第二周集体备课(导数及其应用)

第二周集体备课（导数及其应用）张丽霞一、考试内容与考试要求考试内容：导数的几何意义，基本初等函数的导数公式，导数的运算法则。利用导数求函数的单调性、极值、最大（小）值。考试要求：1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义。2.会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（限于形如()faxb的导数）。3.了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间。4.理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大（小）值，会求闭区间上函数的最大（小）值。二、历年高考解读在过去若干年里，除了简单求导、极值和切线等知识点之外，浙江高考函数/导数题集中还考察了：（1）分类讨论：利用绝对值/最大值，最小值的特性，强行讨论分段函数的最值。（2）零点处理：利用二次函数的零点（函数极值点）分布，来进行不等式证明或求目标函数的最值。方法一、因式分解如11年22（1）方法二、参变量分离如04年文21（3）方法三、利用极值点方程对原函数进行降幂如12年理22（3）恒成立问题：方法一、全分参求最值或者半分参数形结合求最值；方法二、利用必要性缩小参数范围，再证明。如11年22(2)三、高考真题呈现：（2011浙江理22）设函数Raxaxxf,ln)()(2（1）若)(xfyex为的极值点，求实数a；（2）求实数a的取值范围使得对任意的.4)(]3,0(2exfex，恒有（2018年22题）已知函数.ln)(xxxf（1）若)(,)(2121xxxxxxf在处导数相等，证明：2ln88)()(21xfxf；（2）若2ln43a，证明：对于任意0k，直线akxy与曲线)(xfy有唯一公共点．解析：（1）方法一函数f（x）的导函数xxxf121)('，由)(')('21xfxf得，因为，所以．由基本不等式得．因为，所以．由题意得．设，则，则x（0，16）16（16，+∞）-0+2-4ln2所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，故，即方法二xxxf121)('，)(')('21xfxf16)(2212121xxxxxx令)(ln22)ln(2)()(,1621212121tgttxxxxxfxfxxt，024221)('ttttg，故)(tg在），（16上单调递增，2ln88)16()(gtg（2）方法一直线akxy与曲线)(xfy有唯一公共点，则kxxxaln有唯一解，即ay与kxxxyln有且只有一个交点，令2ln2)(ktttth，当161k时，02202tkt，，即0)('th，此时)(th单调递减，又)(,;)(,0thttht，)(th单调且Rth)(，即axh)(有唯一解当161k时，161121121)(',0,2222)(22ttxxxfkttktktttth即4t，此时1ln222222)(2ttttktktttth又2ln43,2ln43)4()(,0)('),,4(,0)('),4,0(,24)('ahththtthtttth即因此当2ln43a时，两函数有一个交点。方法二这种方法是由考试院提供的标准答案设h（x）=，则h′（x）=，其中g（x）=．由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2，故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根．综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．评析：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.(2017年浙江高考）已知函数).21()12()(xexxxfx求)(xf的导函数；（2）求)(xf在区间),21[上的取值范围．评析：（1）利用求导法则及求导公式，即可求得)(xf；（2）2510)('或令xxf，进而判断函数)(xf的单调区间，结合区间端点值求解函数)(xf的取值范围。解得错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。．因为x（错误!未找到引用源。）1（错误!未找到引用源。）（错误!未找到引用源。）-0+0-f（x）↓0↑↓又错误!未找到引用源。，所以f（x）在区间[错误!未找到引用源。）上的取值范围是错误!未找到引用源。．命题意图：本题主要考查导数两方面的应用：1.函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出)('xf，由)('xf的正负，得出函数)(xf的单调区间；2.函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数)(xf的极值或最值。（2016年文科20题）设函数()fx=311xx，[0,1]x.证明：（I）()fx21xx；（II）34()fx32.评析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111xxx，从而得到结论；第二问，由01x得3xx，进行放缩，得到32fx，再结合第一问的结论，得到34fx，从而得到结论.试题解析：(Ⅰ)因为4423111,11xxxxxxx考点：函数的单调性与最值、分段函数.同类题型：（2017.5温州）设函数].1,0[,)1(14)(23xxxxf证明：（1）2321)(xxxf；（2）.417)(32xf（2016年12月模拟样卷20题）设函数21()1fxxx，0,1x．证明：（1）21()12fxxx；（2）1522()162fx．解析：（1）记21()()11221xxgxfxxx，则311'()22(1)gxx0，(0,1)x．那么，()gx在区间0,1上单调递增，又(0)0g，所以2()()102xgxfxx，从而2()12xfxx．方法一31'()22(1)fxxx，记31()22(1)hxxx，由1(0)02h，2(1)208h，知存在0(0,1)x，使得0()0hx．因为()hx在0,1上是增函数，所以，()fx在区间0(0,)x上是单调递减，在区间0(,1)x上单调递增，又(0)1f，22(1)2f，从而22()2fx．另一方面，由（1）得当14x时，2211515()1()241616xfxxx，且115()416f，因此，1522()162fx．方法二左边同方法一进行证明.右边21()1fxxx由[0,1]x可得1()1fxxx当0x或1x时取等号.设1g()1xxx则,由[0,1]x可知恒成立，因此1g()1xxx在[0,1]x上递增，所以max122g()(1)1211xg，所以22()2fx当1x时取等号.分析：先进行放缩，把次数降低使得求导后的导函数判断比较方便.且这里的放缩都比较粗略如[0,1]x时23;xxxx等，使得求导后的导函数正负的判断变得比较方便.四、课时分配本块内容设计7—8个课时：第一课时：导数的概念及运算（主要理解导数的几何意义，会用导数公式和运算法则求函数的导数，并能求简单复合函数的导数）第二课时：导数与函数的单调性（主要是要让学生明确含参的导数是二次型函数的分类讨论的标准）第三课时：导数与函数的极值与最值（主要问题是让学生在第一课时的基础上能够求解函数的极值与最值，对于三次函数的图象要特别重视）第四课时：导数的综合应用（一）（主要是利用导数解或证明不等式）第五课时：导数的综合应用（二）（主要解决不等式恒成立或有解问题）第六课时：导数的综合应用（三）（主要是利用导数研究函数的零点问题）另外可视各班情况安排1—2节作业讲评巩固课。五、教学要点1.结合2017高考导数试题，对于用导数公式和运算法则求函数的导数，以及求简单复合函数的导数这一方面要给予足够的重视，要特别注重该内容的落实情况。要舍得花时间，让学生去算。2.在求曲线的切线及函数单调性及极值最值中的应用问题，对求解的格式要特别强调，争取这样的试题能基本满分。3.对含有一个参数的与lnyx结合的函数，求导后转化为二次型的分类讨论。4.结合2017浙江模拟试题的不等式的证明，补充泰勒展开在对超越函数向多项式函数的转化，同时结合2017高考数列试题的结合，能有导数的放缩的思想解决数列问题。六、课时设计（零点问题）例1.设函数21()1fxxx，0,1x．证明：（1）21()12fxxx；（2）1522()162fx．小结归纳：利用隐零点解决导数问题一般步骤为（1）观察函数单调性；（2）代入端点或特殊点，确定零点范围；（3）利用隐零点对原函数的极值化简降幂。例2.设函数]1,0[,)1(14)(23xxxxf.证明：（1）2321)(xxxf；（2）.417)(32xf例3.已知函数)(,ln22)(2Raxaxxxf（1）1a，求函数过点)1,1(A的切线方程；（2）若)(xfy有两个极值点.,,2121xxxx且证明：.42ln25)(1xf练习：1.).ln)(2Raxaxxxf（（1）1)(xxf在处的切线斜率为1，求a的值；（2）当)(1xfa时，的极小值为H，求H的最大值。2.).(21ln)(2Raxaxxxf（1）关于x的不等式1)(axxf恒成立，求整数a的最小值；（2）若2a，正实数0)()(,212121xxxfxfxx满足，求证：.21521xx3.已知函数.ln)(2xxaxaxxf且.0)(xf（1）求实数a的值；（2）求证：)(xf存在唯一的极大值0x，且.41)(0xf变式：若证明exfe21)(102呢？4.设函数.2)(axexfx（1）求)(xf的单调区间；（2）若1a，k为整数，且当0x时，01)(')(xxfkx，求k的最大值。变式1：已知函数.ln)(,1)(kxxxgaxexfx（1）求函数)(xg的单调区间；（2）当1k时，)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围。变式2：函数,221)(,ln)(2xxxgxxf当1x时，3)('2)()1(xgxxfxk恒成立，求实数k的最大值为。