdVFdtxyz，即yxzpppdVFdtxyz。3分量形式：yxxxxzxxyxyyyzyyyxxxzxzzpdvppFdtxyzdvpppFdtxyzpppdvFdtxyz或写成jiiijpdvFdtx，或dVFPdt。P意义：单位体积流体团所受面力的合力。2积分形式的动量定理的导出考虑体系，该流体团t时刻所占控制体CV，其边界CS。由动量定理有nCVCSdVdFdpdSdt利用输运定理可得CVCSdVVVVSdtt。于是得到积分形式动量定理：nCVCSCVCSVVVSFdpdSt该定理的应用：经常应用于求流体与边界的相互作用力。例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽w）解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的x方向分量方程。222121wDVwDVx方向动量通量1212200()()()DDaaaxRwPgDydywPgDydyhDP方向合外力闸门受合力＝RhDPRa)(1代入动量方程方程得)(21)(2221121222DDgwRDVDVw故)()(212211222221DVDVwDDgwR注：求R时可直接设0aP。注微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如下：dVdddVVVdtdtdtdt4其中0ddmdtdt，因而得到CVddVdVVdtdtdt。上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变化率之和。另外，nCSCSCVpdSnPdSPd，综上可得0CVdVFPdt，再考虑到系统大小形状的任意性可得dVFPdt。尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程2rot2VVVVFPtII-2地转参照系下的动量方程就很多空间和时间尺度都较小的流动而言，地球参照系通常课近似看作惯性系。但是对于大尺度的流体运动问题，必须考虑地球自转的影响。在海洋和大气的大尺度运动问题中，通常把地心看成惯性参照系，地球相对于地心有自转运动。我们在此介绍地转参照系下的动量方程，为将来学习物理海洋学、地球流体动力学等打基础。地球上运动质点的绝对速度areVVV，其中rV代表质点相对于地球表面的运动速度，牵连速度eVr（牵连速度=地球表面上该质点所在位置绕地心的自转速度），为地球自转角速度。绝对加速度：arec，其中rw代表相对加速度，牵连加速度edwrrdt，科氏加速度2crwV。动量方程：1recdVFPwwdt其中rrrrdVVVVdtt，iix。因为真实力与参照系无关，故PP一般情况下可以忽略地球自转角速度的变化，认为0ddt，于是有12rrrrVVVFPrVt。III.能量方程III－1能量方程的推导：t时刻流体团所占控制体CV，其边界CS，能量平衡关系式：5t时刻1系统能量增加率234外力的功率单位时间内通过边界流入的热量单位时间内从外界吸收的其他能量其中2(1)()2dVUdt，U代表单位质量流体的内能（分子热运动动能+分子间相互作用势能）(2)nCSCVFVpVs)3(CSfsCSkTs，f为热流强度，根据付利叶热传导定律对各向同性流体fkT)4(设单位时间内单位质量流体从外界吸收的辐射能为q，则(4)CVqd故能量方程积分形式为：2()2nCVCSCSCVdVUFVpVskTsqdt因为2222222222dVdVUUdtdtddVVdVUUUdtdtdt＝＋＝nCSCSCSCSCSpVsnPVsnPVsPVsPV＝CSCSkTskT所以得到能量方程微分形式：2()()2dVUFVPVkTqdt，其中()()jijiijiiijiijijijijijjjjppVPVpVVpVpspaxxxx。由于旋转运动张量A是反对称张量，而应力张量P是对称张量，故有0jijipa（因ijp是对称张量）记:jijiijjipspsPS。另外()jiijpVVPx，于是有如下形式的能量方程：2()2():()VdUFVVPPSkTqdt。方程中各项意义分析：62()2VdUdt代表单位体积流体能量变化率；FV代表作用在单位体积流体微团上的体力的功率；()VP代表作用在单位体积流体微团表面的面力的合力的功率；()kTq代表单位时间内单位体积流体微团通过热传导和辐射吸收从外界获得的能量。III－2动能方程将动量方程dVFPdt两边同时点积V得：()dVVFVVPdt。其中21()122dVdVVdVVdtdtdt，故有动能定理2()2dVFVVPdt。上式表明：单位体积流体微团动能变化率＝作用于该微团上的体力的功率＋作用于该微团上的合面力的功率。III－3热流量方程：:()dUPSkTqdt面力的功率包含两项(:)VPPS，其中合面力的功率()VP转化为系统的宏观运动动能，另一部分:PS转化为系统的内能。尽管系统内部的应力是内力，但是粘性应力必然导致机械能的耗散。如果系统要维持定常状态，必须有外力对系统做功，补充其机械能损耗。参考本章后面的例题。IV.本构方程数学预备：记VE，根据二阶张量定义，将坐标系旋转，从原坐标系o-xyz到旋转后的坐标系o-xyz，二阶张量E的张量元满足变换：jnimjnimVVxx，其中变换矩阵iijikiijjjkjikjkkk。逆变换：jnminjimVVxx。本构方程的导出71应力张量分解：PpPP——偏应力张量，代表运动流体的应力张量与各向同性应力张量（记为p）的差异。记作ijP；P是对称二阶张量。2线性假设（Newton粘性定律的推广，对于剪切流动12ukx，1212ux）偏应力产生于速度场的不均匀性。线性假设：假设偏应力张量各分量与速度梯度张量的各分量成线性关系：kijijkllucx。ijklc是四阶张量，满足变换关系ijklimjnkplqmnpqcc。ijklc是由81个系数组成的一组系数，这组系数确定了偏应力张量各张量元与速度梯度张量各张量元之间的关系，由于偏应力张量和速度梯度张量都满足二阶张量定义，于是有qmnmnpijimjnimjlkpqnimjnmnlqpqkpucuxxc可知ijklimjnkplqmnklcc。数学上定义，由81个元素组成的量，若其元素满足该变换的则称之为四阶张量。3各向同性流体及其四阶张量ijklc的表达式3－1各向同性流体：若在原坐标系o-xyz和旋转后的坐标系o-xyz中偏应力张量分别表示为lijijklkucx和lijijklkucx，若