2018年中考数学专题训练——几何题中用旋转构造“手拉手”模型

中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型一、教学目标：1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征．2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题．3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题．二、教学重难点：1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等．2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择．三、教学过程：1.复习旧知师：如图，△，△为等边三角形，从中你能得出哪些结论？生：（1）△≌△（2）△≌△（3）△≌△（4）△为等边三角形（5）△∽△（6）∠＝60°（7）H，G，F，B四点共圆（8）平分∠……师：我们再来重点研究△与△，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？生：它们有同一个字母B，即同一个顶点B．师：我们也可以把△看作由△经过怎样的图形运动得到？生：绕点B逆时针旋转60°得到．2.引入新课师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？生：对应边相等．师：我们可以称之为“等线段”．生：有同一个顶点．师：我们可以称之为“共顶点”．师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？生：旋转．师：“手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转．3.小题热身HGFEDCBA1．如图1，△中，∠＝45°，＝，⊥于E，⊥于C，则＝．2．如图2，△和△均为等边三角形，三点共线，若＝2，＝4，则＝．3．如图3，正方形中，∠＝45°，＝3，＝5，则＝．师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．生：题1中，等线段是，，共顶点是C，△绕点C逆时针旋转90°得△．题2中，等线段是，，共顶点是B，△绕点D顺时针旋转60°得△．师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？生：没有．师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？生：等线段是，，共顶点是A．师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？生：将旋转，绕点A逆时针旋转90°．师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？生：我准备构造一个和△全等的三角形，绕点A逆时针旋转90°即为，那么将逆时针旋转90°可得，连接，证明全等．师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条“共顶点”的线段，将其旋转．师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致．师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”．步骤2：选择其中一个三角形，将其中经过“共顶点”的线段旋转．步骤3：旋转方向与这个三角形的“等线段”旋转到另一条“等线段”的方向一致，旋转角为“等线段”间的夹角．师：这道题还有一个要注意的地方，你发现了吗？生：连接后，要证明G，D，F三点共线．4.例题精讲例1：等边△中，＝4，＝3，＝5，求∠度数．图1图2图3BACD师：这里有没有隐含的“手拉手模型”？要构造全等，该怎样旋转？生：将△绕点A顺时针旋转60°．师：你是怎么想的，还有其他做法吗？生：我发现＝，A为“共顶点”，我选择的旋转线段是，因为绕点A顺时针旋转60°到，所以△也要绕点A顺时针旋转60°．也可将△绕点A逆时针旋转60°．【解答】将绕点A顺时针旋转60°到，连接，．则△也为等边三角形．易证△≌△，∴＝＝4，根据勾股定理逆定理，可证∠＝90°，则∠＝∠＝150°例2：如图，△和△均为等腰直角三角形，＝＝90．若△的面积为1，试求以、、＋的长度为三边长的三角形的面积．师：由于线段分散，如何通过图形变换，使这些线段能构成一个三角形？生：将绕点O逆时针旋转90°至，即可使，共线，再通过证明确定△即是以、、＋的长度为三边长的三角形．【解答】如图，将绕点O逆时针旋转90°至，连接．易证△≌△，＝，∴△即是以、、＋长度为三边长的三角形．又∵＝，∴S△＝2S△＝2．5.自主练习1．如图，在四边形中，＝4，＝3，∠＝∠＝∠＝45°，则的长为．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是和，“共顶点”是A．方法是将绕点A顺时针旋转90°．2．如图，在△中，＝2，＝，以为边，向外做正方形，连接，则最大值为．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是和，“共顶点”是A．方法是将绕点A逆时针旋转90°．师：你为何要逆时针旋转，你准备旋转哪个三角形？EDCBAEAOBCDDCBOAEDCABADCBDCBA生：△，因为是逆时针旋转90°到，所以也绕点A逆时针旋转90°．3．如图，点A在⊙B上，＝1，＝2，△是等边三角形，求△面积的最大值．师：请找出隐含的“手拉手模型”，并写出解决方法．生：“等线段”是和，“共顶点”是C．方法是将绕点C逆时针旋转60°．附：自主练习解答1．如图，将绕点A顺时针旋转90°至，易证△≌△，可得＝，又∵∠＝45°，∴∠＝90°，＝3，＝4，则△中，2＝2＋2＝32＋(4)2＝41∴＝，∴＝2.如图，将绕点A逆时针旋转90°至，易证△≌△，可得＝＝2．△中，＝＝，∴＝2．由三角形三边关系易知，≤＋，∴最小值为4.3.如图，将绕点C逆时针旋转60°至，连接，过点E作⊥于F，过点D作⊥于G．易证△≌，则＝1，＝，过E作边上的高，可证＜＋．当D，E，F三点共线时，＝＋．即高的最大值为1＋，S△＝×2×（1＋）＝1＋FEDCBAGEFABCDFEBCDA