分段函数与绝对值函数练习

分段函数与绝对值函数练习一、双基题目练练手1.设函数f（x）=,114,1)1(2xxxx则使得f（x）≥1的x的取值范围为()A.（－∞，－2］∪［0，10］B.（－∞，－2］∪［0，1］C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］2．(2006安徽)函数22,0,0xxyxx的反函数是（）A．,02,0xxyxxB．2,0,0xxyxxC．,02,0xxyxxD．2,0,0xxyxx3．(2007启东质检)已知21[1,0)()1[0,1]xxfxxx，，，则下列函数图象错误．．的是()4.（2006全国Ⅱ）函数191()nfxxn的最小值为()（A）190（B）171（C）90（D）455.（2005北京市西城模拟）已知函数f（x）=),2(2),2(2xxx则f（lg30－lg3）=___________；不等式xf（x－1）＜10的解集是_______________.6.（2006浙江）对Rba,,记则babbaaba＜,,,max则函数Rxxxxf2,1max的最小值是.7.已知函数132(0)()3(01)log(1)xxfxxxx,当a0时,f{f[f(a)]}=8.函数221(0)()(0)xxfxxx的值域。简答:1-4.ACDC;4.x=10时,取最小值90.f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19|=|x-1|+…+|x-10|+|11-x|+…+|19-x|≥|x-1+x-2+…x-9+11-x+…19-x|+|x-10|≥|90|+0=90,当x=10时取等号.一般地:…5.f（lg30－lg3）=f（lg10）=f（1）=－2，f（x－1）=.32,33xxx当x≥3时，x（x－3）＜10－2＜x＜5，故3≤x＜5.当x＜3时，－2x＜10x＞－5，故－5＜x＜3.解集{x|－5＜x＜5}6.由21212122xxxxx，112122xxfxxx如右图min1322fxf7.12;8.当x≥0时，x2+1≥1；当x0时，－x20原函数值域是[1,+∞]∪(－∞,0)。二、经典例题做一做【例1】设定义在N上的函数f（x）满足f（n）=)]18([13nffn),2000(),2000(nn求f（2002）.解：∵2002＞2000，∴f（2002）=f［f（2002－18）］=f［f（1984）］=f［1984+13］=f（1997）=1997+13=2010.感悟方法求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上.【例2】判断函数22(1)(0)()(1)(0)xxxfxxxx的奇偶性。解：当x0时，－x0,f(－x)=－(－x)2(－x+1)=x2(x－1)=f(x)；当x=0时，f(－0)=f(0)=0；当x0时，f(－x)=(－x)2(－x－1)=－x2(x+1)=f(x)。因此，对任意x∈R都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数。y=|x+1|y=|x-2|y-12ox提炼方法：:分段函数的奇偶性必须对x的值分类比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数的结论。【例3】(2007启东质检)已知函数1()|1|fxx,(0)x（1）当0,()()abfafb且时，求证：1ab；（2）是否存在实数,()abab，使得函数()yfx的定义域、值域都是[,]ab，若存在，则求出,ab的值，若不存在，请说明理由；（3）若存在实数,()abab，使得函数()yfx的定义域为[,]ab时，值域为[,](0)mambm，求m的取值范围．解:（1）∵0x，∴11,1,()11,01.xxfxxx∴)(xf在（0，1）上为减函数，在（1，＋∞）上是增函数．由0,()()abfafb且，可得01ab，所以有1111ab，即112ab．∴22ababab故1ab，即1ab（2）不存在满足条件的实数,ab．若存在满足条件的实数,ab，使得函数1()|1|yfxx的定义域、值域都是[,ab]，则0a．由11,1,()11,01.xxfxxx①当,ab∈（0，1）时，1()1fxx在（0，1）上为减函数．故(),().fabfba，即11,11.baab，解得ab．故此时不存在适合条件的实数,ab．②当,ab∈1,时，1()1fxx在（1，＋∞）上为增函数．故(),().faafbb，即11,11.aabb此时,ab是方程210xx的根，由于此方程无实根．故此时不存在适合条件的实数,ab．③当a∈（0，1），1,b时，由于1∈[,ab]，而(1)0,fab，故此时不存在适合条件的实数,ab．综上可知，不存在适合条件的实数,ab．（3）若存在实数,()abab，使得函数()yfx的定义域为[,ab]时，值域为[,]mamb，则0,0am．①当,ab∈（0，1）时，由于()fx在（0，1）上是减函数，值域为[,]mamb，即11,11.mbamab解得a＝b0，不合题意，所以,ab不存在．②当(0,1)(1,)ab或时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[,]mamb，所以,ab不存在．故只有,1,ab．∵|11|)(xxf在（1，＋∞）上是增函数，∴(),().famafbmb，即11,11.maambb,ab是方程210mxx有两个根．即关于x的方程210mxx有两个大于1的实根．设这两个根为12,xx．则121211,xxxxmm∴12120,(1)(1)0,(1)(1)0.xxxx即140,120.mm解得104m．综上m的取值范围是104m．【例4】设a为实数，设函数xxxaxf111)(2的最大值为g(a)。（Ⅰ）设t＝xx11，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；（Ⅱ）求g(a)；解：（I）∵t=x1+x1,∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1.∵t2=2+221x∈[2,4],t≥0,①∴t的取值范围是[2,2].由①得21x=21t2-1,∴m(t)=a(21t2-1)+t=21at2+t-a,t∈[2,2].(Ⅱ)由题意知g(a)即为函数m（t）=21at2+t-a,t∈[2,2]的最大值.注意到直线t=-a1是抛物线m(t)=21at2+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论.(1)当a0时，函数y=m(t),t∈[2,2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由t=-a10知m(t)在[2,2]上单调递增,∴g(a)=m(2)=a+2.(2)当a=0时，m(t)=t,t∈[2,2],∴g(a)=2.(3)当a0时，函数y=m(t),t∈[2,2]的图像是开口向下的抛物线的一段.若t=-a1∈(0,2]，即a≤-22，则g(a)=m(2)=2.若t=-a1∈(2,2]，即a∈(-22,-21]则g(a)=m(-a1)=-a-a21.若t=-a1∈(2,+∞)，即a∈(-21,0),则g(a)=m(2)=a+2.综上有g(a)=12,,2121,,22222,.2aaaaaa核心步骤:(1)m(t)=a(21t2-1)+t=21at2+t-a,t∈[2,2].(2)求g(a)=[m(t)]max,按对称轴相对于区间[2,2]的位置,对a分类分类讨论.【研讨.欣赏】(2000全国)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=tf；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=tg；(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg，时间单位：天)解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=;300200,3002,2000300tttt，由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2001(t－150)2＋100，0≤t≤300．(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)－g(t)即h(t)=300200210252720012000217521200122tttttt，，当0≤t≤200时，配方整理得h(t)=－2001(t－50)2＋100，所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；当200t≤300时，配方整理得h(t)=－2001(t－350)2＋100所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5．综上，由10087.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．思路点拨:题(Ⅱ)分段写出收益与时间的函数关系h(t),是分段函数,再分段求最值.